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(Frage) für Interessierte  | | Datum: | 20:36 Fr 20.02.2015 | | Autor: | Wadim2991 |
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 21:18 Sa 21.02.2015 | | Autor: | chrisno |
Hallo, warum hast Du den Text der Frage entfernt?
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 19:03 Mo 23.02.2015 | | Autor: | chrisno |
Falls es jemand interessiert, was ursprünglich eingegeben wurde:
Aufgabe
Gegeben sei eine orientierte 2-Komponentige Verschlingung L, bestehend aus den Komponenten P und Q. Wir definieren:
$ [mm] lk(P,Q):=\sum_{c} [/mm] sign(c) $
wobei wir über alle Kreuzungen summieren bei denen P über Q liegt (bei denen P Q überkreuzt).
1. Zeige dass die so definierte Größe eine Verschlingungsinvariante ist.
2. Zeige $ lk(P,Q)=lk(L) $
wobei $ [mm] lk(L)=\frac{1}{2}\sum_{c}sign(c) [/mm] $
die gewöhnliche Verschlingungszahl von L bezeichnet (hier summiert man über alle Kreuzungen von P und Q).
Hallo liebe Community,
Ich beschäftige mich gerade mit obigem Problem in der Knotentheorie:
Teil 1 habe ich schon gezeigt (man muss ja bloß die Invarianz unter den Rademeisterbewegungen zeigen).
Bei Teil 2 weiß ich auch schon was ich zeigen will. Ein Teil ist mir anschaulich klar, bin mir nur nicht sicher wie man formal besser argumentiert und der letzte Teil den ich zeigen will, ist mir noch nicht so ganz einleuchtend.
Ich habe mir folgendes überlegt. Zuerst gilt offensichtlich:
$ [mm] lk(L)=\frac{1}{2}(lk(P,Q)+lk(Q,P)) [/mm] $
Daher möchte ich die Beziehung $ lk(P,Q)=lk(Q,P) $ zeigen.
Schritt 1: Zeige P überkreuzt Q genauso oft wie Q P überkreuzt. Nach dem ersten Teil der Aufgabe sind die betrachteten Größen unabhängig von der Wahl meines Diagramms. Insbesondere kann ich ein "schönes" Diagramm wählen, d.h. eins mit minimaler Anzahl von Überkreuzungen von P und Q. Anschaulich wenn ich entlang von P wandere (und einen Startpunkt außerhalb des Inneren von Q wähle) muss ich für jedes "Eindringen" von P in Q, das Innere wieder verlassen, da P sonst keine geschlossene Kurve ist. Wenn ich in das Innere von Q überkreuzt Eindringe und es überkreuzt verlasse, bin anschaulich in einer ähnlichen Situation wie in der Rademeisterbewegung 2 und ich kann diese Kreuzungen entfernen. Damit wäre mein Diagramm aber nicht minimal. Also erhalte ich für jedes überkreuzte Eindringen ein entsprechendes unterkreuztes Austreten und umgekehrt. In meinem "schönen" Diagramm überkreuzt P Q also genauso oft wie P Q unterkreuzt. Damit ist die Anzahl der Summanden in $ lk(P,Q) $ und $ lk(Q,P) $ gleich.
Hier erscheint mir die Argumentation, dass man dann "offensichtlich" kein minimales Diagramm hat, etwas schwammig. Ich weiß aber nicht wie ich es formal besser ausdrücke.
Schritt 2: Zeige dass es zu jeder Kreuzung von P über Q mit Vorzeichen V eine entsprechende Unterkreuzung mit gleichem Vorzeichen gibt. Gemäß Schritt 1 liegt die Vermutung nahe, dass das Vorzeichen beim Ein- bzw. Ausdringen das gleiche sein wird (Ich vermute sogar, dass stets alle Vorzeichen gleich sein müssen). Mein Problem hierbei ist, dass nach dem Eindringen von P ins Innere von Q, die jeweiligen Komponenten sich kompliziert selbst Schneiden können und es augenscheinlich nicht gewährleistet ist, dass beim Austritt von P die Orientierungen von P und Q wie gewünscht sind.
Dazu habe ich mir mal einige zwei Komponentige Verschlingungen gemalt und entweder hatten alle Kreuzungen die gleichen Vorzeichen oder aber es handelte sich nicht um ein minimales Diagramm. Wie man das jedoch allgemein zeigen soll, ist mir bislang nicht klar.
Falls man Schritt 1 und 2 gezeigt hat, haben die Summen von $ lk(P,Q) $ und $ lk(Q,P) $ die gleiche Anzahl von Summanden und die gleichen Summanden und man hätte die Behauptung gezeigt.
Danke im Vorraus für eure Hilfe
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 19:23 Mo 23.02.2015 | | Autor: | rmix22 |
> Falls es jemand interessiert, was ursprünglich eingegeben
> wurde:
Sehen wir das, falls uns das wirklich so interessieren sollte, nicht ohnedies, wenn wir auf "v1" klicken um die Vorversionen zu betrachten?
Ich denke Wadim2991 ist einfach an der Restriktion hier gescheitert, ein einmal abgesandtes Posting nicht mehr löschen zu können und hat daher, vieleicht etwas ungeschickt, einfach den Body gelöscht.
Wenn ich mich recht erinnere resultiert diese Restriktion aus der Angst, ein Schüler könnte sich hier Unterstützung bei einer Aufgabe holen und dann durch Löschen die eigene Spur verwischen um zu verhindern, dass sein Lehrer durch Nachforschung hier drauf kommt, dass die Arbeit vielleicht doch nicht 100% Eigenleistung ist.
Über dieses Argument könnte man sicher so manche Diskussion führen - will ich aber gar nicht. Ich denke auch, dass allein aus Konsistenzüberlegungen einmal getätigte Posting erhalten bleiben sollten, wenn es darauf bereits eine Antwort oder eine Mitteilung gibt.
Ich sehe aber keinen Grund, warum eine Frage, auf die es noch keine Reaktion gab und die auch noch von niemandem zur Antwort reserviert wurde, vom Poster nicht wieder zurückgezogen, also spurlos gelöscht werden können sollte. Vorausgesetzt natürlich, dass das technisch mit vernünftigem Aufwand umsetzbar ist.
Gruß RMix
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