abgeschl./offene Teilmenge < Stetigkeit < Funktionen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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| Aufgabe | Sei P([0,1], [mm] \IR) [/mm] die Menge aller Polynome in C([0,1], [mm] \IR). [/mm] Der Raum C([0,1], [mm] \IR) [/mm] sei mit der Supremumsnorm versehen. Zeigen oder widerlegen Sie:
(i) P([0,1], [mm] \IR) [/mm] ist eine abgeschlossene Teilmenge von C([0,1], [mm] \IR).
[/mm]
(ii) P([0,1], [mm] \IR) [/mm] ist eine offene Teilmenge von C([0,1], [mm] \IR) [/mm] |
Ich weiß bei dieser Aufgabe nicht, wie ich vorgehen soll. Vor allem kann ich in Verbindung mit der Aufgabe mit der Supremumsnorm nichts anfangen.
Auf Lösungsvorschläge von euch wäre ich sehr dankbar.
Nebenbei C([0,1], R) soll die Menge der stetigen Funktionen bezeichnen.
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
Grüße, favourite
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 00:28 Do 07.01.2010 | | Autor: | pelzig |
Also als erstes solltest du dir mal überlegen, was es für zwei stetige Funktionen [mm] $f,g\inC([0,1])$ [/mm] heißt, wenn [mm] $\|f-g\|_\infty<\varepsilon$ [/mm] ist. Da kommste schon selbst drauf... mal dir ein Bildchen!
Abgeschlossen hieße, dasswenn eine Folge [mm] $(p_n)$ [/mm] von Polynomen bzgl. der Supremumsnorm gegen eine Funktion [mm] $f\in [/mm] C([0,1])$ konvergiert (d.h. [mm] $\|p_n-f\|_\infty\to0$), [/mm] dann ist [mm] $f\in [/mm] P([0,1])$. Naja... es gibt jetzt sehr viele Gründe warum das einfach falsch ist. Hattet ihr z.B. schon den Approximationssatz von Weierstraß? Oder wie wäre es mit der Taylorentwicklung des Sinus?
Offenheit hieße anschaulich, zu jedem Polynom p gibt es ein [mm] $\varepsilon>0$, [/mm] sodass [mm] $\|p-f\|_\infty<\varepsilon\Rightarrow f\in [/mm] P([0,1])$. Ich geb dir mal den Tipp, dass diese Aussage falsch ist. Betrachte z.B. [mm] $p=0\in [/mm] P([0,1])$ und zeige, dass man zu jedem [mm] $\varepsilon>0$ [/mm] eine Funktion [mm] $f\in [/mm] C([0,1])$ mit [mm] $\|p-f\|<\varepsilon$ [/mm] und [mm] $f\not\in [/mm] P([0,1])$. Tipp: Eine Funktion mit unendlich vielen Nullstellen, die nicht konstant ist, ist jedenfalls kein Polynom...
Gruß, Robert
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(Frage) reagiert/warte auf Reaktion  | | Datum: | 19:57 Do 07.01.2010 | | Autor: | favourite |
Hallo Robert,
vielen Dank vorerst für die zahlreichen Hinweise. Jedoch komme ich wenig voran. Ich hab die Begrifflichkeiten nochmals studiert, komme aber keinen Schritt weiter... :(
Ich hoffe, Du kannst mich aus der miserablen Lage befreien.
Gruß, favourite
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Hallo,
> Hallo Robert,
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> vielen Dank vorerst für die zahlreichen Hinweise. Jedoch
> komme ich wenig voran. Ich hab die Begrifflichkeiten
> nochmals studiert, komme aber keinen Schritt weiter... :(
Dann verrate mal, wie weit du denn gekommen bist. Daran kann man bestimmt anknüpfen.
Du hast dir ja sicher nach den ganzen Hinweisen von Robert Gedanken gemacht zu der Aufgabe.
Teile uns die mal mit (auch auf die Gefahr hin, dass sie (teilw.) falsch sein könnten ...)
Zusammen kann man das sicher erarbeiten, aber so einseitig ... neee
>
> Ich hoffe, Du kannst mich aus der miserablen Lage
> befreien.
Mache du den ersten Schritt ... 
>
>
> Gruß, favourite
LG
schachuzipus
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