abgeschlossene Menge < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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| Aufgabe | Hi,
Meine Aufgabe lautet:
" Sei A [mm] \subset \IR [/mm] Man zeige, dass [mm] \partial [/mm] A eine abgeschlossene Menge ist." |
Nun ja meine Idee dazu ist dasdie Menge A abgeschlossen sein muss, da [mm] \IR [/mm] selbst abgeschlossen ist....
Aber wie könnte ich das zeigen?
mfg
Danke euch
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 09:58 Mo 28.11.2011 | | Autor: | fred97 |
> Hi,
> Meine Aufgabe lautet:
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> " Sei A [mm]\subset \IR[/mm] Man zeige, dass [mm]\partial[/mm] A eine
> abgeschlossene Menge ist."
> Nun ja meine Idee dazu ist dasdie Menge A abgeschlossen
> sein muss, da [mm]\IR[/mm] selbst abgeschlossen ist....
Unsinn. A=(0,1) ist nicht abgeschlossen, aber [mm] \partial [/mm] A ={0,1} ist abgeschlossen.
Zeige: [mm] $\IR \setminus \partial [/mm] A$ ist offen
FRED
>
> Aber wie könnte ich das zeigen?
>
> mfg
> Danke euch
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| Aufgabe | | Zeige: $ [mm] \IR \setminus \partial [/mm] A $ ist offen |
ok aber [mm] \IR [/mm] ist aufjedenfall offen, da es zu jedem x [mm] \in \IR [/mm] ein [mm] \epsilon [/mm] > 0 gibt. Also $ [mm] U_\varepsilon [/mm] (x) [mm] \subset \IR [/mm] $
Wenn ich nun aber mein $ [mm] \IR \setminus \partial [/mm] A $ habe ändert dies doch trotzdem nichts, da es trotzdem noch für mein x [mm] \in \IR [/mm] eine "Epsilon-Umgebung" habe oder?
mfg
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 10:44 Mo 28.11.2011 | | Autor: | fred97 |
> Zeige: [mm]\IR \setminus \partial A[/mm] ist offen
> ok aber [mm]\IR[/mm] ist aufjedenfall offen, da es zu jedem x [mm]\in \IR[/mm]
> ein [mm]\epsilon[/mm] > 0 gibt. Also [mm]U_\varepsilon (x) \subset \IR[/mm]
>
>
> Wenn ich nun aber mein [mm]\IR \setminus \partial A[/mm] habe
> ändert dies doch trotzdem nichts, da es trotzdem noch für
> mein x [mm]\in \IR[/mm] eine "Epsilon-Umgebung" habe oder?
Was soll das ?
Du mußt zeigen: zu jedem [mm]x \in \IR \setminus \partial A[/mm] gibt es eine [mm] \varepsilon [/mm] - Umgebung [mm] U_{\varepsilon}(x) [/mm] mit
[mm] $U_{\varepsilon}(x) \subseteq \IR \setminus \partial [/mm] A$
FRED
>
> mfg
>
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| Aufgabe | Du mußt zeigen: zu jedem $ x [mm] \in \IR \setminus \partial [/mm] A $ gibt es eine $ [mm] \varepsilon [/mm] $ - Umgebung $ [mm] U_{\varepsilon}(x) [/mm] $ mit
$ [mm] U_{\varepsilon}(x) \subseteq \IR \setminus \partial [/mm] A $ |
Nun ja und wie stelle ich das am Besten an?
Gibt es da ein klares "Rezept,Abfolge" wie man an so ein Beispiel rangeht?
mfg
PS: (ich möchte auf keinen Fall die Lösung)
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 11:04 Mo 28.11.2011 | | Autor: | hippias |
Man muss natuerlich die Eigenschaften der Elemente [mm] $\IR \setminus \partial [/mm] A$ ausnutzen. Mache Dir also klar, wie der Rand einer Menge definiert ist und wie die Verneinung davon lautet. Damit findest Du eine passende [mm] $\varepsilon$-Umgebung.
[/mm]
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Nun gut meine Umgebung ist nun so definiert für x [mm] \in \IR \backslash \partial
[/mm]
[mm] U_\varepsilon\,(x) [/mm] := [mm] \{\, y \in \IR \backslash \partial \,|\, d\,(x,y) < \varepsilon \,\}
[/mm]
hmmm...
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(Antwort) fertig | | Datum: | 14:29 Mo 28.11.2011 | | Autor: | fred97 |
> Nun gut meine Umgebung ist nun so definiert für x [mm]\in \IR \backslash \partial[/mm]
>
> [mm]U_\varepsilon\,(x)[/mm] := [mm]\{\, y \in \IR \backslash \partial \,|\, d\,(x,y) < \varepsilon \,\}[/mm]
Das ist doch Unsinn !
Es ist [mm]U_\varepsilon\,(x)[/mm] := [mm]\{\, y \in \IR : d(x,y)< \varepsilon \,\}[/mm]
Zeigen sollst Du: zu x [mm] \in \IR \backslash \partial [/mm] A gibt es ein [mm] \varepsilon>0 [/mm] mit:
$ [mm] U_{\varepsilon}(x) \subseteq \IR \setminus \partial [/mm] A $
Wie habt Ihr denn [mm] \partial [/mm] A definiert ?
FRED
>
>
> hmmm...
>
>
>
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| Aufgabe | | Wie habt Ihr denn $ [mm] \partial [/mm] $ A definiert ? |
Naja das wird doch der Rand sein oder?
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 14:36 Mo 28.11.2011 | | Autor: | fred97 |
> Wie habt Ihr denn [mm]\partial[/mm] A definiert ?
> Naja das wird doch der Rand sein oder?
Buuuaaa !
Na klar, aber wie habt Ihr das definiert ? Ohne die Def. wirst Du bei obiger Aufgabe nicht weit kommen !
FRED
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| Status: |
(Frage) reagiert/warte auf Reaktion  | | Datum: | 15:12 Mo 28.11.2011 | | Autor: | Steffen2361 |
Es tut mir Leid wenn ich Sie mit meinen Fragen an den Rand der Verzweiflung bring
ok mittlerweile weis ich, dass ich ja 2 mengen habe also [mm] \R [/mm] und [mm] \A [/mm] nungut und ich will zeigeb das der Rand abgeschlossen ist. Ok die Menge [mm] \R [/mm] muss offen sein und das komplement der Menge [mm] \A [/mm] auch. Somit habe ich 2 offene Menge und dasKomplement dazu(=der Rand) muss demnach geschlossen sein oder?
Hmm
mfg
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hmm kann mir keiner sagen ob meine vorherhoger Überlegung stimmt.
Sprich ob :
ok mittlerweile weis ich, dass ich ja 2 mengen habe also $ [mm] \R [/mm] $ und $ [mm] \A [/mm] $ nungut und ich will zeigeb das der Rand abgeschlossen ist. Ok die Menge $ [mm] \R [/mm] $ muss offen sein und das komplement der Menge $ [mm] \A [/mm] $ auch. Somit habe ich 2 offene Menge und dasKomplement dazu(=der Rand) muss demnach geschlossen sein oder?
stimmt?
mfg
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 09:49 Di 29.11.2011 | | Autor: | fred97 |
> hmm kann mir keiner sagen ob meine vorherhoger Überlegung
> stimmt.
>
> Sprich ob :
>
> ok mittlerweile weis ich, dass ich ja 2 mengen habe also
> [mm]\R[/mm] und [mm]\A[/mm] nungut und ich will zeigeb das der Rand
> abgeschlossen ist. Ok die Menge [mm]\R[/mm] muss offen sein und das
> komplement der Menge [mm]\A[/mm] auch. Somit habe ich 2 offene Menge
> und dasKomplement dazu(=der Rand) muss demnach geschlossen
> sein oder?
>
> stimmt?
nein.
Was spricht eigentlich dagegen, dass Du nun endlich mal sagst, wie Ihr den Rand einer Menge def. habt ?
FRED
>
> mfg
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Das habe ich ihnen schon gesagt. Ich habe noch keine Definiton in der Vorlesung gehört noch in meinen Skriptum gefunden.
http://homepage.univie.ac.at/christian.schmeiser/einfanalysis.pdf
(am nächsten kommt Punkt 5.9)
Desweiteren kenne ich nur die Defintion die ich in einer 2ten mitteilung gepostet habe.
http://www.matheforum.net/read?i=844033
mfg
Danke für deine Hilfe
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 09:36 Di 29.11.2011 | | Autor: | hippias |
Keine Ursache. Wir moechten, dass Du die mathematische Definition des Randes [mm] $\partial [/mm] A$ nachschlaegst und mitteilst, denn nur mit Hilfe des Wortlautes der Definition laesst sich letztendlich ein gesuchtes [mm] $\varepsilon$ [/mm] herausfinden.
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Ok, wenn ich die Definiton richtig verstanden habe lautet Sie folgendermaßen:
Definition Rand:
[mm] \partial [/mm] M = [mm] \overline{M} \setminus M^\circ
[/mm]
Wobei gilt, der Rand sind alle Punkte der Menge(Grenzwerte), derren Umgebung in der Menge und derren Komplement liegt ohne dem Inneren der Menge.
ich hoffe ich hbe Sie richtig verstanden
mfg
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 10:01 Di 29.11.2011 | | Autor: | hippias |
> Ok, wenn ich die Definiton richtig verstanden habe lautet
> Sie folgendermaßen:
>
> Definition Rand:
> [mm]\partial[/mm] M = [mm]\overline{M} \setminus M^\circ[/mm]
>
> Wobei gilt, der Rand sind alle Punkte der
> Menge(Grenzwerte), derren Umgebung in der Menge und derren
> Komplement liegt ohne dem Inneren der Menge.
>
> ich hoffe ich hbe Sie richtig verstanden
>
> mfg
Genau. Folglich ist nach den de-Morganschen Gesetzen [mm] $\IR\setminus \partial [/mm] A=...$?
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 10:17 Di 29.11.2011 | | Autor: | hippias |
Ich merke gerade: Deine Aufgabenstellung war ja uerspruenglich zu zeigen, dass [mm] $\partial [/mm] A$ abgeschlossen ist. Dafuer muss man die Oeffenheit von [mm] $\IR\setminus \partial [/mm] A$ nicht notwendig nachweisen, denn die Abgeschlossenheit ergibt sich sonst auch direkt aus Deiner Definition mit Hilfe der de-Morganschen Gesetze: [mm] $\partial [/mm] A= [mm] \bar{A}\setminus A^{\circ}= \bar{A}\cap (\IR\setminus A^{\circ})$. [/mm] Wenn Du nun erkennst, dass [mm] $\partial [/mm] A$ jetzt Durchschnitt zweier abgeschlossener Mengen ist und Du weisst, dass dieser stets wieder abgeschlossen ist, bist Du mit Deinen Beweis auch schon fertig
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Ok wenn ich das richtig verstanden habe.
Die Defintion ist ja bekanntlich:
$ [mm] \partial [/mm] $ A = $ [mm] \overline{A} \setminus A^\circ [/mm] $
das dank Ihnen umgeformt ergibt
$ [mm] \bar{A}\cap (\IR\setminus A^{\circ}) [/mm] $
[mm] A^{\circ} [/mm] ist immer offen
[mm] (\IR\setminus A^{\circ}) [/mm] ist daher geschlossen
[mm] \bar{A} [/mm] der Abschluss ist immer geschlossen
Dank Ihnen weiß ich, dass der Durchschnitt 2er geschlossener Mengen geschlossen ist. (Ist das auch so bei der Verneinigung geschlossener Mengen?)
Somit ist der RAnd geschlossen.
Habe ich das so richtig aufgefasst
mfg
Danke
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 10:40 Di 29.11.2011 | | Autor: | hippias |
> Ok wenn ich das richtig verstanden habe.
>
> Die Defintion ist ja bekanntlich:
>
> [mm]\partial[/mm] A = [mm]\overline{A} \setminus A^\circ[/mm]
>
> das dank Ihnen umgeformt ergibt
Wenn Dir diese Umformung noch nicht voellig klar ist, dann mache sie Dir klar; wie gesagt, das Stichwort ist de-Morgan.
>
> [mm]\bar{A}\cap (\IR\setminus A^{\circ})[/mm]
>
> [mm]A^{\circ}[/mm] ist immer offen
Ja, ergibt sich aus der Definition.
>
> [mm](\IR\setminus A^{\circ})[/mm] ist daher geschlossen
Ja, nach Definition der Abgeschlossenheit.
>
> [mm]\bar{A}[/mm] der Abschluss ist immer geschlossen
Ja, ergibt sich aus der Definition.
>
> Dank Ihnen weiß ich, dass der Durchschnitt 2er
> geschlossener Mengen geschlossen ist. (Ist das auch so bei
> der Verneinigung geschlossener Mengen?)
Ja. Auch hier: versuche es selber zu beweisen, wenn es Dir unklar erscheint.
>
> Somit ist der RAnd geschlossen.
>
> Habe ich das so richtig aufgefasst
>
Ich bin zuversichtlich. Du kannst natuerlich auch die andere Variante verfolgen, indem Du zeigst, dass [mm] $\IR\setminus \partial [/mm] A$ eine Vereinigung offener Mengen ist, also wieder offen. Das heisst auch nichts anderes, als dass [mm] $\partial [/mm] A$ abgeschlossen ist.
Bei einem mathematischen Beweis geht man fuer gewoehnlich von den mathematischen Definitionen der Begriffe aus, die in der Behauptung benutzt werden.
> mfg
> Danke
>
>
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Nein> > Ok wenn ich das richtig verstanden habe.
> >
> > Die Defintion ist ja bekanntlich:
> >
> > [mm]\partial[/mm] A = [mm]\overline{A} \setminus A^\circ[/mm]
> >
> > das dank Ihnen umgeformt ergibt
> Wenn Dir diese Umformung noch nicht voellig klar ist, dann
> mache sie Dir klar; wie gesagt, das Stichwort ist
> de-Morgan.
>
Ist mir völlig klar, wäre aber sicher nicht selber draufgekommen
> >
> > [mm]\bar{A}\cap (\IR\setminus A^{\circ})[/mm]
> >
> > [mm]A^{\circ}[/mm] ist immer offen
> Ja, ergibt sich aus der Definition.
> >
> > [mm](\IR\setminus A^{\circ})[/mm] ist daher geschlossen
> Ja, nach Definition der Abgeschlossenheit.
>
> >
> > [mm]\bar{A}[/mm] der Abschluss ist immer geschlossen
> Ja, ergibt sich aus der Definition.
> >
> > Dank Ihnen weiß ich, dass der Durchschnitt 2er
> > geschlossener Mengen geschlossen ist. (Ist das auch so bei
> > der Verneinigung geschlossener Mengen?)
> Ja. Auch hier: versuche es selber zu beweisen, wenn es Dir
> unklar erscheint.
Na klar ist die Vereinigung 2er geschlossener Mengen auch geschlossen ... :)
> >
> > Somit ist der RAnd geschlossen.
> >
> > Habe ich das so richtig aufgefasst
> >
> Ich bin zuversichtlich. Du kannst natuerlich auch die
> andere Variante verfolgen, indem Du zeigst, dass
> [mm]\IR\setminus \partial A[/mm] eine Vereinigung offener Mengen
> ist, also wieder offen. Das heisst auch nichts anderes, als
> dass [mm]\partial A[/mm] abgeschlossen ist.
>
> Bei einem mathematischen Beweis geht man fuer gewoehnlich
> von den mathematischen Definitionen der Begriffe aus, die
> in der Behauptung benutzt werden.
Ich habe zu diesem Beispiel habe ich noch eine Zusatzfrage:
"Man bestimme [mm] \partial \IR, \partial \IQ, \partial \IZ [/mm] als Teilmengen von [mm] \IR."
[/mm]
Mein Ansatz:
[mm] \partial \IQ [/mm] als Teilmenge von [mm] \IR [/mm] ist doch der [mm] \IR [/mm] selbst
[mm] \partial \IZ [/mm] als Teilmenge von [mm] \IR [/mm] ist doch der [mm] \IR [/mm] (oder [mm] \IQ)
[/mm]
[mm] \partial \IR [/mm] ist doch die Defintion also [mm] \overline{\IR} \backslash \IR^{\circ}
[/mm]
hmmm...
> > mfg
> > Danke
> >
> >
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 11:01 Di 29.11.2011 | | Autor: | fred97 |
> Nein> > Ok wenn ich das richtig verstanden habe.
> > >
> > > Die Defintion ist ja bekanntlich:
> > >
> > > [mm]\partial[/mm] A = [mm]\overline{A} \setminus A^\circ[/mm]
> > >
> > > das dank Ihnen umgeformt ergibt
> > Wenn Dir diese Umformung noch nicht voellig klar ist, dann
> > mache sie Dir klar; wie gesagt, das Stichwort ist
> > de-Morgan.
> >
> Ist mir völlig klar, wäre aber sicher nicht selber
> draufgekommen
>
> > >
> > > [mm]\bar{A}\cap (\IR\setminus A^{\circ})[/mm]
> > >
> > > [mm]A^{\circ}[/mm] ist immer offen
> > Ja, ergibt sich aus der Definition.
> > >
> > > [mm](\IR\setminus A^{\circ})[/mm] ist daher geschlossen
> > Ja, nach Definition der Abgeschlossenheit.
> >
> > >
> > > [mm]\bar{A}[/mm] der Abschluss ist immer geschlossen
> > Ja, ergibt sich aus der Definition.
> > >
> > > Dank Ihnen weiß ich, dass der Durchschnitt 2er
> > > geschlossener Mengen geschlossen ist. (Ist das auch so bei
> > > der Verneinigung geschlossener Mengen?)
> > Ja. Auch hier: versuche es selber zu beweisen, wenn es
> Dir
> > unklar erscheint.
>
> Na klar ist die Vereinigung 2er geschlossener Mengen auch
> geschlossen ... :)
> > >
> > > Somit ist der RAnd geschlossen.
> > >
> > > Habe ich das so richtig aufgefasst
> > >
> > Ich bin zuversichtlich. Du kannst natuerlich auch die
> > andere Variante verfolgen, indem Du zeigst, dass
> > [mm]\IR\setminus \partial A[/mm] eine Vereinigung offener Mengen
> > ist, also wieder offen. Das heisst auch nichts anderes, als
> > dass [mm]\partial A[/mm] abgeschlossen ist.
> >
> > Bei einem mathematischen Beweis geht man fuer gewoehnlich
> > von den mathematischen Definitionen der Begriffe aus, die
> > in der Behauptung benutzt werden.
>
> Ich habe zu diesem Beispiel habe ich noch eine Zusatzfrage:
1. man sagt "abgeschlossen " und nicht "geschlossen".
>
> "Man bestimme [mm]\partial \IR, \partial \IQ, \partial \IZ[/mm]
> als Teilmengen von [mm]\IR."[/mm]
>
> Mein Ansatz:
> [mm]\partial \IQ[/mm] als Teilmenge von [mm]\IR[/mm] ist doch der [mm]\IR[/mm]
> selbst
Ja
> [mm]\partial \IZ[/mm] als Teilmenge von [mm]\IR[/mm] ist doch der [mm]\IR[/mm] (oder
> [mm]\IQ)[/mm]
Das stimmt nicht.
> [mm]\partial \IR[/mm] ist doch die Defintion also [mm]\overline{\IR} \backslash \IR^{\circ}[/mm]
.... und das ist = ??
FRED
>
> hmmm...
> > > mfg
> > > Danke
> > >
> > >
>
> >
>
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> $ [mm] \partial \IZ [/mm] $ als Teilmenge von $ [mm] \IR [/mm] $ ist doch der $ [mm] \IR [/mm] $ (oder
> $ [mm] \IQ) [/mm] $
>
>
>Das stimmt nicht.
hmm also laut Defintion ist der Rand [mm] \Partial \IZ [/mm] = $ [mm] \overline{\IZ} \backslash \IZ^{\circ} [/mm] $
Also Das innere [mm] \IZ^{\circ} [/mm] ist doch leer da ich immer eine reele Zahl finde die in seiner Umgebung liegt. Daher besteht doch [mm] \IZ [/mm] aus der Menge seine Randpunkte. Und diese liegen doch in der mgebung der reellen/rationalen Zahlen Somit kann ich sagen
[mm] \partial \IZ [/mm] = [mm] \overline{\IZ} \setminus \IZ^{\circ} [/mm] = [mm] \overline{\IZ} \setminus \varnothing [/mm] = [mm] \mathbb{R} [/mm]
was habe ich falsch gemacht?
mfg
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 11:29 Di 29.11.2011 | | Autor: | fred97 |
> > [mm]\partial \IZ[/mm] als Teilmenge von [mm]\IR[/mm] ist doch der [mm]\IR[/mm]
> (oder
> > [mm]\IQ)[/mm]
> >
> >
> >Das stimmt nicht.
>
> hmm also laut Defintion ist der Rand [mm]\Partial \IZ[/mm] =
> [mm]\overline{\IZ} \backslash \IZ^{\circ}[/mm]
>
> Also Das innere [mm]\IZ^{\circ}[/mm] ist doch leer da ich immer eine
> reele Zahl finde die in seiner Umgebung liegt. Daher
> besteht doch [mm]\IZ[/mm] aus der Menge seine Randpunkte. Und diese
> liegen doch in der mgebung der reellen/rationalen Zahlen
> Somit kann ich sagen
>
> [mm]\partial \IZ[/mm] = [mm]\overline{\IZ} \setminus \IZ^{\circ}[/mm] =
> [mm]\overline{\IZ} \setminus \varnothing[/mm] = [mm]\mathbb{R}[/mm]
>
> was habe ich falsch gemacht?
Wie kommst Du denn auf [mm] \overline{\IZ}= \IR [/mm] ?
Das ist doch Unfug. Wenn das so wäre, so wäre jede reelle Zahl Grenwert eine geigneten Folge ganzer Zahlen. Und wenn das so wäre, so wäre [mm] \IZ= \IR.
[/mm]
Also: was ist [mm] \overline{\IZ} [/mm] ?
FRED
>
> mfg
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> Also: was ist $ [mm] \overline{\IZ} [/mm] $ ?
Abolut keine Ahnung, ich müsste raten
Wenn ich mir das "aufmale"
[0];0,1,......0,9;[1];1,1,.....1,9;[2];....
Wobei hierbei die Ziffern in den eckigen Klammern GAnzen Zahlen darstellen sollen und dazwischen die reelen Zahlen liegen.
Somit sehe ich es gibt keine Inneren Punkte aber nur Randpunkte. Somit ist der Abschluss der Ganzen ZAhlen, die Ganzen Zahlen selbst?
mfg
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 12:39 Di 29.11.2011 | | Autor: | fred97 |
> > Also: was ist [mm]\overline{\IZ}[/mm] ?
> Abolut keine Ahnung, ich müsste raten
>
> Wenn ich mir das "aufmale"
>
> [0];0,1,......0,9;[1];1,1,.....1,9;[2];....
> Wobei hierbei die Ziffern in den eckigen Klammern GAnzen
> Zahlen darstellen sollen und dazwischen die reelen Zahlen
> liegen.
>
> Somit sehe ich es gibt keine Inneren Punkte aber nur
> Randpunkte. Somit ist der Abschluss der Ganzen ZAhlen, die
> Ganzen Zahlen selbst?
Ja
FRED
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> mfg
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