abelsche Koerpererweiterungen < Algebra < Algebra+Zahlentheo. < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
|
| Status: |
(Frage) beantwortet  | | Datum: | 12:28 So 06.04.2008 | | Autor: | iriska |
Hallo!
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
Ich habe eine Frage:
Warum ist die Galoisgruppe von f ( [mm] f=(x^3-1)(x^2-3) [/mm] ) abelsch und Galoisgruppe von g ( [mm] g=x^4-2 [/mm] ) nicht abelsch?
Danke schoen!
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 13:49 Mo 07.04.2008 | | Autor: | felixf |
Hallo
> Ich habe eine Frage:
>
> Warum ist die Galoisgruppe von f ( [mm]f=(x^3-1)(x^2-3)[/mm] )
> abelsch und Galoisgruppe von g ( [mm]g=x^4-2[/mm] ) nicht abelsch?
Ich nehme mal an du meinst ueber [mm] $\IQ$.
[/mm]
Also: der Zerfaellungskoerper von $f$ ist $K = [mm] \IQ(\zeta_3, \sqrt{3})$ [/mm] (wobei [mm] $\zeta_3$ [/mm] eine dritte primitive Einheitswurzel ist) und hat somit Grad [mm] $\le [/mm] 4$ (das Minimalpolynom von [mm] $\zeta_3$ [/mm] hat Grad 2 und man kann auch mit minimalem Aufwand zeigen dass der Erweiterungsgrad echt 4 ist, aber das ist hier egal), also hat die Galoisgruppe [mm] $\le [/mm] 4$ Elemente. Jetzt beachte, dass alle Gruppen der Ordnung [mm] $\le [/mm] 5$ abelsch sind.
Zu $g$: der Zerfaellungskoerper ist hier $K := [mm] \IQ(i, \sqrt[4]{2})$ [/mm] und hat Grad 8 ueber [mm] $\IQ$. [/mm] (Die Erweiterung [mm] $\IQ(\sqrt[4]{2}) [/mm] / [mm] \IQ$ [/mm] ist rein reell, wenn man $i$ hinzuadjungiert hat man also eine echte Erweiterung, womit diese Grad 2 haben muss.) Die Galoisgruppe hat also 8 Elemente, und es gibt nicht-abelsche Gruppen dieser Ordnung.
Um zu zeigen dass man hier eine hat reicht es aus, zwei Automorphismen zu finden, die nicht miteinander kommutieren. Man kann hier den Unterkoerper [mm] $\IQ(i)$ [/mm] betrachten; dieser hat zwei Automorphismen, die sich (auf verschiedene Art und Weise) zu Automorphismen von $K$ fortsetzen lassen. Jeder Automorphismus von $K$ ist durch seine Wirkung auf [mm] $\alpha [/mm] := [mm] \sqrt[4]{2}$ [/mm] und $i$ festgelegt.
Man kann z.B. [mm] $\alpha$ [/mm] auf $i [mm] \alpha$ [/mm] abbilden, auf [mm] $i^2 \alpha [/mm] = [mm] -\alpha$ [/mm] und auf [mm] $i^3 \alpha [/mm] = -i [mm] \alpha$. [/mm] Und $i$ muss entweder auf $i$ oder $-i$ gehen. Da man nun von der Theorie her $[K : [mm] \IQ] [/mm] = 8$ Automorphismen hat, muessen alle acht Kombinationen dieser zwei Moeglichkeiten auftreten.
Damit weisst du, wie die Automorphismen aussehen. Jetzt kannst du schauen, ob du zwei findest, die nicht miteinander kommutieren. Sobald du zwei gefunden hast, weisst du, dass die Galoisgruppe nicht kommutativ ist.
LG Felix
|
|
|
|
