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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 22:12 So 24.07.2011 | | Autor: | kioto |
| Aufgabe | beweise oder widerlege:
die mene A:= [mm] \{(x,lnx):x\in[1,\infty[\} [/mm] ist eine abgeschlossene menge von [mm] \IR^2 [/mm] |
meine frage:
zeigt nicht [mm] x\in[1,\infty[ [/mm] schon, dass sie nicht abgeschlossen ist? weil x ja schon nicht abgeschlossen ist
danke schon mal
ki
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Hiho,
> meine frage:
> zeigt nicht [mm]x\in[1,\infty[[/mm] schon, dass sie nicht
> abgeschlossen ist? weil x ja schon nicht abgeschlossen ist
Wieso sollte x nicht abgeschlossen sein?
Die Menge [mm] $[1,\infty[$ [/mm] ist nicht beschränkt, aber sehr wohl abgeschlossen.
Was war denn gleich nochmal Abgeschlossenheit?
MFG,
Gono.
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 01:14 Mo 25.07.2011 | | Autor: | kioto |
Hi
>
> > meine frage:
> > zeigt nicht [mm]x\in[1,\infty[[/mm] schon, dass sie nicht
> > abgeschlossen ist? weil x ja schon nicht abgeschlossen ist
>
> Wieso sollte x nicht abgeschlossen sein?
> Die Menge [mm][1,\infty[[/mm] ist nicht beschränkt, aber sehr wohl
> abgeschlossen.
> Was war denn gleich nochmal Abgeschlossenheit?
>
hab gemerkt, dass ich da abgeschlossen und beschränkt verwechselt hab, nachdem ich den ganzen tag an den kompaktheitsbeweisaufgaben gesessen bin.......
die eigenschaft:
ist M abgeschlossene Teilmenge des [mm] \IR^n [/mm] und [mm] (x_n) [/mm] eine folge von elementen von M, die im [mm] \IR^n [/mm] konvergiert, dann liegt der grenzwert von [mm] (x_n) [/mm] ebenfalls in M.
bei x für x-> [mm] \infty [/mm] geht das ja auch gegen [mm] \infty, [/mm] bei lnx meine ich genau so, da [mm] \infty [/mm] in [mm] [1,\infty [/mm] liegt[, ist die menge abgeschlossen?
danke!
ki
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| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 08:22 Mo 25.07.2011 | | Autor: | Marcel |
Hallo,
> Hi
> >
> > > meine frage:
> > > zeigt nicht [mm]x\in[1,\infty[[/mm] schon, dass sie nicht
> > > abgeschlossen ist? weil x ja schon nicht abgeschlossen ist
> >
> > Wieso sollte x nicht abgeschlossen sein?
wieso wird hier eigentlich über [mm] $x\,$ [/mm] geredet? Die betrachtete Menge heißt gar nicht so. Aber das nur nebenbei!
> > Die Menge [mm][1,\infty[[/mm] ist nicht beschränkt, aber sehr
> wohl
> > abgeschlossen.
> > Was war denn gleich nochmal Abgeschlossenheit?
> >
> hab gemerkt, dass ich da abgeschlossen und beschränkt
> verwechselt hab, nachdem ich den ganzen tag an den
> kompaktheitsbeweisaufgaben gesessen bin.......
> die eigenschaft:
> ist M abgeschlossene Teilmenge des [mm]\IR^n[/mm] und [mm](x_n)[/mm] eine
> folge von elementen von M, die im [mm]\IR^n[/mm] konvergiert, dann
> liegt der grenzwert von [mm](x_n)[/mm] ebenfalls in M.
>
> bei x für x-> [mm]\infty[/mm] geht das ja auch gegen [mm]\infty,[/mm] bei
> lnx meine ich genau so, da [mm]\infty[/mm] in [mm][1,\infty[/mm] liegt[, ist
> die menge abgeschlossen?
Die Menge ist abgeschlossen, aber Dein Argument dafür ist Unsinn.
Zunächst mal ist gar nicht so interessant, was bei $x [mm] \to \infty$ [/mm] passiert. Ferner ist [mm] $\infty \in [1,\infty[$ [/mm] schlicht und ergreifend Schmarrn (zudem ist per Definitionem [mm] $\infty \notin \IR\,,$ [/mm] aber das ist "eine symbolische Definition". Schau' mal nach, was $x [mm] \to \infty$ [/mm] "eigentlich" bedeutet in der Analysis).
Du befindest Dich in einem metrischen Raum [mm] ($\IR^2$ [/mm] mit euklidischer Metrik). Dort kann man Abgeschlossenheit mit "Folgenabgeschlossenheit" charakterisieren.
Nimm' also eine Folge [mm] $((x_n,y_n))_{n \in \IN}\,$ [/mm] aus Deiner Menge her (d.h. für jedes [mm] $n\,$ [/mm] ist [mm] $x_n \in [1,\infty[$ [/mm] und [mm] $y_n=\ln(x_n)$), [/mm] die im [mm] $\IR^2$ [/mm] konvergiert, also [mm] $\|(x_n,y_n)-(x,y)\|_2 \to [/mm] 0$ mit einem $(x,y) [mm] \in \IR^2$. [/mm] Mit ein wenig Grundlagenwissen wirst Du wissen, dass die Konvergenz im [mm] $\IR^2$ [/mm] bzgl. der euklidischen Metrik äquivalent dazu ist, dass komponentenweise Konvergenz vorliegt: D.h. also, dass daraus [mm] $x_n \to [/mm] x$ und [mm] $y_n \to [/mm] y$ folgt. Jetzt ist zu zeigen, dass dieser [mm] $\IR^2$-Grenzwert $(x,y)\,$ [/mm] dieser (im [mm] $\IR^2$) [/mm] konvergenten Folge [mm] $((x_n,y_n))_{n \in \IN}$ [/mm] auch in Deiner Menge liegt.
D.h. jetzt hast Du noch zu begründen: Dann gilt auch [mm] $y=\ln(x)$ [/mm] mit $x [mm] \in [1,\infty[$.
[/mm]
Tipps:
1.) Da alle [mm] $x_n \ge [/mm] 1$ sind, ist auch [mm] $x=\lim_{n \to \infty}x_n \ge \ldots$
[/mm]
2.) Wegen der Stetigkeit des Logarithmus naturalis gilt
[mm] $$\ln(x)=\ln(\lim_{n \to \infty}x_n)=\lim_{n \to \infty}\ln(x_n)=\ldots$$
[/mm]
(Wenn Du die Tipps ergänzt hast, bist Du eigentlich fertig.)
P.S.:
Beachte nochmal: $(r,s) [mm] \in \{\;(t,\ln(t)):\;t \in [1,\infty[\;\}\subseteq \IR^2 \gdw (s=\ln(r)$ [/mm] mit einem $r > [mm] 1\,.$)
[/mm]
P.P.S.:
Nochmal ergänzend: Es war [mm] $A:=\{(x,\ln(x): \ge 1)\}\,.$ [/mm] Dann nimmt man sich eine beliebige Folge [mm] $((x_n,y_n))_{n \in \IN}$ [/mm] aus [mm] $A\,$ [/mm] her, die im [mm] $\IR^2$ [/mm] gegen ein $(x,y) [mm] \in \IR^2$ [/mm] konvergiert. Und wenn dann $(x,y) [mm] \in [/mm] A$ folgt, ist man fertig. (Denn dann hat man gezeigt, dass jede Folge aus [mm] $A\,,$ [/mm] die einen Grenzwert im [mm] $\IR^2$ [/mm] hat, erfüllt, dass dieser Grenzwert auch in [mm] $A\,$ [/mm] liegt.) Das ist der Gedanke, was man oben zu tun hat, um die Abgeschlossenheit von [mm] $A\,$ [/mm] einzusehen.
Gruß,
Marcel
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| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 09:22 Mo 25.07.2011 | | Autor: | kioto |
hallo marcel,
die menge abgeschlossen?
>
> Die Menge ist abgeschlossen, aber Dein Argument dafür ist
> Unsinn.
>
> Zunächst mal ist gar nicht so interessant, was bei [mm]x \to \infty[/mm]
> passiert. Ferner ist [mm]\infty \in [1,\infty[[/mm] schlicht und
> ergreifend Schmarrn (zudem ist per Definitionem [mm]\infty \notin \IR\,,[/mm]
> aber das ist "eine symbolische Definition". Schau' mal
> nach, was [mm]x \to \infty[/mm] "eigentlich" bedeutet in der
> Analysis).
ist das nicht divergenz?
>
> Nimm' also eine Folge [mm]((x_n,y_n))_{n \in \IN}\,[/mm] aus Deiner
> Menge her (d.h. für jedes [mm]n\,[/mm] ist [mm]x_n \in [1,\infty[[/mm] und
> [mm]y_n=\ln(x_n)[/mm]), die im [mm]\IR^2[/mm] konvergiert, also
> [mm]\|(x_n,y_n)-(x,y)\|_2 \to 0[/mm] mit einem [mm](x,y) \in \IR^2[/mm]. Mit
> ein wenig Grundlagenwissen wirst Du wissen, dass die
> Konvergenz im [mm]\IR^2[/mm] bzgl. der euklidischen Metrik
> äquivalent dazu ist, dass komponentenweise Konvergenz
> vorliegt: D.h. also, dass daraus [mm]x_n \to x[/mm] und [mm]y_n \to y[/mm]
> folgt. Jetzt ist zu zeigen, dass dieser [mm]\IR^2[/mm]-Grenzwert
> [mm](x,y)\,[/mm] dieser (im [mm]\IR^2[/mm]) konvergenten Folge [mm]((x_n,y_n))_{n \in \IN}[/mm]
> auch in Deiner Menge liegt.
>
> D.h. jetzt hast Du noch zu begründen: Dann gilt auch
> [mm]y=\ln(x)[/mm] mit [mm]x \in [1,\infty[[/mm].
>
> Tipps:
> 1.) Da alle [mm]x_n \ge 1[/mm] sind, ist auch [mm]x=\lim_{n \to \infty}x_n \ge \ldots[/mm]
>
> 2.) Wegen der Stetigkeit des Logarithmus naturalis gilt
> [mm]\ln(x)=\ln(\lim_{n \to \infty}x_n)=\lim_{n \to \infty}\ln(x_n)=\ldots[/mm]
>
> (Wenn Du die Tipps ergänzt hast, bist Du eigentlich
> fertig.)
>
> P.S.:
> Beachte nochmal: [mm](r,s) \in \{\;(t,\ln(t)):\;t \in [1,\infty[\;\}\subseteq \IR^2 \gdw (s=\ln(r)[/mm]
> mit einem [mm]r > 1\,.[/mm])
>
> P.P.S.:
> Nochmal ergänzend: Es war [mm]A:=\{(x,\ln(x): \ge 1)\}\,.[/mm]
> Dann nimmt man sich eine beliebige Folge [mm]((x_n,y_n))_{n \in \IN}[/mm]
> aus [mm]A\,[/mm] her, die im [mm]\IR^2[/mm] gegen ein [mm](x,y) \in \IR^2[/mm]
> konvergiert. Und wenn dann [mm](x,y) \in A[/mm] folgt, ist man
> fertig. (Denn dann hat man gezeigt, dass jede Folge aus
> [mm]A\,,[/mm] die einen Grenzwert im [mm]\IR^2[/mm] hat, erfüllt, dass
> dieser Grenzwert auch in [mm]A\,[/mm] liegt.) Das ist der Gedanke,
> was man oben zu tun hat, um die Abgeschlossenheit von [mm]A\,[/mm]
> einzusehen.
>
kann ich also z.b. [mm] x_n [/mm] so definieren?
sei [mm] x_n=(1^n)^2
[/mm]
dann gilt
- Da alle [mm] x_n \ge [/mm] 1 sind, ist auch [mm] x=\lim_{n \to \infty}x_n \ge [/mm] 1
- Wegen der Stetigkeit des Logarithmus naturalis gilt
[mm] \ln(x_n)=\ln(\lim_{n \to \infty}x_n)=\lim_{n \to \infty}\ln(1^n)^2=1
[/mm]
danke
ki
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 09:46 Mo 25.07.2011 | | Autor: | fred97 |
> hallo marcel,
> die menge abgeschlossen?
> >
> > Die Menge ist abgeschlossen, aber Dein Argument dafür ist
> > Unsinn.
> >
> > Zunächst mal ist gar nicht so interessant, was bei [mm]x \to \infty[/mm]
> > passiert. Ferner ist [mm]\infty \in [1,\infty[[/mm] schlicht und
> > ergreifend Schmarrn (zudem ist per Definitionem [mm]\infty \notin \IR\,,[/mm]
> > aber das ist "eine symbolische Definition". Schau' mal
> > nach, was [mm]x \to \infty[/mm] "eigentlich" bedeutet in der
> > Analysis).
> ist das nicht divergenz?
> >
>
> > Nimm' also eine Folge [mm]((x_n,y_n))_{n \in \IN}\,[/mm] aus Deiner
> > Menge her (d.h. für jedes [mm]n\,[/mm] ist [mm]x_n \in [1,\infty[[/mm] und
> > [mm]y_n=\ln(x_n)[/mm]), die im [mm]\IR^2[/mm] konvergiert, also
> > [mm]\|(x_n,y_n)-(x,y)\|_2 \to 0[/mm] mit einem [mm](x,y) \in \IR^2[/mm]. Mit
> > ein wenig Grundlagenwissen wirst Du wissen, dass die
> > Konvergenz im [mm]\IR^2[/mm] bzgl. der euklidischen Metrik
> > äquivalent dazu ist, dass komponentenweise Konvergenz
> > vorliegt: D.h. also, dass daraus [mm]x_n \to x[/mm] und [mm]y_n \to y[/mm]
> > folgt. Jetzt ist zu zeigen, dass dieser [mm]\IR^2[/mm]-Grenzwert
> > [mm](x,y)\,[/mm] dieser (im [mm]\IR^2[/mm]) konvergenten Folge [mm]((x_n,y_n))_{n \in \IN}[/mm]
> > auch in Deiner Menge liegt.
> >
> > D.h. jetzt hast Du noch zu begründen: Dann gilt auch
> > [mm]y=\ln(x)[/mm] mit [mm]x \in [1,\infty[[/mm].
> >
> > Tipps:
> > 1.) Da alle [mm]x_n \ge 1[/mm] sind, ist auch [mm]x=\lim_{n \to \infty}x_n \ge \ldots[/mm]
>
> >
> > 2.) Wegen der Stetigkeit des Logarithmus naturalis gilt
> > [mm]\ln(x)=\ln(\lim_{n \to \infty}x_n)=\lim_{n \to \infty}\ln(x_n)=\ldots[/mm]
>
> >
> > (Wenn Du die Tipps ergänzt hast, bist Du eigentlich
> > fertig.)
> >
> > P.S.:
> > Beachte nochmal: [mm](r,s) \in \{\;(t,\ln(t)):\;t \in [1,\infty[\;\}\subseteq \IR^2 \gdw (s=\ln(r)[/mm]
> > mit einem [mm]r > 1\,.[/mm])
> >
> > P.P.S.:
> > Nochmal ergänzend: Es war [mm]A:=\{(x,\ln(x): \ge 1)\}\,.[/mm]
> > Dann nimmt man sich eine beliebige Folge [mm]((x_n,y_n))_{n \in \IN}[/mm]
> > aus [mm]A\,[/mm] her, die im [mm]\IR^2[/mm] gegen ein [mm](x,y) \in \IR^2[/mm]
> > konvergiert. Und wenn dann [mm](x,y) \in A[/mm] folgt, ist man
> > fertig. (Denn dann hat man gezeigt, dass jede Folge aus
> > [mm]A\,,[/mm] die einen Grenzwert im [mm]\IR^2[/mm] hat, erfüllt, dass
> > dieser Grenzwert auch in [mm]A\,[/mm] liegt.) Das ist der Gedanke,
> > was man oben zu tun hat, um die Abgeschlossenheit von [mm]A\,[/mm]
> > einzusehen.
> >
> kann ich also z.b. [mm]x_n[/mm] so definieren?
> sei [mm]x_n=(1^n)^2[/mm]
Was soll der Unsinn ? Zeige: für jede konvergente Folge [mm] ((x_n,y_n)) [/mm] in A gehört auch der Grenzwert zu A.
Marcel hats Dir doch vorgemacht: sei [mm] ((x_n,y_n)) [/mm] eine konvergente Folge in A und [mm] (x_0,y_0) [/mm] ihr Grenzwert.
Dann konv. [mm] (x_n) [/mm] gegen [mm] x_0 [/mm] und [mm] (y_n) [/mm] gegen [mm] y_0.
[/mm]
Ist Dir klar, dass gilt: [mm] y_n=ln(x_n) [/mm] für jedes n ? Wenn ja, so begründe noch warum dann gilt: [mm] y_0=ln(x_0)
[/mm]
FRED
> dann gilt
> - Da alle [mm]x_n \ge[/mm] 1 sind, ist auch [mm]x=\lim_{n \to \infty}x_n \ge[/mm]
> 1
> - Wegen der Stetigkeit des Logarithmus naturalis gilt
> [mm]\ln(x_n)=\ln(\lim_{n \to \infty}x_n)=\lim_{n \to \infty}\ln(1^n)^2=1[/mm]
>
>
> danke
> ki
>
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| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 18:44 Mo 25.07.2011 | | Autor: | kioto |
hallo
>
> Marcel hats Dir doch vorgemacht: sei [mm]((x_n,y_n))[/mm] eine
> konvergente Folge in A und [mm](x_0,y_0)[/mm] ihr Grenzwert.
>
> Dann konv. [mm](x_n)[/mm] gegen [mm]x_0[/mm] und [mm](y_n)[/mm] gegen [mm]y_0.[/mm]
>
> Ist Dir klar, dass gilt: [mm]y_n=ln(x_n)[/mm] für jedes n ? Wenn
> ja, so begründe noch warum dann gilt: [mm]y_0=ln(x_0)[/mm]
>
weil [mm] \parallel a_n, b_n [/mm] - [mm] a,b\parallel [/mm] -> 0? dann folgt [mm] x_n [/mm] -> [mm] x_0, [/mm] und [mm] y_n [/mm] -> [mm] y_0, [/mm] weil die folge in A gegen [mm] \IR^2 [/mm] konvergiert, ist ihr grenzwert auch in A, deshalb abgeschlossen?
kann ichs eventuell auch mit komplement von [1, [mm] \infty[ [/mm] beweise, dass A abgeschlossen ist? es heiß doch, wenn das komplement des intervalls nicht abbgeschlossen ist, dann ist die menge abgeschlossen?
> FRED
> > dann gilt
> > - Da alle [mm]x_n \ge[/mm] 1 sind, ist auch [mm]x=\lim_{n \to \infty}x_n \ge[/mm]
> > 1
> > - Wegen der Stetigkeit des Logarithmus naturalis gilt
> > [mm]\ln(x_n)=\ln(\lim_{n \to \infty}x_n)=\lim_{n \to \infty}\ln(1^n)^2=1[/mm]
danke
ki
> >
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 22:01 Mo 25.07.2011 | | Autor: | Marcel |
Hallo kioto,
> hallo
> >
> > Marcel hats Dir doch vorgemacht: sei [mm]((x_n,y_n))[/mm] eine
> > konvergente Folge in A und [mm](x_0,y_0)[/mm] ihr Grenzwert.
> >
> > Dann konv. [mm](x_n)[/mm] gegen [mm]x_0[/mm] und [mm](y_n)[/mm] gegen [mm]y_0.[/mm]
> >
> > Ist Dir klar, dass gilt: [mm]y_n=ln(x_n)[/mm] für jedes n ? Wenn
> > ja, so begründe noch warum dann gilt: [mm]y_0=ln(x_0)[/mm]
> >
> weil [mm]\parallel a_n, b_n[/mm] - [mm]a,b\parallel[/mm] -> 0? dann folgt [mm]x_n[/mm]
> -> [mm]x_0,[/mm] und [mm]y_n[/mm] -> [mm]y_0,[/mm] weil die folge in A gegen [mm]\IR^2[/mm]
> konvergiert, ist ihr grenzwert auch in A, deshalb
> abgeschlossen?
nochmal von vorne, denn Du arbeitest unsauber (oben steht mal [mm] $a_n$ [/mm] anstatt [mm] $x_n\,,$ [/mm] dann hast Du eine [mm] $\IR^2$-Folge, [/mm] die Du nicht Koordinatenweise, sondern einfach nur durch Klammern getrennt darstellst etc.).
Wir nehmen IRGENDEINE IN [mm] $\IR^2$ [/mm] KONVERGENTE Folge AUS [mm] $A\,$ [/mm] (!!!) her. Strenggenommen heißt dies erstmal (wenn wir unter Konvergenz die bzgl. der durch die euklidische Norm induzierte Metrik verstehen):
Es ist [mm] $(t_n)_{n \in \IN}$ [/mm] eine Folge in [mm] $A\,$ [/mm] derart, dass ein [mm] $t_0 \in \IR^2$ [/mm] existiert mit [mm] $\|t_n-t_0\|_2 \to 0\,.$ [/mm]
Weil [mm] $t_0 \in \IR^2$ [/mm] ist, gibt es (ich bleibe nun bei Freds Notation, weil die ein wenig sauberer ist) dann [mm] $x_0 \in \IR$ [/mm] und [mm] $y_0 \in \IR$ [/mm] mit [mm] $t_0=(x_0,y_0)\,.$ [/mm]
Weil [mm] $(t_n)_{n \in \IN}$ [/mm] eine Folge in [mm] $A\,$ [/mm] ist, d.h. für jedes $n [mm] \in \IN$ [/mm] ist [mm] $t_n \in A\,,$ [/mm] gibt es für jedes $n [mm] \in \IN$ [/mm] ein [mm] $x_n \in [1,\infty[$, [/mm] so dass mit [mm] $y_n=\ln(x_n)$ [/mm] dann [mm] $t_n=(x_n,y_n)=(x_n,\ln(x_n))$ [/mm] ist.
Oben ist klar, dass [mm] $\|t_n [/mm] - [mm] t_0 \|_2 \to 0\,,$ [/mm] wobei natürlich auch [mm] $t_0 \in \IR^2$ [/mm] ist. Was wir zu zeigen haben, um die Abgeschlossenheit von [mm] $A\,$ [/mm] einzusehen, ist noch, dass in der Tat auch [mm] $t_0 \in [/mm] A$ gilt. (Weil [mm] $(t_n)_n$ [/mm] dann eine beliebige Folge aus [mm] $A\,$ [/mm] war, die in [mm] $\IR^2$ [/mm] konvergiert, und dann für jede beliebige "in [mm] $\IR^2$ [/mm] konvergente Folge aus [mm] $A\,$" [/mm] gilt, dass deren Grenzwert auch in [mm] $A\,$ [/mm] liegt (man weiß also mehr: denn dass der GW in [mm] $\IR^2$ [/mm] liegt, ist ja klar nach Wahl solcher Folgen!), bedeutet das: Jede in [mm] $\IR^2$ [/mm] konvergente Folge aus [mm] $A\,$ [/mm] ist auch eine in [mm] $A\,$ [/mm] konvergente Folge.)
Was haben wir also zu zeigen? Naja: Dass gilt [mm] $t_0 \in A\,.$
[/mm]
Was wissen wir über [mm] $t_0$? [/mm] Naja, dass wir [mm] $t_0=(x_0,y_0)$ [/mm] schreiben können.
Was bedeutet dann, dass wir [mm] $t_0 \in [/mm] A$ zu zeigen haben? Dass bedeutet, dass wir in der Darstellung [mm] $t_0=(x_0,y_0)$ [/mm] nachweisen müssen, dass [mm] $t_0 \in [1,\infty[$ [/mm] und dass zudem [mm] $y_0=\ln(x_0)$ [/mm] gilt. (So ist [mm] $A\,$ [/mm] gerade definiert!)
Wie machen wir das denn? Naja, aus [mm] $\|(x_n,y_n)-(x_0,y_0)\|_2 \to [/mm] 0$ folgt sicherlich [mm] $x_n \to x_0$ [/mm] (letztstehendes ist die Konvergenz in [mm] $\IR$ [/mm] mit normaler Betragsmetrik versehen) und [mm] $y_n \to y_0\,.$
[/mm]
(Wenn Du es nicht glaubst, dass [mm] $\|.\|_2$-Konvergenz [/mm] äquivalent dazu ist, dass alle Komponentenfolgen jeweils gegen die passende Komponente des Grenzwertes konvergieren: Es reicht hier auch die Implikation, dass [mm] $\|.\|_2$-Konvergenz [/mm] die der einzelnen Komponentenfolgen gegen die entsprechende Komponente impliziert. Dazu schreibe mal [mm] $\|t_n-t_0|_2=\|(x_n,y_n)-(x_0,y_0)\|_2=\sqrt{(x_n-x_0)^2+(y_n-y_0)^2}\\,...$)
[/mm]
Und nun gilt: Weil alle [mm] $x_n \in [1,\infty[$ [/mm] sind, folgt [mm] $x_0=\lim_{n \to \infty}x_n \ge [/mm] 1$ und damit [mm] $x_0 \in [1,\infty[\,.$
[/mm]
Weiter gilt:
[mm] $$y_0=\lim_{n \to \infty}y_n=\lim_{n \to \infty}\ln(x_n)\,.$$
[/mm]
Wegen der Stetigkeit des [mm] $\ln(.)$ [/mm] kannst Du nun "den Limes ins Argument ziehen" und dann steht rechterhand [mm] $=\ln(x_0)\,.$ [/mm] Bekommst Du das hin? (Da fehlt nur ein Gleichheitszeichen und ein Term bis dahin, das ist wirklich nicht schwer.)
Damit siehst Du: Aha, es gilt [mm] $x_0 \in [1,\infty[$ [/mm] und [mm] $y_0=\ln(x_0)\,.$ [/mm] Also [mm] $t_0=(x_0,\ln(x_0))$ [/mm] mit einem [mm] $x_0 \in [1,\infty[\,.$ [/mm] Nach der Definition von [mm] $A\,$ [/mm] folgt also [mm] $t_0 \in A\,.$ [/mm] Ist Dir das klar?
> kann ichs eventuell auch mit komplement von [1, [mm]\infty[[/mm]
> beweise, dass A abgeschlossen ist? es heiß doch, wenn das
> komplement des intervalls nicht abbgeschlossen ist, dann
> ist die menge abgeschlossen?
Nein. Du kannst mit dem Komplement von [mm] $A\,$ [/mm] (in [mm] $\IR^2$) [/mm] arbeiten: Die Menge $A [mm] \subseteq \IR^2$ [/mm] ist nämlich genau dann abgeschlossen, wenn [mm] $\IR^2 \setminus [/mm] A$ OFFEN ist.
Beachte aber bitte: OFFEN ist nicht das gleiche wie nicht abgeschlossen. Z.B. ist $[1,2[$ eine Teilmenge von [mm] $\IR\,,$ [/mm] die weder offen noch abgeschlossen ist. D.h. $[1,2[$ ist nicht offen. Bei Deiner Logik wäre sie demzufolge abgeschlossen. Aber sie ist auch nicht abgeschlossen (ich betrachte wieder [mm] $\IR$ [/mm] mit der vom Betrag induzierten Metrik).
P.S.: Übrigens ist auch [mm] $x_n \to \infty$ [/mm] nicht gleichbedeutend mit der Divergenz von einer Folge [mm] $(x_n)_n$ [/mm] in [mm] $\IR\,.$ [/mm] Es bedeutet nur:
Für jede (noch so große) reelle Zahl $R [mm] \in \IR$ [/mm] existiert (mindestens) ein [mm] $N=n_R \in \IN$ [/mm] so, dass [mm] $x_N \ge R\,.$ [/mm] Das impliziert natürlich, dass [mm] $(x_n)_n$ [/mm] nicht in [mm] $\IR$ [/mm] konvergieren kann (das doppelte des Grenzwert, den man o.E. als $> [mm] 0\,$ [/mm] annehmen könnte, würde ja auch von unendlich vielen Folgegliedern der Folge übertroffen werden). Aber umgekehrt muss eine divergente Folge aus [mm] $\IR$ [/mm] nicht gegen [mm] $\infty$ [/mm] streben: Das siehst Du an der beschränkten Folge [mm] $((-1)^n)_{n \in \IN}\,.$
[/mm]
P.P.S.:
Arbeite bitte sauberer, d.h.: Mache Dir immer unbedingt klar: Was ist gegeben? Wie lautet die Frage? Mit welchen Mitteln kann ich diese Frage angehen/beantworten und sobald Du dann mit etwas loslegst: Mach' Dir jeden Schritt klar, wo Du herkommst (besser: Wo Du gerade bist) und wo Du hinwillst. Denn Deine Fragen oben ergeben sich einfach meist deshalb, weil Du ein wenig auf die Aufgabe drauf losgehst, aber anstatt bei einem Konzept zu bleiben und das vollständig durchzuziehen und alles nachzuvollziehen, willst Du abschweifen und dann wieder mit anderem Zeug auf die Aufgabe drauf losgehen. Lies Dir oben mal alles nach und nach durch, und schreibe es nochmal für Dich auf bis zu den Stellen, die Du nicht verstehst. Wenn Du diese als zu wichtig erkennst, um ohne sie weiterarbeiten zu können, dann höre erstmal dort auf und frage nochmal nach. Wenn Dir bis auf ein paar Zwischenschritte alles klar ist, mach einen kleinen "Fragenkatalog" bzgl. dieser Schritte und melde Dich dann nochmal damit hier. Bevor Du nun mit dem Komplement zu arbeiten anfängst, solltest Du erstmal das "Konzept mit den Folgen" verstehen. Denn irgendwann wird man zeigen, dass es in der Analysis in metrischen Räumen egal ist, womit man das, was man beweisen will (bzgl. der Begriffe Offenheit etc.), beweist: Denn da gibt's eine Äquivalenz. Diese kann man aber auch hernehmen, um, wenn man sich in metrischen Räumen erstmal auskennt, den Begriff des topologischen Raums zu motivieren.
Gruß,
Marcel
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 23:45 Mo 25.07.2011 | | Autor: | kioto |
hallo marcel
>
> Und nun gilt: Weil alle [mm]x_n \in [1,\infty[[/mm] sind, folgt
> [mm]x_0=\lim_{n \to \infty}x_n \ge 1[/mm] und damit [mm]x_0 \in [1,\infty[\,.[/mm]
>
> Weiter gilt:
> [mm]y_0=\lim_{n \to \infty}y_n=\lim_{n \to \infty}\ln(x_n)\,.[/mm]
>
> Wegen der Stetigkeit des [mm]\ln(.)[/mm] kannst Du nun "den Limes
> ins Argument ziehen" und dann steht rechterhand
> [mm]=\ln(x_0)\,.[/mm] Bekommst Du das hin? (Da fehlt nur ein
> Gleichheitszeichen und ein Term bis dahin, das ist wirklich
> nicht schwer.)
naja, das hast ja schon gesagt, jetzt schreib ichs nur auf
[mm] y_0 [/mm] = [mm] \limes_{n\rightarrow\infty} y_n [/mm] = [mm] \limes_{n\rightarrow\infty} ln(x_n) [/mm] = [mm] ln\limes_{n\rightarrow\infty}(x_n) [/mm] = [mm] ln(x_0)
[/mm]
>
> Damit siehst Du: Aha, es gilt [mm]x_0 \in [1,\infty[[/mm] und
> [mm]y_0=\ln(x_0)\,.[/mm] Also [mm]t_0=(x_0,\ln(x_0))[/mm] mit einem [mm]x_0 \in [1,\infty[\,.[/mm]
> Nach der Definition von [mm]A\,[/mm] folgt also [mm]t_0 \in A\,.[/mm] Ist Dir
> das klar?
so langsam.......
> > kann ichs eventuell auch mit komplement von [1, [mm]\infty[[/mm]
> > beweise, dass A abgeschlossen ist? es heiß doch, wenn das
> > komplement des intervalls nicht abbgeschlossen ist, dann
> > ist die menge abgeschlossen?
>
> Nein. Du kannst mit dem Komplement von [mm]A\,[/mm] (in [mm]\IR^2[/mm])
> arbeiten: Die Menge [mm]A \subseteq \IR^2[/mm] ist nämlich genau
> dann abgeschlossen, wenn [mm]\IR^2 \setminus A[/mm] OFFEN ist.
wär der beweis einfacher?
> Beachte aber bitte: OFFEN ist nicht das gleiche wie nicht
> abgeschlossen. Z.B. ist [mm][1,2[[/mm] eine Teilmenge von [mm]\IR\,,[/mm] die
> weder offen noch abgeschlossen ist. D.h. [mm][1,2[[/mm] ist nicht
> offen. Bei Deiner Logik wäre sie demzufolge abgeschlossen.
> Aber sie ist auch nicht abgeschlossen (ich betrachte wieder
> [mm]\IR[/mm] mit der vom Betrag induzierten Metrik).
>
> P.S.: Übrigens ist auch [mm]x_n \to \infty[/mm] nicht
> gleichbedeutend mit der Divergenz von einer Folge [mm](x_n)_n[/mm]
> in [mm]\IR\,.[/mm] Es bedeutet nur:
> Für jede (noch so große) reelle Zahl [mm]R \in \IR[/mm] existiert
> (mindestens) ein [mm]N=n_R \in \IN[/mm] so, dass [mm]x_N \ge R\,.[/mm] Das
> impliziert natürlich, dass [mm](x_n)_n[/mm] nicht in [mm]\IR[/mm]
> konvergieren kann (das doppelte des Grenzwert, den man o.E.
> als [mm]> 0\,[/mm] annehmen könnte, würde ja auch von unendlich
> vielen Folgegliedern der Folge übertroffen werden). Aber
> umgekehrt muss eine divergente Folge aus [mm]\IR[/mm] nicht gegen
> [mm]\infty[/mm] streben: Das siehst Du an der beschränkten Folge
> [mm]((-1)^n)_{n \in \IN}\,.[/mm]
>
> P.P.S.:
> Arbeite bitte sauberer, d.h.: Mache Dir immer unbedingt
> klar: Was ist gegeben? Wie lautet die Frage? Mit welchen
> Mitteln kann ich diese Frage angehen/beantworten und sobald
> Du dann mit etwas loslegst: Mach' Dir jeden Schritt klar,
> wo Du herkommst (besser: Wo Du gerade bist) und wo Du
> hinwillst. Denn Deine Fragen oben ergeben sich einfach
> meist deshalb, weil Du ein wenig auf die Aufgabe drauf
> losgehst, aber anstatt bei einem Konzept zu bleiben und das
> vollständig durchzuziehen und alles nachzuvollziehen,
> willst Du abschweifen und dann wieder mit anderem Zeug auf
> die Aufgabe drauf losgehen. Lies Dir oben mal alles nach
> und nach durch, und schreibe es nochmal für Dich auf bis
> zu den Stellen, die Du nicht verstehst. Wenn Du diese als
> zu wichtig erkennst, um ohne sie weiterarbeiten zu können,
> dann höre erstmal dort auf und frage nochmal nach. Wenn
> Dir bis auf ein paar Zwischenschritte alles klar ist, mach
> einen kleinen "Fragenkatalog" bzgl. dieser Schritte und
> melde Dich dann nochmal damit hier. Bevor Du nun mit dem
> Komplement zu arbeiten anfängst, solltest Du erstmal das
> "Konzept mit den Folgen" verstehen. Denn irgendwann wird
> man zeigen, dass es in der Analysis in metrischen Räumen
> egal ist, womit man das, was man beweisen will (bzgl. der
> Begriffe Offenheit etc.), beweist: Denn da gibt's eine
> Äquivalenz. Diese kann man aber auch hernehmen, um, wenn
> man sich in metrischen Räumen erstmal auskennt, den
> Begriff des topologischen Raums zu motivieren.
ich bemühe mich in zukunft sauber zu arbeiten. nur sind beweise meine größte probleme, ich weiß immer nicht, wie ich was definieren muss, außer konvergenz bzw. divergenz und stetigkeit meine ich manchmal beweisen zu können. es gibt für alles definitionen, aber ich kann in den seltensten fällen was damit anfangen, das war in lineare algebra schon so...... zum glück muss man ini statistik nichts beweisen, sonst würde ich wirklich fast denken, ich studiere das falsche
du bist wirklich fast der einzige im forum, der sich die zeit und geduld nimmt so ausführlich zu erklären, auch wenn ich oft trotzdem nicht alles verstehe, kann ich dir nur danken.
dann versuch ichs mal mit komplement, und wünsche dir eine gute nacht
kioto
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 00:03 Di 26.07.2011 | | Autor: | Marcel |
Hallo kioto,
> hallo marcel
> >
> > Und nun gilt: Weil alle [mm]x_n \in [1,\infty[[/mm] sind, folgt
> > [mm]x_0=\lim_{n \to \infty}x_n \ge 1[/mm] und damit [mm]x_0 \in [1,\infty[\,.[/mm]
>
> >
> > Weiter gilt:
> > [mm]y_0=\lim_{n \to \infty}y_n=\lim_{n \to \infty}\ln(x_n)\,.[/mm]
>
> >
> > Wegen der Stetigkeit des [mm]\ln(.)[/mm] kannst Du nun "den Limes
> > ins Argument ziehen" und dann steht rechterhand
> > [mm]=\ln(x_0)\,.[/mm] Bekommst Du das hin? (Da fehlt nur ein
> > Gleichheitszeichen und ein Term bis dahin, das ist wirklich
> > nicht schwer.)
> naja, das hast ja schon gesagt, jetzt schreib ichs nur auf
> [mm]y_0[/mm] = [mm]\limes_{n\rightarrow\infty} y_n[/mm] =
> [mm]\limes_{n\rightarrow\infty} ln(x_n)[/mm] =
> [mm]ln\limes_{n\rightarrow\infty}(x_n)[/mm] = [mm]ln(x_0)[/mm]
Ja, das mag' Dir jetzt trivial erscheinen, aber das ist ein entscheidender Schritt. Du siehst auch, wo die Stetigkeit des [mm] $\ln$ [/mm] eingeht. Oder?
Vor allem aber sieht man jetzt endlich, wie das für die Aufgabe entscheidende weitere Ergebnis
[mm] $$y_0=\ln(x_0)$$
[/mm]
zustandekommt.
> >
> > Damit siehst Du: Aha, es gilt [mm]x_0 \in [1,\infty[[/mm] und
> > [mm]y_0=\ln(x_0)\,.[/mm] Also [mm]t_0=(x_0,\ln(x_0))[/mm] mit einem [mm]x_0 \in [1,\infty[\,.[/mm]
> > Nach der Definition von [mm]A\,[/mm] folgt also [mm]t_0 \in A\,.[/mm] Ist Dir
> > das klar?
> so langsam.......
Gut. 
> > > kann ichs eventuell auch mit komplement von [1,
> [mm]\infty[[/mm]
> > > beweise, dass A abgeschlossen ist? es heiß doch, wenn das
> > > komplement des intervalls nicht abbgeschlossen ist, dann
> > > ist die menge abgeschlossen?
> >
> > Nein. Du kannst mit dem Komplement von [mm]A\,[/mm] (in [mm]\IR^2[/mm])
> > arbeiten: Die Menge [mm]A \subseteq \IR^2[/mm] ist nämlich genau
> > dann abgeschlossen, wenn [mm]\IR^2 \setminus A[/mm] OFFEN ist.
> wär der beweis einfacher?
> > Beachte aber bitte: OFFEN ist nicht das gleiche wie
> nicht
> > abgeschlossen. Z.B. ist [mm][1,2[[/mm] eine Teilmenge von [mm]\IR\,,[/mm] die
> > weder offen noch abgeschlossen ist. D.h. [mm][1,2[[/mm] ist nicht
> > offen. Bei Deiner Logik wäre sie demzufolge abgeschlossen.
> > Aber sie ist auch nicht abgeschlossen (ich betrachte wieder
> > [mm]\IR[/mm] mit der vom Betrag induzierten Metrik).
> >
> > P.S.: Übrigens ist auch [mm]x_n \to \infty[/mm] nicht
> > gleichbedeutend mit der Divergenz von einer Folge [mm](x_n)_n[/mm]
> > in [mm]\IR\,.[/mm] Es bedeutet nur:
> > Für jede (noch so große) reelle Zahl [mm]R \in \IR[/mm]
> existiert
> > (mindestens) ein [mm]N=n_R \in \IN[/mm] so, dass [mm]x_N \ge R\,.[/mm] Das
> > impliziert natürlich, dass [mm](x_n)_n[/mm] nicht in [mm]\IR[/mm]
> > konvergieren kann (das doppelte des Grenzwert, den man o.E.
> > als [mm]> 0\,[/mm] annehmen könnte, würde ja auch von unendlich
> > vielen Folgegliedern der Folge übertroffen werden). Aber
> > umgekehrt muss eine divergente Folge aus [mm]\IR[/mm] nicht gegen
> > [mm]\infty[/mm] streben: Das siehst Du an der beschränkten Folge
> > [mm]((-1)^n)_{n \in \IN}\,.[/mm]
> >
> > P.P.S.:
> > Arbeite bitte sauberer, d.h.: Mache Dir immer unbedingt
> > klar: Was ist gegeben? Wie lautet die Frage? Mit welchen
> > Mitteln kann ich diese Frage angehen/beantworten und sobald
> > Du dann mit etwas loslegst: Mach' Dir jeden Schritt klar,
> > wo Du herkommst (besser: Wo Du gerade bist) und wo Du
> > hinwillst. Denn Deine Fragen oben ergeben sich einfach
> > meist deshalb, weil Du ein wenig auf die Aufgabe drauf
> > losgehst, aber anstatt bei einem Konzept zu bleiben und das
> > vollständig durchzuziehen und alles nachzuvollziehen,
> > willst Du abschweifen und dann wieder mit anderem Zeug auf
> > die Aufgabe drauf losgehen. Lies Dir oben mal alles nach
> > und nach durch, und schreibe es nochmal für Dich auf bis
> > zu den Stellen, die Du nicht verstehst. Wenn Du diese als
> > zu wichtig erkennst, um ohne sie weiterarbeiten zu können,
> > dann höre erstmal dort auf und frage nochmal nach. Wenn
> > Dir bis auf ein paar Zwischenschritte alles klar ist, mach
> > einen kleinen "Fragenkatalog" bzgl. dieser Schritte und
> > melde Dich dann nochmal damit hier. Bevor Du nun mit dem
> > Komplement zu arbeiten anfängst, solltest Du erstmal das
> > "Konzept mit den Folgen" verstehen. Denn irgendwann wird
> > man zeigen, dass es in der Analysis in metrischen Räumen
> > egal ist, womit man das, was man beweisen will (bzgl. der
> > Begriffe Offenheit etc.), beweist: Denn da gibt's eine
> > Äquivalenz. Diese kann man aber auch hernehmen, um, wenn
> > man sich in metrischen Räumen erstmal auskennt, den
> > Begriff des topologischen Raums zu motivieren.
> ich bemühe mich in zukunft sauber zu arbeiten. nur sind
> beweise meine größte probleme, ich weiß immer nicht, wie
> ich was definieren muss, außer konvergenz bzw. divergenz
> und stetigkeit meine ich manchmal beweisen zu können. es
> gibt für alles definitionen, aber ich kann in den
> seltensten fällen was damit anfangen, das war in lineare
> algebra schon so...... zum glück muss man ini statistik
> nichts beweisen, sonst würde ich wirklich fast denken, ich
> studiere das falsche
Beweisen lernt man nur, indem man sich Beweise anguckt, diese nachvollzieht und sich dann selbst an anderen Beweisen versucht. Deswegen ist ein Mathestudium auch so strukturiert, wie es strukturiert ist. Kannst Du Dich mit anderen austauschen? Gerade, wenn man solche "Hänger" hat und erstmal "wie alleine im Wald dasteht", kann es oft helfen, sich mit anderen auszutauschen. Indem man erklärt und fragt, d.h. Du erklärst anderen, was Du wie verstehst und sie sagen Dir, ob Du es richtig verstehst (bzw. wenn sie es anders verstehen) und natürlich fragst Du auch, wenn Du etwas gar nicht verstehst, ob sie es mit eigenen Worten oder vielleicht auch mal mit einem Bsp. Dir näherbringen können. Unterschätze solche Lerngruppen nicht, die können sehr sehr hilfreich sein. Dann lösen sich auch manche "Denkblockaden".
> du bist wirklich fast der einzige im forum, der sich die
> zeit und geduld nimmt so ausführlich zu erklären, auch
> wenn ich oft trotzdem nicht alles verstehe, kann ich dir
> nur danken.
Gerne.
> dann versuch ichs mal mit komplement, und wünsche dir eine
> gute nacht
Ich Dir auch. Danke.
Wenn Du's mit dem Komplement angehst, hast Du zu zeigen, dass in folgenden beiden Fällen:
1.) Sei $(r,s) [mm] \in \IR^2$ [/mm] mit $r < 1$
oder
2.) Sei $(r,s) [mm] \in \IR^2$ [/mm] mit $r [mm] \ge [/mm] 1$ und $s [mm] \not=\ln(r)$
[/mm]
jeweils gilt: Es gibt ein (von $(r,s)$ abhängiges) [mm] $\epsilon [/mm] > [mm] 0\,,$ [/mm] so dass für alle $(p,q)$ mit [mm] $\|(p,q)-(r,s)\|_2 [/mm] < [mm] \epsilon$ [/mm] gilt: $(p,q) [mm] \notin A\,.$
[/mm]
Mit anderen Worten: Für alle Punkte $(p,q) [mm] \in \IR^2\,,$ [/mm] die [mm] $\epsilon$-nahe [/mm] an $(r,s)$ liegen (ein solches [mm] $\epsilon [/mm] > 0$ darf und wird von $(r,s) [mm] \notin [/mm] A$ abhängig sein; daher ist es nicht ganz trivial, ein solches konkret anzugeben! beachte auch: Wenn Du ein solches gefunden hast, tut's auch jedes kleinere $0 < [mm] \tilde{\epsilon} [/mm] < [mm] \epsilon$!), [/mm] gilt (mindestens) einer der beiden obigen Fälle analog, d.h. es ist für alle diese [mm] $\epsilon$-nahen [/mm] Punkte $(p,q)$ der Fall, dass $p < [mm] 1\,$ [/mm] ist oder dass $q [mm] \not=\ln(p)\,.$
[/mm]
(Beachte, dass hier kein entweder-oder stehen darf: Wenn $0 < p < [mm] 1\,$ [/mm] ist kann dennoch [mm] $q=\ln(p)$ [/mm] sein, aber dennoch ist dann $(p,q) [mm] \notin A\,.$)
[/mm]
Tipp:
Wenn Du Dir mal den Graphen der Funktion $y=ln(x)$ für $x [mm] \ge [/mm] 1$ im [mm] $\IR^2$ [/mm] anschaust, das ist ja nichts anderes als die Menge [mm] $A\,,$ [/mm] so solltest Du sehen, wie Du obiges beweist. Suche einen passenden Kreis für folgende Fälle:
1. $r < 1$ (d.h. der Punkt $(p,q)$ liegt echt links der zur [mm] $y\,$-Achse [/mm] parallelen Geraden [mm] $x=1\,$; [/mm] Radius des offenen Kreises kann mit $1-r$ gewählt werden)
2. Wenn Du mit $r [mm] \ge [/mm] 1$ mit dem Punkt $(p,q)$ echt oberhalb oder echt unterhalb des Graphen der obigen Funktion bist, überlege Dir, dass ein passender Radius so gefunden werden kann, indem man den "minimalen Abstand" des Punktes $(p,q)$ zum Graphen berechnet. Dabei solltest Du eigentlich erst mit einem "Infimum" arbeiten und dann begründen, warum das Infimum ein Minimum sein muss. Mach's Dir mal elementargeometrisch klar, bevor Du's formal nachrechnest. So entstehen nämlich manchmal auch Beweise bzw. Beweisideen.
Gruß,
Marcel
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 09:34 Di 26.07.2011 | | Autor: | fred97 |
> du bist wirklich fast der einzige im forum, der sich die
> zeit und geduld nimmt so ausführlich zu erklären
Ich bedanke mich ....
FRED
> , auch
> wenn ich oft trotzdem nicht alles verstehe, kann ich dir
> nur danken.
> dann versuch ichs mal mit komplement, und wünsche dir eine
> gute nacht
> kioto
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 08:23 Mo 25.07.2011 | | Autor: | Marcel |
Hallo,
> beweise oder widerlege:
> die mene A:= [mm]\{(x,lnx):x\in[1,\infty[\}[/mm] ist eine
> abgeschlossene menge von [mm]\IR^2[/mm]
> meine frage:
> zeigt nicht [mm]x\in[1,\infty[[/mm] schon, dass sie nicht
> abgeschlossen ist? weil x ja schon nicht abgeschlossen ist
die betrachtete Menge heißt übrigens [mm] $A\,$ [/mm] und nicht x.
Gruß,
Marcel
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