abelsche Gruppen < Algebra < Algebra+Zahlentheo. < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
|
| Aufgabe | Sei G eine abelsche Gruppe und m := max{ord(g) |g [mm] \in [/mm] G}.
Beweisen Sie: dann gilt ord(g) |m für jedes g [mm] \in [/mm] G. |
Hallo!
Dies ist die zweite Aufgabe, von der mir die Haare zu Berge stehen,... Ich verstehe nur Bahnhof, d.h. kann mir es jemand erklären, wie ich vorgehen muss und mir Tipps/Lösung geben, damit ich so eine Aufgabe in einer Klausur lösen kann?!
Danke schonmal im Vorraus!
MfG
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 02:22 So 18.06.2006 | | Autor: | Micha |
Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
Hallo!
> Sei G eine abelsche Gruppe und m := max{ord(g) |g [mm]\in[/mm]Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
G}.
> Beweisen Sie: dann gilt ord(g) |m für jedes g [mm]\in[/mm] G.
Hmm das ist doch eigentlich nur schauen, was die Definitionen sagen:
$ord(g) = ord [mm] \left< g \right>$ [/mm] , also die Ordnung der von g erzeugten zyklischen Untergruppe. Und dann musst du noch schauen, dass [mm] $\left< g \right>$ [/mm] eine Untergruppe von G ist, dann folgt die Aussage nach dem Satz von Lagrange.
Gruß Micha 
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 12:04 So 18.06.2006 | | Autor: | Jan_Z |
Hallo,
ich verstehe irgendwie nicht, was Micha meint (welches g meint er und warum ist zu schauen, dass <g> eine Untergruppe von G ist?)
Habe einen anderen Vorschlag:
Sei h das Element maximaler Ordnung, sei g ein beliebiges Element von G und n dessen Ordnung. Zu zeigen ist: n|m.
Betrachte das Element gh. Es ist nicht schwierig zu zeigen (unter Verwendung der Tatsache, dass G abelsch ist), dass ord(gh)=kgV(m,n)=(mn)/ggT(m,n).
Angenommen n teilt nicht m, also ggT(m,n)<n, also kgV(m,n)>m. Dann ist aber ord(gh)>ord(h), im Widerspruch zur Maximalität von ord(h).
Viele Grüße,
Jan
|
|
|
|
