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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 20:32 Di 08.11.2011 | | Autor: | pyw |
| Aufgabe | Es sei A eine endlich erzeugte abelsche Gruppe und p eine Primzahl.
Zeigen Sie bis auf Ausnahme von endlich vielen Primzahlen:
[mm] card(A/pA)=p^{rk(A)},
[/mm]
wobei rk(A) den Rang von A bezeichnet. Für welche p ist dies nicht der Fall und wie groß ist card(A/pA) dann? |
Hallo,
es ist [mm] A\cong\IZ^{rk(A)}\oplus A_{tor}, [/mm] wobei [mm] A_{tor} [/mm] die Torsionsgruppe aller Elemente von A mit endlicher Ordnung ist. Es sei [mm] G=\IZ^{rk(A)}\oplus A_{tor}
[/mm]
Ich möchte daher G/pG betrachten.
Ich komme gerade leider nicht darauf, wie es weitergeht. Bei Algebra brauche ich immer ein paar Denkanstöße.
Ich vermute übrigens, dass ggT(p, rk(A))=1 die Bedingung für
[mm] card(A/pA)=p^{rk(A)} [/mm] ist.
Kann mir jemand helfen?
Gruß,
pyw
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 21:43 Di 08.11.2011 | | Autor: | hippias |
Mal ein Beispiel: $A= [mm] \IZ\oplus C_{p}$, [/mm] wobei [mm] $C_{p}$ [/mm] zyklische Gruppe der Ordnung $p$ - $p$ wie immer Primzahl - ist. Offenbar ist $rk(A)= 1$. Aber ist nicht $|A/pA|= [mm] p^{2}$? [/mm] Vielleicht faellt es Dir nun leichter zu erkennen, welche Primzahlen hier von Belang sind.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 22:14 Di 08.11.2011 | | Autor: | pyw |
> Mal ein Beispiel: [mm]A= \IZ\oplus C_{p}[/mm], wobei [mm]C_{p}[/mm] zyklische
> Gruppe der Ordnung [mm]p[/mm] - [mm]p[/mm] wie immer Primzahl - ist. Offenbar
> ist [mm]rk(A)= 1[/mm]. Aber ist nicht [mm]|A/pA|= p^{2}[/mm]?
Nein, ich denke nicht.
In diesem Fall sollte A/pA Ordnung p haben, denn es gibt p Elemente in A/pA:
(0,0)+pA, (1,0)+pA, [mm] \ldots, [/mm] (p-1,0)+pA
Oder was meinst Du?
> Vielleicht faellt es Dir nun leichter zu erkennen, welche Primzahlen
> hier von Belang sind.
LG
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 23:13 Di 08.11.2011 | | Autor: | felixf |
Moin,
> > Mal ein Beispiel: [mm]A= \IZ\oplus C_{p}[/mm], wobei [mm]C_{p}[/mm] zyklische
> > Gruppe der Ordnung [mm]p[/mm] - [mm]p[/mm] wie immer Primzahl - ist. Offenbar
> > ist [mm]rk(A)= 1[/mm]. Aber ist nicht [mm]|A/pA|= p^{2}[/mm]?
>
> Nein, ich denke nicht.
damit liegst du falsch.
> In diesem Fall sollte A/pA Ordnung p haben, denn es gibt p
> Elemente in A/pA:
>
> (0,0)+pA, (1,0)+pA, [mm]\ldots,[/mm] (p-1,0)+pA
>
> Oder was meinst Du?
Naja, es gibt noch mehr Elemente, wie etwa $(0, 1) + pA$. Beachte, dass $pA = [mm] p\IZ \oplus [/mm] p [mm] C_p [/mm] = [mm] p\IZ \oplus \{ 0 \}$ [/mm] ist.
LG Felix
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 16:43 Mi 09.11.2011 | | Autor: | pyw |
Hallo,
> Naja, es gibt noch mehr Elemente, wie etwa [mm](0, 1) + pA[/mm].
> Beachte, dass [mm]pA = p\IZ \oplus p C_p = p\IZ \oplus \{ 0 \}[/mm]
> ist.
ok, dann gilt also für jede Primzahl p, dass [mm] |A/pA|=p^2. [/mm] So wie ich das nun sehe, ist das dann doch ein Gegenbeispiel, weil ja zu zeigen war, dass es nur endlich viele Primzahlen gibt, für die [mm] |A/pA|=p^{rk(A)}=r^1 [/mm] nicht erfüllt ist..
Stimmt das?
Gruß und Danke
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 21:51 Mi 09.11.2011 | | Autor: | hippias |
Nein, es ist lediglich ein Beispiel fuer eines der in der Behauptung erwaehnten Ausnahme-Primzahlen.Woran lag es? Den Teil [mm] $\cong \IZ^{k}$ [/mm] haben wir im Griff, denn der verhaelt sich wie erwartet mit Kardinalitaet [mm] $p^{k}$. [/mm] Der "Ueberschuss" stammt doch aus dem Teil mit endlicher Ordnung. Wie saehe es denn aus, wenn $A= [mm] \IZ\times C_{3}$ [/mm] und $p=2$?
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Moin,
> Es sei A eine endlich erzeugte abelsche Gruppe und p eine
> Primzahl.
> Zeigen Sie bis auf Ausnahme von endlich vielen
> Primzahlen:
>
> [mm]card(A/pA)=p^{rk(A)},[/mm]
>
> wobei rk(A) den Rang von A bezeichnet. Für welche p ist
> dies nicht der Fall und wie groß ist card(A/pA) dann?
> Hallo,
>
> es ist [mm]A\cong\IZ^{rk(A)}\oplus A_{tor},[/mm] wobei [mm]A_{tor}[/mm] die
> Torsionsgruppe aller Elemente von A mit endlicher Ordnung
> ist. Es sei [mm]G=\IZ^{rk(A)}\oplus A_{tor}[/mm]
Das ist doch sehr gut. Betrachte nun
[mm] $A/pA\cong(\IZ^n\oplus B)/p(\IZ^n\oplus B)=(\IZ^n\oplus B)/((p\IZ)^n\oplus pB)\cong \IZ^n/(p\IZ)^n\oplus B/pB\cong (\IZ/p\IZ)^n\oplus [/mm] B/pB$, n=rk(A), [mm] B=A_{tor}
[/mm]
Es hängt |A/pA| offenbar von B/pB ab.
>
> Ich möchte daher G/pG betrachten.
> Ich komme gerade leider nicht darauf, wie es weitergeht.
> Bei Algebra brauche ich immer ein paar Denkanstöße.
>
> Ich vermute übrigens, dass ggT(p, rk(A))=1 die Bedingung
> für [mm]card(A/pA)=p^{rk(A)}[/mm] ist.
Nein.
>
> Kann mir jemand helfen?
>
> Gruß,
> pyw
LG
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