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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 13:19 Mi 16.01.2008 | | Autor: | Zerwas |
| Aufgabe | Welche der folgenden Menge sind abgeschlossen in [mm] \IR?
[/mm]
(a) [mm] \IN
[/mm]
(b) [mm] \IQ
[/mm]
(c) [mm] \IQ\cap [/mm] [0,1]
(d) [mm] \{\bruch{1}{n}| n \in \IN \setminus \{0\}\}
[/mm]
(e) [mm] \{\bruch{1}{n}| n \in \IN \setminus \{0\}\} \cup \{0\}
[/mm]
(f) [mm] [0,\infty)
[/mm]
(g) [0,1)
(h) [mm] \{x \in \IR | x^3 \le 5\} [/mm] |
Iwie komme ich damit nicht so ganz klar:
Eine Menge M ist abgeschlossen wenn ihr Komplement offen ist bzw. wenn der grenzwert jeder konvergenten Folge aus Elementen aus M wieder in M liegt. Das heißt also:
(a) [mm] \IN [/mm] abgeschlossen, da der Grenzwert jeder Folge aus natürlichen Zahlen wieder eine natürliche Zahl ist. Oder wenn man mit dem Komplement argumentier: [mm] \IR\setminus\IN [/mm] ist offen, da jeder Punkt in [mm] \IR \setminus \IN [/mm] nur von Punkten aus [mm] \IR \setminus \IN [/mm] umgeben ist (Dichtheit)
(b) [mm] \IQ [/mm] ist nicht abgeschlossen, da [mm] \IQ [/mm] dicht in [mm] \IR [/mm] liegt und Folgen aus Elementen aus [mm] \IQ [/mm] exisiteren welche gegen einen irrationalen Grenzwert streben (Hätte hier vllt jmd ein konkretes Beispiel für mich?)
(c) Hier fangen jetzt meine Probleme an. Warum ist [mm] \IQ\cap [/mm] [0,1] abgeschlossen? (Lt. Lösung) Könnte ich nicht wie bei (b) eine Folge konstruieren welche gegen einen irrationalen Grenzwert im Intervall (0,1) strebt?
Und liegt nicht [mm] \IQ\cap [/mm] [0,1] dicht in [0,1] [mm] \subset \IR?
[/mm]
(d) Hier ist es wieder Recht einfach ... [mm] \bruch{1}{n} [/mm] konvergiert gegen 0 für n [mm] \rightarrow \infty [/mm] die 0 liegt jedoch nicht in der Menge [mm] \Rightarrow [/mm] nicht abgeschlossen
(e) Hier würde ich das Argument wie in (d) anführen nur eben ist jetzt die 0 drin und damit die Menge abgeschlossen
(f) Hier würde ich sagen, dass das Komplement also [mm] (-\infty [/mm] , 0) [mm] \subset \IR [/mm] wieder offen ist wegen der Dichtheit von [mm] \IR [/mm] und damit die Menge offen.
(g) Hier sollte ich ja eine Folge konstuieren können welche gegen 1 konvergiert. Damit ist die Menge nicht abgeschlossen.
(h) Hier würde ich die dritte Wurzel ziehen und hätt dann das Intervall [mm] (-\infty, \wurzel[3]{5}] [/mm] und damit wieder eine abgeschlossene Menge.
Passen meine Überlegungen so? Wo sind fehlern und wie kann ich mir teil (c) vorstellen.
danke gruß Zerwas
Ich habe diese Frage auf keinem anderen Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 14:28 Mi 16.01.2008 | | Autor: | Marcel |
Hallo,
> Welche der folgenden Menge sind abgeschlossen in [mm]\IR?[/mm]
> (a) [mm]\IN[/mm]
> (b) [mm]\IQ[/mm]
> (c) [mm]\IQ\cap[/mm] [0,1]
> (d) [mm]\{\bruch{1}{n}| n \in \IN \setminus \{0\}\}[/mm]
> (e)
> [mm]\{\bruch{1}{n}| n \in \IN \setminus \{0\}\} \cup \{0\}[/mm]
> (f)
> [mm][0,\infty)[/mm]
> (g) [0,1)
> (h) [mm]\{x \in \IR | x^3 \le 5\}[/mm]
> Iwie komme ich damit nicht
> so ganz klar:
> Eine Menge M ist abgeschlossen wenn ihr Komplement offen
> ist bzw. wenn der grenzwert jeder konvergenten Folge aus
> Elementen aus M wieder in M liegt. Das heißt also:
>
> (a) [mm]\IN[/mm] abgeschlossen, da der Grenzwert jeder Folge aus
> natürlichen Zahlen wieder eine natürliche Zahl ist. Oder
> wenn man mit dem Komplement argumentier: [mm]\IR\setminus\IN[/mm]
> ist offen, da jeder Punkt in [mm]\IR \setminus \IN[/mm] nur von
> Punkten aus [mm]\IR \setminus \IN[/mm] umgeben ist (Dichtheit)
ja, mit dem Folgenkriterium könntest Du argumentieren, solltest es aber auch ausführlich beweisen. Das zweite ist "merkwürdig" formuliert, Du solltest genauer argumentieren, was Du meinst, es geht wahrscheinlich um eine geeignete [mm] $\varepsilon$-Umgebung [/mm] um einen Punkt aus [mm] $\IR \backslash \IN$... [/mm] aber wo bzw. wozu willst Du da die Dichtheit (von was denn eigentlich? von [mm] $\IQ$?) [/mm] benutzen???
Man kann es auch sehr einfach mit dem Komplement begründen:
[mm] $\IN^C=(-\infty,0) \cup \bigcup_{n \in \IN}^{\infty} [/mm] (n,n+1)$ ist als (abzählbare) Vereinigung offener Mengen wieder offen.
> (b) [mm]\IQ[/mm] ist nicht abgeschlossen, da [mm]\IQ[/mm] dicht in [mm]\IR[/mm] liegt
> und Folgen aus Elementen aus [mm]\IQ[/mm] exisiteren welche gegen
> einen irrationalen Grenzwert streben (Hätte hier vllt jmd
> ein konkretes Beispiel für mich?)
Als Beispiel einer solchen Folge:
Man kann z.B. mit dem Babylonischen Wurzelziehen (![[]](/images/popup.gif) http://de.wikipedia.org/wiki/Heronverfahren) eine Folge angeben, deren Folgeglieder alle in [mm] $\IQ$ [/mm] sind, die aber gegen [mm] $\sqrt{2}$ [/mm] konvergiert. Wegen der Dichtheit von [mm] $\IQ$ [/mm] in [mm] $\IR$ [/mm] kann man aber eben, wie gesagt, sogar für JEDE reelle Zahl $r$ eine Folge angeben, deren Folgeglieder alle [mm] $\in \IQ$ [/mm] sind, die aber dennoch gegen $r$ konvergiert (für $r [mm] \in \IQ$ [/mm] ist das klar, interessant ist natürlich der Fall $r [mm] \in \IR \backslash \IQ$). [/mm]
> (c) Hier fangen jetzt meine Probleme an. Warum ist [mm]\IQ\cap[/mm]
> [0,1] abgeschlossen? (Lt. Lösung) Könnte ich nicht wie bei
> (b) eine Folge konstruieren welche gegen einen irrationalen
> Grenzwert im Intervall (0,1) strebt?
> Und liegt nicht [mm]\IQ\cap[/mm] [0,1] dicht in [0,1] [mm]\subset \IR?[/mm]
Steht da wirklich der Schnitt? Denn dann ist die "Lösung" falsch, denn [mm] $\IQ \cap [/mm] [0,1]$ liegt dicht in $[0,1]$, und daher ist der Abschluss von [mm] $\IQ \cap [/mm] [0,1]$ einfach $[0,1]$, und letztgenannte Menge enthält natürlich auch irrationale Zahlen. Genaugenommen kann schon [mm] $\IQ \cap [/mm] [0,1]$ nicht abgeschlossen sein, weil [mm] $\IQ \cap [/mm] [0,1]=[0,1] [mm] \backslash \{r \in \IR \backslash \IQ\}$ [/mm] und damit ist z.B. [mm] $\frac{\sqrt{2}}{2} \in [/mm] [0,1]$, aber [mm] $\frac{\sqrt{2}}{2} \notin [/mm] [0,1] [mm] \cap \IQ$ [/mm] (man kann aber eine Folge von rationalen Zahlen in $[0,1]$ so angeben, dass diese gegen [mm] $\frac{\sqrt{2}}{2}$ [/mm] konvergiert).
> (d) Hier ist es wieder Recht einfach ... [mm]\bruch{1}{n}[/mm]
> konvergiert gegen 0 für n [mm]\rightarrow \infty[/mm] die 0 liegt
> jedoch nicht in der Menge [mm]\Rightarrow[/mm] nicht abgeschlossen
Genau!
> (e) Hier würde ich das Argument wie in (d) anführen nur
> eben ist jetzt die 0 drin und damit die Menge abgeschlossen
Jein, die Begründung ist zu knapp.
Du musst zeigen:
Sind [mm] $a_k \in \{\bruch{1}{n}| n \in \IN \setminus \{0\}\} \cup \{0\}$ [/mm] mit [mm] $a_k \to [/mm] a$ bei $k [mm] \to \infty$, [/mm] so folgt $a [mm] \in \{\bruch{1}{n}| n \in \IN \setminus \{0\}\} \cup \{0\}$, [/mm] d.h. entweder ist $a=0$, oder es gibt eine Darstellung [mm] $a=\frac{1}{N}$ [/mm] mit einem $N [mm] \in \IN$.
[/mm]
> (f) Hier würde ich sagen, dass das Komplement also [mm](-\infty[/mm]
> , 0) [mm]\subset \IR[/mm] wieder offen ist wegen der Dichtheit von
> [mm]\IR[/mm] und damit die Menge offen.
Was hat das mit der Dichtheit (und wieso sprichst Du von der Dichtheit von [mm] $\IR$ [/mm] in sich selbst?) zu tun? Es ist einfach das Komplement [mm] $=(-\infty,0)$ [/mm] eine in [mm] $\IR$ [/mm] offene Menge.
> (g) Hier sollte ich ja eine Folge konstuieren können welche
> gegen 1 konvergiert...
...und deren Folgeglieder alle in $[0,1)$ liegen!!!
> . Damit ist die Menge nicht
> abgeschlossen.
Ja, oder man erkennt es auch an dem Komplement, da schon [mm] $[1,\infty)$ [/mm] nicht offen in [mm] $\IR$ [/mm] ist, dass die Menge nicht abgeschlossen sein kann.
(Edit: Umformuliert, denn beachte: Es gibt Mengen, die sowohl offen als auch abgeschlossen sind! Ich habe daher geschrieben, dass [mm] [1,\infty) [/mm] nicht offen ist, anstatt wie vorher, dass [mm] $[1,\infty)$ [/mm] abgeschlossen ist, welches einer weiteren Bemerkung bedarft hätte, warum diese abgeschlossene Menge dann nicht offen sein kann.)
Eine wie von Dir gewünschte Folge kann man auch konkret hinschreiben:
[mm] $a_n:=1-\frac{1}{n}$ [/mm] tut's.
> (h) Hier würde ich die dritte Wurzel ziehen und hätt dann
> das Intervall [mm](-\infty, \wurzel[3]{5}][/mm] und damit wieder
> eine abgeschlossene Menge.
Ja, das passt.
> Passen meine Überlegungen so? Wo sind fehlern und wie kann
> ich mir teil (c) vorstellen.
>
> danke gruß Zerwas
Gruß,
Marcel
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 16:25 Do 17.01.2008 | | Autor: | Zerwas |
(a)
okay das mit der Dichtheit war falsch gedacht von mir ... fehlt bei dem angeführten Komplement [mm] \IN^C=\bigcup_{n\in\IZ}^{\infty}(n,n+1) [/mm] nicht eigetlich noch alle negativen ganzen Zahlen? ... die sind ja in den INtervallen genausowenig drin wie dir positiven ... damit wäre das Komplement ja nicht vollständig oder?
(b)
okay das ist dann auch klar :)
(c)
In Aufgabe und Lösung steht wirklich der Schnitt d.h. meine Überlegungen waren richtig :)
Wenn man von [mm] \IQ \cup [/mm] [0,1] ausgeht sollte doch aber eigentlich auch diese Menge doch aber auch nicht abgeschlossen sein. Ich kann doch wie bei Teil (b) argumentieren und einen beliebigen irrationalen Grenzwert wählen welcher nicht in [0,1] liegt oder?
(d)
gut :)
(e)
könnte ich dann argumentieren indem ich sage, dass auf Grund des "Folgencharakters" der Menge jede Folge aus Elementen dieser Menge eine Teilfolge von [mm] \bruch{1}{n} [/mm] sein muss und damit sicher gegen 0 oder ein Element der Menge konvergiert (konstant ab einem Gleid)
(f)
das mit der Dichtheit war einfach ein Vorstellungsfehler von mir ansonsten ist es klar.
(g)
okay klar ... auf die Folge hätte ich auch kommen können -.- danke :)
(h)
gut :)
danke für die ausführlichen Erläuterungen :)
Gruß Zerwas
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(Antwort) fertig | | Datum: | 17:36 Do 17.01.2008 | | Autor: | Marcel |
Hi,
> (a)
> okay das mit der Dichtheit war falsch gedacht von mir ...
> fehlt bei dem angeführten Komplement
> [mm]\IN^C=\bigcup_{n\in\IZ}^{\infty}(n,n+1)[/mm] nicht eigetlich
> noch alle negativen ganzen Zahlen? ... die sind ja in den
> INtervallen genausowenig drin wie dir positiven ... damit
> wäre das Komplement ja nicht vollständig oder?
ja, das ist ein guter Einwand. Ich habe das Komplement falsch aufgeschrieben, ich war in Gedanken wohl bei [mm] $\IZ^C$. [/mm] Wie auch immer...
Man erkennt es aber an der Darstellung:
[mm] $\IN^C=(-\infty,0) \cup \bigcup_{n \in \IN}(n,n+1)$
[/mm]
Ich habe das in dem anderen Post korrigiert. Danke für den Hinweis!!!
(Übrigens: Normalerweise ist bei mir $0 [mm] \notin \IN$, [/mm] und ich schreibe für das, was ihr [mm] $\IN$ [/mm] nennt, normalerweise [mm] $\IN_0$. [/mm] Ich habe versucht, mit eurer Notation von [mm] $\IN$ [/mm] zu arbeiten, wenn ich da irgendwo mal durcheinanderkomme, dann weißt Du, woran das liegt  .)
> (b)
> okay das ist dann auch klar :)
>
> (c)
> In Aufgabe und Lösung steht wirklich der Schnitt d.h.
> meine Überlegungen waren richtig :)
> Wenn man von [mm]\IQ \cup[/mm] [0,1] ausgeht sollte doch aber
> eigentlich auch diese Menge doch aber auch nicht
> abgeschlossen sein. Ich kann doch wie bei Teil (b)
> argumentieren und einen beliebigen irrationalen Grenzwert
> wählen welcher nicht in [0,1] liegt oder?
Ja, ich wollte auch nicht andeuten, dass sich da etwas ändert, wenn man [mm] $\cap$ [/mm] durch [mm] $\cup$ [/mm] ersetzt. In beiden Fällen sind die Mengen nicht abgeschlossen. Also ich würde den Aufgabensteller/Übungsleiter nochmal darauf ansprechen, ob die Aufgabe wirklich so gemeint ist und warum die Lösung richtig sein soll, wenn man denn schon eine Folge rationaler Zahlen in $[0,1]$ angeben kann, die gegen [mm] $\frac{\sqrt{2}}{2} \notin [/mm] [0,1] [mm] \cap \IQ$ [/mm] konvergiert (so eine kann man auch explizit mittles des Babylonischen Wurzelziehens hinschreiben).
> (d)
> gut :)
>
> (e)
> könnte ich dann argumentieren indem ich sage, dass auf
> Grund des "Folgencharakters" der Menge jede Folge aus
> Elementen dieser Menge eine Teilfolge von [mm]\bruch{1}{n}[/mm] sein
> muss und damit sicher gegen 0 oder ein Element der Menge
> konvergiert (konstant ab einem Gleid)
Ich denke, Deine Gedanken gehen in die richtige Richtung, es muss aber genauer präzisiert werden:
Es liegt im Wesentlichen daran, dass die Menge [mm] $M:=\{\frac{1}{n}, n \in \IN\backslash\{0\}\}$ [/mm] aus isolierten Punkten besteht, d.h. hier:
[mm] $(\*)$ [/mm] Zu jedem Punkt $m [mm] \in [/mm] M$ gibt es eine Zahl [mm] $\varepsilon=\varepsilon_m [/mm] > 0$, so dass der Schnitt $(m [mm] -\varepsilon, [/mm] m + [mm] \varepsilon) \cap M=\{m\}$ [/mm] ist.
Ich zeige Dir, wie man das ausnutzt:
Also zunächst mal musst Du ja eine beliebige Folge aus der Menge $M [mm] \cup \{0\}$ [/mm] hernehmen, die auch konvergiert. Ist diese Folge eine Nullfolge, so hat man nichts mehr zu zeigen.
Nehmen wir an, es ist keine Nullfolge. Weil alle Folgeglieder insbesondere [mm] $\ge [/mm] 0$ sein müssen (klar nach Definition von $M [mm] \cup \{0\}$), [/mm] ist jedenfalls der Grenzwert dieser Folge (die ja als konvergent vorausgesetzt wird) auch [mm] $\ge [/mm] 0$, und weil wir angenommen haben, dass die Folge nun keine Nullfolge sei, ist dieser dann $>0$.
Nun denn:
Seien also alle [mm] $a_n \in [/mm] M [mm] \cup \{0\}$ [/mm] mit [mm] $a_n \to [/mm] a$ und $a > 0$.
Insbesondere gilt dann $0 < a [mm] \le [/mm] 1$. Wir wählen nun ein $N [mm] \in \IN$ [/mm] mit [mm] $\frac{1}{N+1} \le [/mm] a [mm] \le \frac{1}{N}$ [/mm]
[mm] ($(\*\*)$ [/mm] Warum geht das?)
(Wenn man schon gezeigt hat, dass diese Menge $M$ nur aus isolierten Punkten besteht, kann man dieses schon ausnutzen. Da Du dies noch nicht gezeigt hast, mache ich das ganze etwas auf Umwegen, indem ich halt so später eine "passende" Umgebung konstruiere, die uns einen Widerspruch erzeugen wird.)
Ist [mm] $a=\frac{1}{N}$ [/mm] oder [mm] $a=\frac{1}{N+1}$, [/mm] so sind wir fertig (dann ist $a [mm] \in [/mm] M$).
Nehmen wir an, es wäre [mm] $\frac{1}{N+1} [/mm] < a < [mm] \frac{1}{N}$. [/mm] Dann setzen wir [mm] $\varepsilon:=\frac{\min \{a-\frac{1}{N+1}, \frac{1}{N}-a\}}{2} [/mm] > 0$.
Nun ist es aber so, dass dann [mm] $(a-\varepsilon, a+\varepsilon) \cap M=\emptyset$ [/mm] gilt.
[mm] ($(\*\*\*)$ [/mm] Warum?)
Damit kann aber $a$ nicht mehr der Grenzwert von [mm] $(a_n)_{n \in \IN}$ [/mm] sein (andernfalls müssten ja sogar alle bis auf endlich viele Folgeglieder in [mm] $(a-\varepsilon,a+\varepsilon)$ [/mm] liegen, also wäre [mm] $(a-\varepsilon,a+\varepsilon) \cap [/mm] M$ sogar gleichmächtig zu [mm] $\IN$, [/mm] insbesondere enthielte der letztgenannte Schnitt wenigstens ein Element).
> (f)
> das mit der Dichtheit war einfach ein Vorstellungsfehler
> von mir ansonsten ist es klar.
>
> (g)
> okay klar ... auf die Folge hätte ich auch kommen können
> -.- danke :)
>
> (h)
> gut :)
>
> danke für die ausführlichen Erläuterungen :)
>
> Gruß Zerwas
Okay, dann wäre alles klar. Du kannst bei Aufgabe e) ja mal die Fragen [mm] $(\*\*)$ [/mm] und [mm] $(\*\*\*)$ [/mm] versuchen, zu beantworten, damit die Aufgabe vollständig gelöst ist.
[mm] ($(\*)$ [/mm] kannst Du ja auch mal versuchen, zu beantworten, das sollte Dir eigentlich gelingen, wenn Du meinen Beweis im Wesentlichen verstehst )
(Wobei ich vermutlich wieder etwas zu kompliziert vorgehe, aber das macht ja nichts, es ist jedenfalls zielführend )
Ansonsten: Gern geschehen 
Gruß,
Marcel
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