ab=ec^n -> a=e'r^n, b=e''s^n < Zahlentheorie < Algebra+Zahlentheo. < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 13:45 Do 25.04.2013 | | Autor: | Marcel |
| Aufgabe | Sei [mm] $R:=\IZ[i]$ [/mm] der Ring der Gaußschen Zahlen, und es gelte für teilerfremde $a,b [mm] \in R\,,$ [/mm]
dass [mm] $ab=\epsilon c^n$ [/mm] für ein $n [mm] \in \IN$ [/mm] und $c [mm] \in R\,,$ $\epsilon \in R^\times$ ($\epsilon$ [/mm] ist also eine Einheit).
Zu zeigen: Dann gibt es Einheiten [mm] $\epsilon', \epsilon''$ [/mm] und es gibt $r,s [mm] \in [/mm] R$
mit [mm] $a=\epsilon' r^n$ [/mm] und [mm] $b=\epsilon'' s^n.$ [/mm] |
Hallo,
ich habe kurz eine Frage zu obiger Aufgabe: Folgt das nicht sofort, wenn man
für $a,b,c$ eine Primfaktorzerlegung angibt? Solch' eine existiert ja, weil
[mm] $\IZ[i]$ [/mm] als euklidischer Ring Hauptidealring und damit faktoriell ist. Aus der
Teilerfremdheit folgt dann, dass jeder Primfaktor von [mm] $a\,$ [/mm] auch [mm] $n\,$ [/mm] Mal
vorkommen muss und jeder von [mm] $b\,$ [/mm] ebenso, weil jeder Primfaktor von
[mm] $c\,$ $n\,$-fach [/mm] vorkommt.
Mache ich mir da irgendwas zu einfach? Denn in der Aufgabe steht explizit
dabei, dass man "die Diskussion von [mm] $\IZ[i]$ [/mm] aus Abschnitt 2" benutzen soll
(Buch: Elementare und algebraische Zahlentheorie, Müller-Stach und Piontkowski)!
Mir ist hier nicht klar, wieso man sich überhaupt auf [mm] $\IZ[i]$ [/mm] beschränkt - gilt
das Ganze nicht allgemeiner in faktoriellen Ringen?
Gruß,
Marcel
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 13:51 Do 25.04.2013 | | Autor: | felixf |
Moin Marcel!
> Sei [mm]R:=\IZ[i][/mm] der Ring der Gaußschen Zahlen, und es gelte [/i][/mm]
> [mm][i]für teilerfremde [mm]a,b \in R\,,[/mm] [/i][/mm]
> [mm][i]dass [mm]ab=\epsilon c^n[/mm] für ein [mm]n \in \IN[/mm] und [mm]c \in R\,,[/mm] [/i][/mm]
> [mm][i][mm]\epsilon \in R^\times[/mm] ([mm]\epsilon[/mm] ist also eine Einheit).[/i][/mm]
> [mm][i] [/i][/mm]
> [mm][i]Zu zeigen: Dann gibt es Einheiten [mm]\epsilon', \epsilon''[/mm] und [/i][/mm]
> [mm][i]es gibt [mm]r,s \in R[/mm] [/i][/mm]
> [mm][i]mit [mm]a=\epsilon' r^n[/mm] und [mm]b=\epsilon'' s^n.[/mm][/i][/mm]
>
> [mm][i]ich habe kurz eine Frage zu obiger Aufgabe: Folgt das nicht [/i][/mm]
> [mm][i]sofort, wenn man[/i][/mm]
> [mm][i] für [mm]a,b,c[/mm] eine Primfaktorzerlegung angibt?
Ja. Man braucht sie nichtmals anzugeben, es reicht ja aus, dass sie existieren ;-)
> Solch' eine [/i][/mm]
> [mm][i]existiert ja, weil[/i][/mm]
> [mm][i] [mm]\IZ[i][/mm] als euklidischer Ring Hauptidealring und damit [/i][/mm][/i][/mm]
> [mm][i][mm][i]faktoriell ist.
Genau.
> Aus der[/i][/mm][/i][/mm]
> [mm][i][mm][i] Teilerfremdheit folgt dann, dass jeder Primfaktor von [mm]a\,[/mm] [/i][/mm][/i][/mm]
> [mm][i][mm][i]auch [mm]n\,[/mm] Mal[/i][/mm][/i][/mm]
> [mm][i][mm][i] vorkommen muss und jeder von [mm]b\,[/mm] ebenso, weil jeder [/i][/mm][/i][/mm]
> [mm][i][mm][i]Primfaktor von [/i][/mm][/i][/mm]
> [mm][i][mm][i][mm]c\,[/mm] [mm]n\,[/mm]-fach vorkommt. [/i][/mm][/i][/mm]
> [mm][i][mm][i][/i][/mm][/i][/mm]
> [mm][i][mm][i]Mache ich mir da irgendwas zu einfach? Denn in der Aufgabe [/i][/mm][/i][/mm]
> [mm][i][mm][i]steht explizit[/i][/mm][/i][/mm]
> [mm][i][mm][i] dabei, dass man "die Diskussion von [mm]\IZ[i][/mm] aus Abschnitt 2" [/i][/mm][/i][/mm][/i][/mm]
> [mm][i][mm][i][mm][i]benutzen soll[/i][/mm][/i][/mm][/i][/mm]
> [mm][i][mm][i][mm][i] (Buch: Elementare und algebraische Zahlentheorie, [/i][/mm][/i][/mm][/i][/mm]
> [mm][i][mm][i][mm][i]Müller-Stach und Piontkowski)![/i][/mm][/i][/mm][/i][/mm]
> [mm][i][mm][i][mm][i] [/i][/mm][/i][/mm][/i][/mm]
> [mm][i][mm][i][mm][i]Mir ist hier nicht klar, wieso man sich überhaupt auf [mm]\IZ[i][/mm] [/i][/mm][/i][/mm][/i][/mm][/i][/mm]
> [mm][i][mm][i][mm][i][mm][i]beschränkt - gilt[/i][/mm][/i][/mm][/i][/mm][/i][/mm]
> [mm][i][mm][i][mm][i][mm][i] das Ganze nicht allgemeiner in faktoriellen Ringen?[/i][/mm][/i][/mm]
Ja, das gilt in jedem faktoriellen Ring.
LG Felix
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 14:13 Do 25.04.2013 | | Autor: | Marcel |
Hallo Felix,
> Moin Marcel!
>
> > Sei [mm]R:=\IZ[i][/mm] der Ring der Gaußschen Zahlen, und es gelte[/i][/mm]
> > [mm][i]für teilerfremde [mm]a,b \in R\,,[/mm][/i][/mm]
> > [mm][i]dass [mm]ab=\epsilon c^n[/mm] für ein [mm]n \in \IN[/mm] und [mm]c \in R\,,[/mm][/i][/mm]
>
> > [mm][i][mm]\epsilon \in R^\times[/mm] ([mm]\epsilon[/mm] ist also eine Einheit).[/i][/mm]
>
> >[mm][i][/i][/mm]
> > [mm][i]Zu zeigen: Dann gibt es Einheiten [mm]\epsilon', \epsilon''[/mm] und[/i][/mm]
>
> > [mm][i]es gibt [mm]r,s \in R[/mm][/i][/mm]
> > [mm][i]mit [mm]a=\epsilon' r^n[/mm] und [mm]b=\epsilon'' s^n.[/mm][/i][/mm]
>
> >
> > [mm][i]ich habe kurz eine Frage zu obiger Aufgabe: Folgt das nicht[/i][/mm]
>
> > [mm][i]sofort, wenn man[/i][/mm]
> > [mm][i]für [mm]a,b,c[/mm] eine Primfaktorzerlegung angibt?[/i][/mm]
> [mm][i] [/i][/mm]
> [mm][i]Ja. Man braucht sie nichtmals anzugeben, es reicht ja aus, dass sie existieren ;-)[/i][/mm]
eben.
> [mm][i] [/i][/mm]
> [mm][i]> Solch' eine[/i][/mm]
>
> > [mm][i]existiert ja, weil[/i][/mm]
> > [mm][i][mm]\IZ[i][/mm] als euklidischer Ring Hauptidealring und damit[/i][/mm][/i][/mm]
>
> > [mm][i][mm][i]faktoriell ist.[/i][/mm][/i][/mm]
> [mm][i][mm][i] [/i][/mm][/i][/mm]
> [mm][i][mm][i]Genau.[/i][/mm][/i][/mm]
> [mm][i][mm][i] [/i][/mm][/i][/mm]
> [mm][i][mm][i]> Aus der[/i][/mm][/i][/mm]
> > [mm][i][mm][i]Teilerfremdheit folgt dann, dass jeder Primfaktor von [mm]a\,[/mm][/i][/mm][/i][/mm]
>
> > [mm][i][mm][i]auch [mm]n\,[/mm] Mal[/i][/mm][/i][/mm]
> > [mm][i][mm][i]vorkommen muss und jeder von [mm]b\,[/mm] ebenso, weil jeder[/i][/mm][/i][/mm]
>
> > [mm][i][mm][i]Primfaktor von[/i][/mm][/i][/mm]
> > [mm][i][mm][i][mm]c\,[/mm] [mm]n\,[/mm]-fach vorkommt.[/i][/mm][/i][/mm]
> >[mm][i][mm][i][/i][/mm][/i][/mm]
> > [mm][i][mm][i]Mache ich mir da irgendwas zu einfach? Denn in der Aufgabe[/i][/mm][/i][/mm]
>
> > [mm][i][mm][i]steht explizit[/i][/mm][/i][/mm]
> > [mm][i][mm][i]dabei, dass man "die Diskussion von [mm]\IZ[i][/mm] aus Abschnitt 2"[/i][/mm][/i][/mm][/i][/mm]
>
> > [mm][i][mm][i][mm][i]benutzen soll[/i][/mm][/i][/mm][/i][/mm]
> > [mm][i][mm][i][mm][i](Buch: Elementare und algebraische Zahlentheorie,[/i][/mm][/i][/mm][/i][/mm]
>
> > [mm][i][mm][i][mm][i]Müller-Stach und Piontkowski)![/i][/mm][/i][/mm][/i][/mm]
> >[mm][i][mm][i][mm][i][/i][/mm][/i][/mm][/i][/mm]
> > [mm][i][mm][i][mm][i]Mir ist hier nicht klar, wieso man sich überhaupt auf [mm]\IZ[i][/mm][/i][/mm][/i][/mm][/i][/mm][/i][/mm]
>
> > [mm][i][mm][i][mm][i][mm][i]beschränkt - gilt[/i][/mm][/i][/mm][/i][/mm][/i][/mm]
> > [mm][i][mm][i][mm][i][mm][i]das Ganze nicht allgemeiner in faktoriellen Ringen?[/i][/mm][/i][/mm][/i][/mm][/i][/mm]
> [mm][i][mm][i] [/i][/mm][/i][/mm]
> [mm][i][mm][i]Ja, das gilt in jedem faktoriellen Ring.[/i][/mm][/i][/mm]
> [mm][i][mm][i] [/i][/mm][/i][/mm]
> [mm][i][mm][i]LG Felix[/i][/mm][/i][/mm]
> [mm][i][mm][i] [/i][/mm][/i][/mm]
Okay, vielen Dank. Ich habe mich bei der Aufgabe vor allem gewundert,
warum man sich bei diesem Aufgabenteil schon speziell auf [mm] $\IZ[i]$ [/mm] beschränkt.
(Beim zweiten Aufgabenteil geht's um primitive Pythagoräische Tripel, da
macht's dann Sinn, dass man sich dort auf [mm] $\IZ[i]$ [/mm] beschränkt, alleine schon
wegen der Aufgabenformulierung!)
Also meine Überlegungen oben scheinen dann ja zu stimmen. Was mich
noch etwas irritiert, ist, dass in meinen Überlegungen die Einheiten gar
nicht wirklich vorkommen. (Also die bei [mm] $a\,$ [/mm] und [mm] $b\,.$) [/mm] Wieso sagt man
nicht einfach, dass (für teilerfremde [mm] $a,b\,$) [/mm] aus
[mm] $$ab=\epsilon c^n$$
[/mm]
folgt, dass [mm] $a=\epsilon r^n$ [/mm] und [mm] $b=s^n$ [/mm] geschrieben werden kann?
Denn eine Primzahl kann ja nie eine Einheit sein, rein per Definitionem...
Ich weiß nicht, warum man hier das [mm] $\epsilon$ [/mm] noch anders als [mm] $\epsilon=1*\epsilon$ [/mm] "faktorisieren" sollte...
Gruß,
Marcel
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Hey Marcel,
was wäre denn, wenn $b$ selbst eine Einheit wäre?
Dann könnte es problematisch werden das $b$ als $n-$te Potenz von etwas zu schreiben, zB $b = i$ und $n=2$ dürfte unschön werden.
lg
Schadow
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| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 20:11 Do 25.04.2013 | | Autor: | Marcel |
Hi Schadowmaster,
> Hey Marcel,
>
> was wäre denn, wenn [mm]b[/mm] selbst eine Einheit wäre?
> Dann könnte es problematisch werden das [mm]b[/mm] als [mm]n-[/mm]te Potenz
> von etwas zu schreiben, zB [mm]b = i[/mm] und [mm]n=2[/mm] dürfte unschön
> werden.
ach klar. Danke. Wie sieht's denn aus, wenn man $b [mm] \in [/mm] R [mm] \setminus R^{\times}$ [/mm] annimmt?
Also kurzgefragt: Stehen die "Einheiten" nur dabei, damit man diese
Spezialfälle ($a [mm] \in R^\times$ [/mm] oder $b [mm] \in R^\times$) [/mm] erfasst?
(Ich habe mir übrigens gar nicht bewußt gemacht, dass in der Aufgabe
$a [mm] \in R^\times$ [/mm] oder $b [mm] \in R^\times$ [/mm] nicht ausgeschlossen worden sind).
Ich frage übrigens auch deswegen, weil ich das erwähnte Buch halt
durcharbeiten will (immer, wenn ich mal Zeit habe) und meine Lösungen
bzw. auch Ergänzungen abtexe. Dann will ich da natürlich keinen Unfug
fabrizieren (auch, wenn ich das nicht mache, um das irgendwann mal zu
verkaufen...) ^^
Gruß,
Marcel
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Nein, nicht nur dieser Spezialfall.
Nehm dir zB [mm] $b=i*r^n$ [/mm] für eine Nichteinheit $r$. Dann hast du genau das gleiche Problem, wenn du versuchst $b = [mm] x^n$ [/mm] für ein $x [mm] \in [/mm] R$ zu schreiben; auch wenn $b$ jetzt keine Einheit ist.
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| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 21:47 Do 25.04.2013 | | Autor: | Marcel |
Hallo Schadowmaster,
> Nein, nicht nur dieser Spezialfall.
> Nehm dir zB [mm]b=i*r^n[/mm] für eine Nichteinheit [mm]r[/mm]. Dann hast du
> genau das gleiche Problem, wenn du versuchst [mm]b = x^n[/mm] für
> ein [mm]x \in R[/mm] zu schreiben; auch wenn [mm]b[/mm] jetzt keine Einheit
> ist.
ach klar: Das liegt daran, dass die n-ten Einheitswurzeln i.a. nicht zu [mm] $\IZ[i]$
[/mm]
gehören. Aber dann frage ich nun doch nochmal:
Ich wollte diese Aussage mit Primfaktorzerlegung begründen. Kurzgesagt:
[mm] $$a=\produkt_i {a_i}^{k_i}\,, b=\produkt_j {b_j}^{m_j} \text{ und }c=\produkt_k {c_k}^{p_k}$$
[/mm]
seien solche Primfaktorzerlegungen.
Dann gilt
[mm] $$a*b=\epsilon c^n$$
[/mm]
[mm] $$\iff (\produkt_i {a_i}^{k_i})*\produkt_j {b_j}^{m_j}=\epsilon \produkt_k {c_k}^{n*p_k}\,.$$
[/mm]
Wie folgert man denn daraus dann die Behauptung? (Ich glaube, ich hatte
bei meiner ersten Frage hier auch Unsinn geschrieben!)
[mm] $a_1$ [/mm] muss eines der [mm] $c_k$ [/mm] teilen und kann auch nur eines teilen, weil sonst
[mm] $c\,$ [/mm] nicht als Primfaktorzerlegung angegeben wäre. Damit kommt es [mm] $n\,$-fach [/mm] vor.
Weil [mm] $a,b\,$ [/mm] teilerfremd sind, durchlaufen wir dann alle Primfaktoren von [mm] $a\,$
[/mm]
bzw. [mm] $b\,.$ [/mm] ...
Oder wie sieht das genau aus? Ich glaube nämlich, dass ich da irgendwo
noch einen "Knoten" habe! Vor allem sehe ich so nicht, wieso "drei Einheiten"
in der Aussage vorkommen und nicht nur zwei?
Ist nicht so, dass ich Dir nicht glaube, aber ich glaube, irgendwo habe ich
vor allem im Beweis 'nen Denkfehler... (wobei das hier ja auch nur eine
Skizze ist)!
Gruß,
Marcel
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 22:52 Do 25.04.2013 | | Autor: | felixf |
Moin Marcel,
> Hallo Schadowmaster,
>
> > Nein, nicht nur dieser Spezialfall.
> > Nehm dir zB [mm]b=i*r^n[/mm] für eine Nichteinheit [mm]r[/mm]. Dann hast
> du
> > genau das gleiche Problem, wenn du versuchst [mm]b = x^n[/mm] für
> > ein [mm]x \in R[/mm] zu schreiben; auch wenn [mm]b[/mm] jetzt keine Einheit
> > ist.
>
> ach klar: Das liegt daran, dass die n-ten Einheitswurzeln
> i.a. nicht zu [mm]\IZ[i][/mm][/i][/mm]
> gehoeren.
Ja, das ist ein (Mit-)Grund. Aber nicht der einzige  Selbst wenn [mm]\IZ[i][/mm] $n$-te Einheitswurzeln haben wuerde, muesste noch lange nicht jedes Element eine $n$-te Wurzel haben (schliesslich ist [mm] $\IQ(i)$ [/mm] eine endliche Erweiterung von [mm] $\IQ$, [/mm] womit nicht beliebige Wurzeln in [mm] $\IQ(i)$ [/mm] drinnen sein koennen).
> [mm][i] gehören. Aber dann frage ich nun doch nochmal:[/i][/mm]
> [mm][i] Ich wollte diese Aussage mit Primfaktorzerlegung [/i][/mm]
> [mm][i]begründen. Kurzgesagt:[/i][/mm]
> [mm][i] [mm]a=\produkt_i {a_i}^{k_i}\,, b=\produkt_j {b_j}^{m_j} \text{ und }c=\produkt_k {c_k}^{p_k}[/mm][/i][/mm]
> [mm][i] [/i][/mm]
> [mm][i]seien solche Primfaktorzerlegungen.[/i][/mm]
Das machst du dir aber recht umstaendlich.
Zeige zuerst folgende allgemeine Aussage, die ist bei solchen Beweisen eh ueberall gut zu gebrauchen:
sind [mm] $a_1, \dots, a_k$ [/mm] Ringelemente alle ungleich 0, so gibt es Einheiten [mm] $e_1, \dots, e_k$ [/mm] sowie Primelemente [mm] $p_1, \dots, p_n$ [/mm] sowie natuerliche Zahlen [mm] $e_{ij}$, [/mm] $1 [mm] \le [/mm] i [mm] \le [/mm] k$ und $1 [mm] \le [/mm] j [mm] \le [/mm] n$, mit [mm] $a_i [/mm] = [mm] e_i \prod_{j=1}^n p_j^{e_{ij}}$.
[/mm]
Damit geht das viel einfacher.
Und noch zu deinen Zerlegungen: sollen die [mm] $a_i$ [/mm] (und ebenso die [mm] $b_i$ [/mm] und [mm] $c_i$) [/mm] paarweise nicht-assoziiert sein? In dem Fall brauchst du dringend noch eine Einheit davor, ansonsten kannst du z.B. $-4$ in [mm] $\IZ$ [/mm] nicht in dieser Form darstellen. Und wenn sie auch assoziiert zueinander sein koennen, warum dann die Exponenten?
> [mm][i]Dann gilt[/i][/mm]
> [mm][i] [mm]a*b=\epsilon c^n[/mm][/i][/mm]
> [mm][i] [mm]\iff (\produkt_i {a_i}^{k_i})*\produkt_j {b_j}^{m_j}=\epsilon \produkt_k {c_k}^{n*p_k}\,.[/mm][/i][/mm]
> [mm][i] [/i][/mm]
> [mm][i]Wie folgert man denn daraus dann die Behauptung? (Ich [/i][/mm]
> [mm][i]glaube, ich hatte[/i][/mm]
> [mm][i] bei meiner ersten Frage hier auch Unsinn geschrieben!)[/i][/mm]
> [mm][i] [/i][/mm]
> [mm][i][mm]a_1[/mm] muss eines der [mm]c_k[/mm] teilen und kann auch nur eines [/i][/mm]
> [mm][i]teilen, weil sonst[/i][/mm]
> [mm][i] [mm]c\,[/mm] nicht als Primfaktorzerlegung angegeben wäre. Damit [/i][/mm]
> [mm][i]kommt es [mm]n\,[/mm]-fach vor.[/i][/mm]
> [mm][i] Weil [mm]a,b\,[/mm] teilerfremd sind, durchlaufen wir dann alle [/i][/mm]
> [mm][i]Primfaktoren von [mm]a\,[/mm][/i][/mm]
> [mm][i] bzw. [mm]b\,.[/mm] ...[/i][/mm]
> [mm][i] [/i][/mm]
> [mm][i]Oder wie sieht das genau aus? Ich glaube nämlich, dass ich [/i][/mm]
> [mm][i]da irgendwo[/i][/mm]
> [mm][i] noch einen "Knoten" habe! Vor allem sehe ich so nicht, [/i][/mm]
> [mm][i]wieso "drei Einheiten"[/i][/mm]
> [mm][i] in der Aussage vorkommen und nicht nur zwei?[/i][/mm]
> [mm][i] [/i][/mm]
> [mm][i]Ist nicht so, dass ich Dir nicht glaube, aber ich glaube, [/i][/mm]
> [mm][i]irgendwo habe ich[/i][/mm]
> [mm][i] vor allem im Beweis 'nen Denkfehler... (wobei das hier ja [/i][/mm]
> [mm][i]auch nur eine[/i][/mm]
> [mm][i] Skizze ist)![/i][/mm]
Mach's mit der Primfaktorzerlegung die ich oben beschrieben hab, damit geht es viel einfacher Ansonsten wird es echt muehsam, weil du noch zig Einheiten in die Produkte einfuegen musst um alles richtig hinzubekommen.
LG Felix
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 01:06 Fr 26.04.2013 | | Autor: | Marcel |
Hallo Felix,
> Moin Marcel,
>
> > Hallo Schadowmaster,
> >
> > > Nein, nicht nur dieser Spezialfall.
> > > Nehm dir zB [mm]b=i*r^n[/mm] für eine Nichteinheit [mm]r[/mm]. Dann
> hast
> > du
> > > genau das gleiche Problem, wenn du versuchst [mm]b = x^n[/mm] für
> > > ein [mm]x \in R[/mm] zu schreiben; auch wenn [mm]b[/mm] jetzt keine Einheit
> > > ist.
> >
> > ach klar: Das liegt daran, dass die n-ten Einheitswurzeln
> > i.a. nicht zu [mm]\IZ[i][/mm][/i][/mm]
> > gehoeren.
>
> Ja, das ist ein (Mit-)Grund. Aber nicht der einzige
> Selbst wenn [mm]\IZ[i][/mm] [mm]n[/mm]-te Einheitswurzeln haben wuerde, muesste [/i][/mm]
> [mm][i]noch lange nicht jedes Element eine [mm]n[/mm]-te Wurzel haben [/i][/mm]
> [mm][i](schliesslich ist [mm]\IQ(i)[/mm] eine endliche Erweiterung von [mm]\IQ[/mm], [/i][/mm]
> [mm][i]womit nicht beliebige Wurzeln in [mm]\IQ(i)[/mm] drinnen sein [/i][/mm]
> [mm][i]koennen).[/i][/mm]
> [mm][i] [/i][/mm]
> [mm][i]> [mm][i]gehören. Aber dann frage ich nun doch nochmal:[/i][/mm][/i][/mm]
> [mm][i] > [mm][i]Ich wollte diese Aussage mit Primfaktorzerlegung[/i][/mm][/i][/mm]
> [mm][i] [/i][/mm]
> [mm][i]> [mm][i]begründen. Kurzgesagt:[/i][/mm][/i][/mm]
> [mm][i] > [mm][i][mm]a=\produkt_i {a_i}^{k_i}\,, b=\produkt_j {b_j}^{m_j} \text{ und }c=\produkt_k {c_k}^{p_k}[/mm][/i][/mm][/i][/mm]
> [mm][i] [/i][/mm]
> [mm][i]>[mm][i][/i][/mm][/i][/mm]
> [mm][i] > [mm][i]seien solche Primfaktorzerlegungen.[/i][/mm][/i][/mm]
> [mm][i] [/i][/mm]
> [mm][i]Das machst du dir aber recht umstaendlich.[/i][/mm]
Dafür habe ich meist Talent (vor allem in Gebieten, in denen ich mich noch nicht wirklich auskenne ^^).
> [mm][i] [/i][/mm]
> [mm][i]Zeige zuerst folgende allgemeine Aussage, die ist bei [/i][/mm]
> [mm][i]solchen Beweisen eh ueberall gut zu gebrauchen:[/i][/mm]
> [mm][i] [/i][/mm]
> [mm][i]sind [mm]a_1, \dots, a_k[/mm] Ringelemente alle ungleich 0, so gibt [/i][/mm]
> [mm][i]es Einheiten [mm]e_1, \dots, e_k[/mm] sowie Primelemente [mm]p_1, \dots, p_n[/mm] [/i][/mm]
> [mm][i]sowie natuerliche Zahlen [mm]e_{ij}[/mm], [mm]1 \le i \le k[/mm] und [mm]1 \le j \le n[/mm], [/i][/mm]
> [mm][i]mit [mm]a_i = e_i \prod_{j=1}^n p_j^{e_{ij}}[/mm].[/i][/mm]
> [mm][i] [/i][/mm]
> [mm][i]Damit geht das viel einfacher.[/i][/mm]
Ist das dann nicht eigentlich das, was Du unten korrigierst? Wenn die Primelemente nicht
assoziiert zueinander sind, dass man dann "einen Faktor Einheit" zu ergänzen hat?
> [mm][i] [/i][/mm]
> [mm][i]Und noch zu deinen Zerlegungen: sollen die [mm]a_i[/mm] (und ebenso [/i][/mm]
> [mm][i]die [mm]b_i[/mm] und [mm]c_i[/mm]) paarweise nicht-assoziiert sein?[/i][/mm]
Ich hatte - ehrlich gesagt - gar nicht drüber nachgedacht. Aber klar, wenn ich das so
schreibe, wäre das dann sinnvoll - Du begründest es ja hier:
> [mm][i]In dem Fall brauchst du dringend noch eine Einheit davor, [/i][/mm]
> [mm][i]ansonsten kannst du z.B. [mm]-4[/mm] in [mm]\IZ[/mm] nicht in dieser Form [/i][/mm]
> [mm][i]darstellen. [/i][/mm]
Knackpunkt gefunden. Ich weiß auch nicht, wieso, aber wenn ich das im Buch lese, dann
akzeptiere ich das und sehe es ein, dass man es nicht weglassen kann. Wenn ich dann
selbst an so 'ner Aufgabe arbeite, vergesse ich das tatsächlich immer. Ich sollte mir einfach
dieses einfache Beispiel merken - ich hatte zwar eben dran gedacht, dass auch $-4=(-2)*2$ ist,
aber eben [mm] $2\,$ [/mm] ist ja assoziiert zu [mm] $-2\,.$ [/mm]
> [mm]Und wenn sie auch assoziiert zueinander sein [/mm]
> [mm][i]koennen, warum dann die Exponenten?[/i][/mm]
Ich glaube, ich denke einfach noch zu sehr "schulzahlenmäßig", also irgendwie orientiere ich
mich wohl zu stark an den "natürlichen Zahlen"!
> [mm][i] [/i][/mm]
> [mm][i]> [mm][i]Dann gilt[/i][/mm][/i][/mm]
> [mm][i] > [mm][i][mm]a*b=\epsilon c^n[/mm][/i][/mm][/i][/mm]
> [mm][i] > [mm][i][mm]\iff (\produkt_i {a_i}^{k_i})*\produkt_j {b_j}^{m_j}=\epsilon \produkt_k {c_k}^{n*p_k}\,.[/mm][/i][/mm][/i][/mm]
> [mm][i] [/i][/mm]
> [mm][i]>[mm][i][/i][/mm][/i][/mm]
> [mm][i] > [mm][i]Wie folgert man denn daraus dann die Behauptung? (Ich[/i][/mm][/i][/mm]
> [mm][i] > [/i][/mm]
> [mm][i][mm][i]glaube, ich hatte[/i][/mm][/i][/mm]
> [mm][i] > [mm][i]bei meiner ersten Frage hier auch Unsinn geschrieben!)[/i][/mm][/i][/mm]
> [mm][i] [/i][/mm]
> [mm][i]>[mm][i][/i][/mm][/i][/mm]
> [mm][i] > [mm][i][mm]a_1[/mm] muss eines der [mm]c_k[/mm] teilen und kann auch nur eines[/i][/mm][/i][/mm]
> [mm][i] > [/i][/mm]
> [mm][i][mm][i]teilen, weil sonst[/i][/mm][/i][/mm]
> [mm][i] > [mm][i][mm]c\,[/mm] nicht als Primfaktorzerlegung angegeben wäre. Damit[/i][/mm][/i][/mm]
> [mm][i] [/i][/mm]
> [mm][i]> [mm][i]kommt es [mm]n\,[/mm]-fach vor.[/i][/mm][/i][/mm]
> [mm][i] > [mm][i]Weil [mm]a,b\,[/mm] teilerfremd sind, durchlaufen wir dann alle[/i][/mm][/i][/mm]
> [mm][i] [/i][/mm]
> [mm][i]> [mm][i]Primfaktoren von [mm]a\,[/mm][/i][/mm][/i][/mm]
> [mm][i] > [mm][i]bzw. [mm]b\,.[/mm] ...[/i][/mm][/i][/mm]
> [mm][i] >[mm][i][/i][/mm][/i][/mm]
> [mm][i] > [mm][i]Oder wie sieht das genau aus? Ich glaube nämlich, dass ich[/i][/mm][/i][/mm]
> [mm][i] [/i][/mm]
> [mm][i]> [mm][i]da irgendwo[/i][/mm][/i][/mm]
> [mm][i] > [mm][i]noch einen "Knoten" habe! Vor allem sehe ich so nicht,[/i][/mm][/i][/mm]
> [mm][i] [/i][/mm]
> [mm][i]> [mm][i]wieso "drei Einheiten"[/i][/mm][/i][/mm]
> [mm][i] > [mm][i]in der Aussage vorkommen und nicht nur zwei?[/i][/mm][/i][/mm]
> [mm][i] [/i][/mm]
> [mm][i]>[mm][i][/i][/mm][/i][/mm]
> [mm][i] > [mm][i]Ist nicht so, dass ich Dir nicht glaube, aber ich glaube,[/i][/mm][/i][/mm]
> [mm][i] [/i][/mm]
> [mm][i]> [mm][i]irgendwo habe ich[/i][/mm][/i][/mm]
> [mm][i] > [mm][i]vor allem im Beweis 'nen Denkfehler... (wobei das hier ja[/i][/mm][/i][/mm]
> [mm][i] [/i][/mm]
> [mm][i]> [mm][i]auch nur eine[/i][/mm][/i][/mm]
> [mm][i] > [mm][i]Skizze ist)![/i][/mm][/i][/mm]
> [mm][i] [/i][/mm]
> [mm][i]Mach's mit der Primfaktorzerlegung die ich oben beschrieben [/i][/mm]
> [mm][i]hab, damit geht es viel einfacher :-) Ansonsten wird es [/i][/mm]
> [mm][i]echt muehsam, weil du noch zig Einheiten in die Produkte [/i][/mm]
> [mm][i]einfuegen musst um alles richtig hinzubekommen.[/i][/mm]
Okay. Ich schreib' das nochmal alles zusammen. Danach kopiere ich's hier rein.
Wäre nett, wenn Du (oder auch jemand anderes) dann nochmal drüber gucken
könnte, um ggf. Verbesserungen vorzunehmen bzw. um Kritik zu üben.
Vielen Dank nochmal (auch an Schadowmaster),
Marcel
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| Status: |
(Frage) überfällig  | | Datum: | 03:31 Fr 26.04.2013 | | Autor: | Marcel |
| Aufgabe | Hallo,
wäre jemand so nett, nochmal gerade über diese Aussage + Beweis
drüberzugucken? Wenn ich das richtig verstanden habe, sollte ich mit
dieser die eigentliche Aufgabe beweisen können! |
Es sei $R$ ein faktorieller Ring, und es sei $r [mm] \in [/mm] R [mm] \setminus \{0\}.$ [/mm] Dann
gibt es eine Einheit $e [mm] \in R^\times$ [/mm] und ein $n [mm] \in \IN_0$ [/mm] so, dass - paarweise
nichtassoziierte - Primzahlen [mm] $p_1,\ldots,p_n \in R\setminus R^\times$ [/mm] und Zahlen
[mm] $N_1,\ldots,N_n \in \IN_0$ [/mm] existieren mit
[mm] $$r=e\cdot \prod_{j=1}^n {p_j}^{N_j}.$$
[/mm]
Als warnendes Beispiel sei erwähnt: Für [mm] $z=\,-\,4 \in \IZ$ [/mm] haben
wir, bis auf Reihenfolge der Faktoren, die einzige Primfaktorzerlegung
[mm] $\,-4\,=-2\cdot 2=2\cdot(-2).$ [/mm] Dies können wir auch schreiben als
[mm] $$-4=(-1)\cdot 2^2=(-1) \cdot (-2)^2\,.$$
[/mm]
Es existiert jedoch keine Darstellung [mm] $-4=\produkt_{k=1}^n {p_k}^{N_k}$
[/mm]
mit nichtassoziierten Primfaktoren, wie im Satz verlangt - d.h., auf
einen "Faktor Einheit" kann vor dem Produktzeichen nicht verzichtet
werden!
Beweis.
Zunächst begründen wir die "Warnung": In [mm] $\IZ$ [/mm] sind die einzigen
Primteiler von $4$ gerade $2$ und $-2,$ und da sowohl [mm] $2\cdot [/mm] 2=4 [mm] \not=-\,4$ [/mm]
als auch [mm] $(-2)\cdot [/mm] (-2)=4$ ist, zeigt das erwähnte Beispiel die
"Notwendigkeit des Erwähnens eines Faktors Einheit".
Nun zum Beweis der eigentlichen Behauptung:
Sei nun $m [mm] \in \IN$ [/mm] und [mm] $r=\prod_{k=1}^m P_k$ [/mm] für Primzahlen [mm] $P_k \in [/mm] R [mm] \setminus {R}^\times.$ [/mm] Eine solche Primfaktorzerlegung
existiert, weil $R$ faktoriell ist. Wir definieren nun $n [mm] \le [/mm] m$ Klassen [mm] $K_j$ [/mm] wie folgt:
[mm] $$K_{\textcolor{red}{\textbf{\textit{j}}}}:=\{P_\ell:\;\; P_\ell\text{ ist assoziiert zu }P_{\textcolor{red}{\textbf{\textit{j}}}}\,;\;\;\ell=1,\ldots,m\},$$
[/mm]
wobei [mm] $n=\min\{j \in \IN_0:\;\;\bigcup_{\ell=1}^j K_j=\{P_1,\ldots,P_m\}\}.$
[/mm]
Sei o.E. $n [mm] \ge [/mm] 1$ (andernfalls ist $r [mm] \in R^\times$ [/mm] und die Behauptung ist
trivial - man beachte, dass [mm] $p^0=1$ [/mm] für jede Primzahl $p [mm] \in [/mm] R$). Ferner können
wir dann o.E. annehmen, dass [mm] $K_1,\ldots,K_n$ [/mm] alles nicht leere Mengen sind;
andernfalls können wir das durch Umnummerierung der Primzahlen [mm] $P_j$ [/mm]
erreichen.
Nun gilt: Ist [mm] $p_j \in K_j\not=\emptyset$ [/mm] für [mm] $j=1,\ldots,n$ [/mm] gewählt, so
existiert eine Einheit [mm] $e_j \in R^\times$ [/mm] mit
[mm] $${p_j}^{|K_j|}=e_j \cdot \prod_{p \in K_j}p.$$
[/mm]
Dies ergibt sich unmittelbar aus der Definition von [mm] $K_j$ [/mm] und weil das
Produkt zweier Einheiten wieder eine Einheit ist - daher ist auch das Produkt
endlich vieler Einheiten wieder eine Einheit (Induktion!). Es folgt, wenn
[mm] $p_j \in K_j\not=\emptyset$ [/mm] für $j=1,...,n$ [mm] ($\le [/mm] m$) gewählt werden,
unter Beachtung der paarweisen Disjunktheit der Mengen [mm] $K_j,$ [/mm] mit
[mm] $N_j:=|K_j|$ [/mm] sodann
[mm] $$r=\prod_{k=1}^m P_k=\prod_{p \in \bigcup_{j=1}^n K_j}p=\prod_{j=1}^n \Big(\prod_{p \in K_j}p\Big)=\frac{1}{\prod_{j=1}^n e_j}\cdot \prod_{j=1}^n {p_j}^{|K_j|}=\frac{1}{\prod_{j=1}^n e_j}\cdot \prod_{j=1}^n {p_j}^{N_j}.$$
[/mm]
Dabei sind [mm] $e_j \in R^\times$ [/mm] für alle $j [mm] \in \{1,\ldots,n\}$ [/mm] und damit
multiplikativ invertierbar, es folgt, dass [mm] $\tilde{e}:=\prod_{j=1}^n e_j \in R^\times$ [/mm] ist und mit
[mm] $\tfrac{1}{\prod_{j=1}^n e_j} \in R^\times$ [/mm] meinen wir das multiplikative Inverse [mm] $\tilde{e}^{-1}$ [/mm]
von [mm] $\tilde{e},$ [/mm] also können wir [mm] $e:=\tilde{e}^{-1}$ [/mm] setzen und es folgt
die Behauptung.
Gruß,
Marcel
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 04:20 So 05.05.2013 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
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