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| Aufgabe | 1. z.Z.: Gruppe [mm](G,\cdot)[/mm], [mm]G=\{1,-1,i,-i\}\subseteq\IC[/mm], [mm]*[/mm] ist die Multiplikation komplexer Zahlen, ist zyklisch
2. Bestimmen Sie alle Erzeuger von G
3. Bestimmen Sie alle Erzeuger der zyklischen Gruppe [mm](\IZ_{12},+)[/mm]. Welche Gesetzmäßigkeit fällt Ihnen auf?
4. Sei [mm](G,\circ)[/mm] eine abelsche Gruppe. [mm]a,b \in G, a\ne b[/mm] und ord(a) = ord(b) = 2.
Bestimmen sie die Ordnung von [mm]a\circ b[/mm] |
1.:
In der Gruppentheorie ist eine zyklische Gruppe eine Gruppe, die von einem einzelnen Element a erzeugt wird
Da ja schon gegeben ist, G ist eine Gruppe, muss ich ja nur noch dieses eine Element a (aus den 4) finden, welches ganz G erzeugt? Dann habe ich ja gezeigt, dass diese Gruppe zyklisch ist?
Nur leider kann ich mit komplexen Zahlen überhaupt nicht umgehen, hab mir zwar die Definition für die Multiplikation angeschaut:
(ac-bd)+(ad+bc)*i
Aber wo hab ich hier ein a,b,c,d ?
Ich hätte vorgehabt, eine Gruppentafel aufzustellen:
* | 1 -1 i -i
1 |
-1|
i |
-i|
Aber komm nicht drauf, wie ich die jetzt ausfüllen muss.
Wenn ich das hab, sollte ich es hinbekommen, den Erzeuger bzw. alle Erzeuger abzulesen, somit wäre 2.) auch damit lösbar?
zu3.:
Da hätte ich es jetzt auch so gemacht, die Verknüpfunstabelle aufgestellt, ausgefüllt (das schaff ich noch gerade so  ), daran dann die Erzeuger 1,5,7,11 abgelesen, und dann als Gesetzmäßigkeit, dass es a) keine Geraden Zahlen sind, und b) auch keine Zahlen, die 12 teilen bzw. c) einen gemeinsamen Teiler mit 12 haben, der ungleich 1 ist.
Also alle Zahlen von 1-11, deren ggT mit 12 genau 1 ist?
Oder ist da eine ganz andere Gesetzmäßigkeit gemeint, und meine Version mit stupidem Ausprobieren/Ablesen aus der Tabelle ist die falsche Herangehensweise?
zu 4.:
Ordnung heißt ja, wie oft muss ich das Element mit sich selbst verknüpfen, bis das neutrale Element herauskommt?
Also nach der Vorgabe dann ja [mm]a \circ a = e[/mm] (e=neutrales Element) bzw. das selbe für b.
Aber die Ordnung gilt doch nur für 1 Element, und gefragt ist die Ordnung der Verknüpfung 2er Elemente?
Könnte mir das so vorstellen, dass man herausfinden muss, wie oft man [mm]a \circ b[/mm] mit sich selbst verknüpfen muss, bis e rauskommt.
Das wäre ja auch 2 mal:
[mm](a \circ b) \circ (a \circ b)= a\circ a \circ b \circ b= e\circ e = e[/mm]
Das weiß man ja, da es eine abelsche Gruppe ist (Assoziativ, kommutativ,neutrales Element.
Somit Ordnung von [mm]a \circ b[/mm] ist auch 2?
Leider sehr viele Fragen, aber mit Gruppen und komplexen Zahlen kann ich nicht so viel anfangen ![[keineahnung]](/images/smileys/keineahnung.gif "[keineahnung]")
Ich habe diese Frage(n) in keinem anderen Internetforum gestellt.
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| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 16:57 Sa 20.06.2009 | | Autor: | moudi |
Hallo nitramGuk
Die "Idee" der komplexen Zahl $i$ ist, dass [mm] $i^2=-1$ [/mm] ist. Man kann $i$ wie eine "Variable" behandeln und reduziert einfach alle Quadrate von $i$ zu $-1$. Deshalb gitlt [mm] $i^2=-1$, $i^3=i^2\cdot [/mm] i=-i$, [mm] $i^4=i^2\cdot i^2=(-1)\cdot(-1)=1$.
[/mm]
3. und 4. sind korrekt.
mfG Moudi
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> Die "Idee" der komplexen Zahl [mm]i[/mm] ist, dass [mm]i^2=-1[/mm] ist. Man
> kann [mm]i[/mm] wie eine "Variable" behandeln und reduziert einfach
> alle Quadrate von [mm]i[/mm] zu [mm]-1[/mm]. Deshalb gitlt [mm]i^2=-1[/mm],
> [mm]i^3=i^2\cdot i=-i[/mm], [mm]i^4=i^2\cdot i^2=(-1)\cdot(-1)=1[/mm].
OK, nur zum Test, ob ich das jetzt auch verstanden habe
* | 1 -1 i -i
1 | 1 -1 i -i
-1|-1 1 -i i
i | i -i -1 1
-i|-i i 1 -1
Die Gruppe ist also zyklisch, da ja bsp. wie du schon alle Möglichkeiten aufgeführt hast, i ein Erzeuger ist.
Dann wäre -i noch ein Erzeuger, 1 und -1 aber nicht.
> 3. und 4. sind korrekt.
Danke
MfG nitramGuk
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 18:21 So 21.06.2009 | | Autor: | moudi |
Genau so ist es.
mfG Moudi
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