abc-Formel (Mitternachtsformel < Klassen 8-10 < Schule < Mathe < Vorhilfe
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| Aufgabe | | Lösen Sie die Gleichung [mm] $4x^2 [/mm] +2*(2n -p)x [mm] +n^2 [/mm] = 0$ |
Hallo an alle Mitglieder des Matheraums,
laut Lösungsbuch kommt raus : [mm] x_{1}= \bruch{4 -2*n + \wurzel{4 (4 -2*2*n)}}{2²}
[/mm]
[mm] x_{2}= \bruch{4 -2*n - \wurzel{4 (4 -2*2*n)}}{2²}
[/mm]
Ich muss hier doch bestimmt die abc-Formel (Mitternachtsformel) anwenden, aber wie rechne ich? (bitte Schritt für Schritt erklären, da es um den Lösungsweg geht)
Danke im Voraus, matherein
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> Lösen Sie die Gleichung 4x² +2*(2n -p)x +n² = 0
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> Hallo an alle Mitglieder des Matheraums,
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> laut Lösungsbuch kommt raus : [mm]x_{1}= \bruch{4 -2*n + \wurzel{4 (4 -2*2*n)}}{2²}[/mm]
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> [mm]x_{2}= \bruch{4 -2*n - \wurzel{4 (4 -2*2*n)}}{2²}[/mm]
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> Ich muss hier doch bestimmt die abc-Formel
> (Mitternachtsformel) anwenden, aber wie rechne ich? (bitte
> Schritt für Schritt erklären, da es um den Lösungsweg
> geht)
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> Danke im Voraus, matherein
hallo matherein,
irgendwie traue ich der angebotenen Lösung nicht ganz,
obwohl ich gar nichts nachgerechnet habe. In der Gleichung
kommt ein p vor, das in deinen Lösungsformeln gar nicht
mehr auftritt. Das kann kaum sein. Ich schliesse deshalb
auf eine der 3 folgenden Möglichkeiten:
1.) du hast die Gleichung nicht korrekt übermittelt
2.) du hast die Lösungen nicht korrekt übermittelt
3.) du hast uns irgendeine zusätzliche Information betreffend p verschwiegen
Schau bitte zuerst einmal alles genau nach und melde dich dann wieder !
LG
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Hi,
Ich schliesse mich meinen Vorredner an denn die Lösung kann so nicht stimmen.
Die MItternachtsformel lautet:
[mm] x_{1,2}=\bruch{-b\pm\wurzel{b^{2}-4ac}}{2a}
[/mm]
Schauen wir uns nun deine quadratische Gleichung an.
[mm] \\4x^{2}+2\cdot\(2n-p)x+n^{2}=0
[/mm]
[mm] \gdw 4x^{2}+(4n-2p)x+n^{2}=0
[/mm]
darin ist [mm] \\a=4 [/mm] , [mm] \\b=(4n-2p) [/mm] und [mm] \\c=n^{2}.
[/mm]
Jetzt versuch mal den Lösungsweg hier zu präsentieren.
![[hut]](/images/smileys/hut.gif "[hut]") Gruß
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| Aufgabe | | Für welche reellen Zahlen n sind die zueinander parallelen Geraden [mm]
g _n : y = 2\,x + n [/mm] Sekanten, Tangenten oder Passanten der Parabel P: [mm] y^2 = 8\,x? [/mm] |
Hallo!
Die Aufgabenstellung ist eigentlich die obige und nicht diejenige, mit der ich den Diskussionsstrang angefangen habe.
Allerdings habe ich diese Aufgabe schon in einem vorherigen Diskussionsstrang gestellt, zu der mir auch die Lösungen für n beantwortet wurden.
Die Lösungen für [mm] x_{1} [/mm] und [mm] x_{2} [/mm] wurden mir aber mithilfe einer Ableitung gelöst, was mir zu der Zeit auch genügte. Allerdings möchte ich jetzt die Aufgabe mit der abc-Formel (Mitternachtsformel) lösen, da wir Ableitungen noch nicht behandelt haben.
Im Buch steht als Lösung:
Einsetzen der Geradengleichung in die Parabelgleichung führt zu den Lösungen:
[mm] x_{1}= \bruch{4 -2*4 + \wurzel{4(4 -2*2*n)}}{2²}
[/mm]
[mm] x_{2}= \bruch{4 -2*4 - \wurzel{4(4 -2*2*n)}}{2²}
[/mm]
Ich rechne so:
(2x +n)² = 8x
2²x² +2*2n*x +n² = 2*4*x
4x² +2*2n*x -2*4x +n² = 0
4x² +4n*x -2*p*x +n² = 0
4x² +2*(2n -p)x +n² = 0
Jetzt weiß ich aber nicht, wie ich auf die obige Lösung für [mm] x_{1} [/mm] und [mm] x_{2}
[/mm]
kommen soll, wahrscheinlich mit der abc-Formel?
Was ich aber wirklich vergessen habe zu erwähnen: In meinem Diskussionsstrang davor mit derselben Aufgabenstellung wurde erwähnt, daß es eigentlich heißen soll:
[mm] x_{1}= \bruch{4 -2*n + \wurzel{4(4 -2*2*n)}}{2²}
[/mm]
[mm] x_{2}= \bruch{4 -2*n - \wurzel{4(4 -2*2*n)}}{2²} [/mm]
Ich hoffe das reicht als Erklärung;)
matherein
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rätselhaft wird es genau da, wo du plötzlich ein "p"
in die Rechnung hinein zauberst, das vorher gar
nicht da war. Prüfe das zuerst einmal selber nach,
dann findest du wohl auch den Rest des Weges !
Nebenfrage:
weshalb rechnest du solche Terme wie 2*2 oder [mm] 2^2 [/mm] nicht aus ??
Wenn du die abc-Formel für die entstandene
quadratische Gleichung richtig aufgestellt hast,
ist die Entscheidung einfach: Eine Tangente
ergibt sich genau dann, wenn der Ausdruck
unter der Wurzel gleich null wird, eine Sekante,
wenn er positiv, und eine Passante, wenn er
negativ wird.
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| Aufgabe | | Für welche reellen Zahlen n sind die zueinander parallelen Geraden [mm]
g _n : y = 2\,x + n [/mm] Sekanten, Tangenten oder Passanten der Parabel P: [mm] y^2 = 8\,x? [/mm] |
Hallo Al-Chwarizmi!
Ok, das p lasse ich also weg, dann heißt die Gleichung:
4x² +4nx -8x +n² = 0
4x² +4(n-2)x +n² = 0
Bei Anwendung der abc-Formel erhalte ich aber:
[mm] \bruch{4-2n \pm \wurzel{(4-2n)² -4*4*n²}}{2*2²}
[/mm]
[mm] \bruch{4-2n \pm \wurzel{16 -16n +4n² -16n²}}{2*2²}
[/mm]
Was rechne ich aber falsch?
Danke für die Mühe
matherein
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> Für welche reellen Zahlen n sind die zueinander parallelen
> Geraden [mm]
g _n : y = 2\,x + n[/mm] Sekanten, Tangenten oder Passanten der
> Parabel P: [mm]y^2 = 8\,x?[/mm]
> Hallo Al-Chwarizmi!
>
> Ok, das p lasse ich also weg,
(hoffentlich ohne schmerzliche Abschiedsgefühle)
> dann heißt die Gleichung:
>
> 4x² +4nx -8x +n² = 0 ![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]")
> 4x² +4(n-2)x +n² = 0
Schreib doch lieber: [mm] 4*x^2 +(4n-8)*x+n^2=0
[/mm]
>
> Bei Anwendung der abc-Formel erhalte ich aber:
>
> [mm]\bruch{4-2n \pm \wurzel{(4-2n)² -4*4*n²}}{2*2²}[/mm]
>
> [mm]\bruch{4-2n \pm \wurzel{16 -16n +4n² -16n²}}{2*2²}[/mm]
Wo du den Ausdruck (4-2n) hernimmst, ist immer noch rätselhaft.
Du hast offenbar anstatt b=4n-8 jeweils 2n-4 eingesetzt. Das ist
natürlich falsch.
Möglicherweise vermischst du irgendwie die p-q-Formel mit der
abc-Formel. Löse doch bitte einmal ein paar einfache quadratische
Gleichungen nach beiden Methoden und vergleiche die Rechnungen
und die Ergebnisse ganz genau !
Und [mm] 2*2^2 [/mm] ergibt 8.
>
> Was rechne ich aber falsch?
Die abc-Formel lautet: [mm] x_{1,2}=\bruch{-b±\wurzel{b^2-4*a*c}}{2*a}
[/mm]
Im vorliegenden Fall ist a=4 , b=4n-8 und [mm] c=n^2
[/mm]
Jetzt gilt es einfach, pingelig genau in die Formel einzusetzen und
dann so weit als möglich zu vereinfachen.
LG
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| Aufgabe | | Für welche reellen Zahlen n sind die zueinander parallelen Geraden [mm]
g _n : y = 2\,x + n [/mm] Sekanten, Tangenten oder Passanten der Parabel P: [mm] y^2 = 8\,x? [/mm] |
Hallo Al-Chwarizmi,
wenn ich für b= 4n - 8 nehme, kriege ich raus:
[mm] x_{1/2} [/mm] = [mm] \bruch{8-4n \pm \wurzel{64 -32n +16n² -16n²}}{2*4}
[/mm]
[mm] x_{1/2} [/mm] = [mm] \bruch{8-4n \pm \wurzel{8*(8 -4n)}}{2*4}
[/mm]
Kürzen durch 2 ergibt:
[mm] x_{1/2} [/mm] = [mm] \bruch{4-2n \pm \wurzel{4*(4 -2n)}}{4}
[/mm]
Laut Lösungsbuch kommt aber raus:
[mm] x_{1/2} [/mm] = [mm] \bruch{4-2n \pm \wurzel{4*(4 -4n)}}{4}
[/mm]
Was ist diesmal falsch?
Mit freundlichem Gruß
matherein
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Hallo matherein!
Du hast [mm] (4n-8)^2 [/mm] falsch quadriert.Nach der 2. binomischen Formel müsste doch [mm] (4n-8)^2=16n^2-64n+64 [/mm] gelten. Rechnest du so, kommst du auf das gewünschte Ergebniss!
Gruß
Angelika
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| Aufgabe | | Für welche reellen Zahlen n sind die zueinander parallelen Geraden [mm]
g _n : y = 2\,x + n [/mm] Sekanten, Tangenten oder Passanten der Parabel P: [mm] y^2 = 8\,x? [/mm] |
Hallo Angelika,
stimmt, da habe ich die binomische Formel nicht richtig aufgelöst.
Aber ich komme trotzdem nicht auf das im Lösungsbuch angegebene
Ergebnis: [mm] x_{1/2} [/mm] = [mm] \bruch{4-2n \pm \wurzel{4(4-4n)}}{4}.
[/mm]
Mein Lösungsweg sieht so aus:
[mm] x_{1/2} [/mm] = [mm] \bruch{8-4n \pm \wurzel{64-64n+16n²-16n²}}{8}
[/mm]
[mm] x_{1/2} [/mm] = [mm] \bruch{4-2n \pm \wurzel{32-32n}}{4}
[/mm]
??????????????????????
Danke im Voraus!
matherein
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Hallo,
Ausgegangen ist man von der Gleichung [mm] \\8x=(2x+n)^{2}. [/mm] Dies ergibt sich zu [mm] \\4x^{2}+x(4n-8)+n^{2}.
[/mm]
In die abc-Formel eingesetzt ergibt das, [mm] \bruch{-(4n-8)\pm\wurzel{(4n-8)^{2}-16n^{2}}}{8}=\bruch{8-4n\pm\wurzel{64-64n}}{8}==\bruch{8-4n\pm\wurzel{64(1-n)}}{8}=\bruch{8-4n\pm\\8\wurzel{1-n}}{8}=\bruch{8-4n}{8}\pm\bruch{8\wurzel{1-n}}{8}=\bruch{4-2n}{4}\pm\wurzel{1-n}. [/mm] Nun kannst du dein [mm] \\n [/mm] so wählen, dass die Gerade einmal eine Sekante eine Passante und eine Tangente ist.
Gruß
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