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Hallo,
Die Aufgabe besteht darin, dass die Funktion f(x)= 4/(1-3x) an der Stelle x=2 in eine PotenzReihe bis zum 4. Glied entwickelt werden soll. Nun habe ich mir die Lösung angeguckt und verstehe die Vorgehensweise der Berechnung der Ableitungen nicht.
[mm] f'(x)=12/(1-3x)^2
[/mm]
[mm] f''(x)=36*2/(1-3x)^3
[/mm]
[mm] f'''(x)=108*2*3/(1-3x)^4
[/mm]
Die Potenz Reihe soll dann so aussehen:
f(x)=-4/5 + 12/25(x-2) [mm] -36/125(x-2)^2 +108/625(x-2)^3
[/mm]
Nicht nur die Ableitungen sind mir unklar, sondern auch wieso bei der Potenz Reihe nur noch die erste Zahl der Zähler der Brüche steht und nicht dieses *2 und *2*3
Hoffe jemand kann mir helfen.
:)
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 22:45 Fr 10.01.2014 | | Autor: | DieAcht |
Hallo,
> Hallo,
> Die Aufgabe besteht darin, dass die Funktion f(x)=
> 4/(1-3x) an der Stelle x=2 in eine PotenzReihe bis zum 4.
> Glied entwickelt werden soll. Nun habe ich mir die Lösung
> angeguckt und verstehe die Vorgehensweise der Berechnung
> der Ableitungen nicht.
>
> [mm]f'(x)=12/(1-3x)^2[/mm]
> [mm]f''(x)=36*2/(1-3x)^3[/mm]
> [mm]f'''(x)=108*2*3/(1-3x)^4[/mm]
>
> Die Potenz Reihe soll dann so aussehen:
> f(x)=-4/5 + 12/25(x-2) [mm]-36/125(x-2)^2 +108/625(x-2)^3[/mm]
>
> Nicht nur die Ableitungen sind mir unklar, sondern auch
> wieso bei der Potenz Reihe nur noch die erste Zahl der
> Zähler der Brüche steht und nicht dieses *2 und *2*3
Gehen wir das doch mal durch.
Deine Funktion $f$ ähnelt der Funktion [mm] g(x):=\frac{1}{x}.
[/mm]
Es gilt:
[mm] g'(x)=(\frac{1}{x})'=(x^{-1})'=-x^{-2}*(x)'=-\frac{1}{x^2}
[/mm]
Du darfst die innere Ableitung, in diesem Fall $(x)'$, nicht vergessen!
Wie du merkst ist das einfaches Handwerkzeug, sodass die Bestimmung der Ableitung einfach wird.
Es gilt:
[mm] a^{-b}=\frac{1}{a^b} [/mm] für [mm] a\not=0
[/mm]
Nach der Faktorregel gilt zunächst für deine Funktion $f$ folgendes:
[mm] f'(x)=(\frac{4}{1-3x})'=4*(\frac{1}{1-3x})'
[/mm]
Also brauchst du nur noch folgendes zu berechnen:
[mm] (\frac{1}{1-3x})'=((1-3x)^{-1})'=-(1-3x)^{-2}*(1-3x)'=-(1-3x)^{-2}*(-3)=\frac{3}{(1-3x)^2}
[/mm]
Damit erhalten wir:
[mm] f'(x)=4*\frac{3}{(1-3x)^2}=\frac{12}{(1-3x)^2}
[/mm]
Wenn du jetzt die zweite Ableitung berechnen willst, überlegst du dir (wieder) folgendes:
[mm] f'(x)=\frac{12}{1-3x}=12*(1-3x)^{-2}
[/mm]
Damit folgt:
[mm] f''(x)=12*((1-3x)^{-2})'=12*(-2(1-3x)^{-3}(1-3x)')=12*(-2(1-3x)^{-3}*(-3))=72(1-3x)^{-3}=\frac{72}{(1-3x)^3}
[/mm]
Jetzt machst du mal $f'''(x)$ selbst 
Mit Potenzreihe ist die Taylor-Formel gemeint.
Setze also einfach ein.
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> Hoffe jemand kann mir helfen.
>
> :)
Gruß
DieAcht
>
> Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen
> Internetseiten gestellt.
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