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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 15:45 Mi 29.10.2008 | | Autor: | Lara102 |
hallo, ich bereite mich derzeit auf eine klausur in mathe vor und habe jetzt ein paar fragen zu diversen "besonderen" ableitungen: 1.
f(x)= [mm] \bruch{1}{sin(x)} [/mm]
laut matheheft: [mm] f'(x)=-\bruch{cos(x)}{(sin(x))^{2}} [/mm]
ich allerdings komme auf: [mm] \bruch{sin(x)-cos(x)}{(sin(x))^{2}}
[/mm]
f(x)= [mm] \bruch{t}{cos(t)}
[/mm]
laut matheheft: f'(x)= [mm] \bruch{cos(t)+t*sin(t)}{(cos(t))^{2}}
[/mm]
damit bin ich einverstanden ;) allerdings wundert es mich, dass es bei der ersten funktion dann nicht entsprechend
[mm] \bruch{sin(x)-x*cos(x)}{(sin(x))^{2}} [/mm] heißt..
also wieso wird einmal die kettenregel angewandt und einmal nicht? bzw. wieso wird da überhaupt mit t multipliziert.. wenn das nach der kettenregel gehen würde, wäre die ableitung von t doch 1 und nicht t?!?
die ableitung von sin(x) ist doch auch nur 1*cos(x) und nicht x*cos(x)?
2. [mm] f(x)=\bruch{cos(x)}{sin(t)}
[/mm]
f'(x)= [mm] \bruch{-sin(x)*sin(t)-cos(x)}{(sin(t))^{2}}
[/mm]
ich bin mir mit der lösung nicht ganz sicher, da ja noch x abgeleitet wird und nicht nach t...
3. f(x)= [mm] \bruch{e^{x}+e^{-x}}{e^{x}}
[/mm]
diese aufgabe sollte ohne quotientenregel gelöst werden.
f(x)= [mm] \bruch{e^{x}}{e^{x}}+\bruch{e^{-x}}{e^{x}} [/mm] = [mm] 1+e^{-x}^{2}
[/mm]
f'(x)= [mm] -2x*e^{-x}^{2}
[/mm]
wäre super wenn mir jemand behilflich sein könnte und meine fragen versteht xD
lg, lara
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 16:14 Mi 29.10.2008 | | Autor: | MarkusF |
Hallo!
> hallo, ich bereite mich derzeit auf eine klausur in mathe
> vor und habe jetzt ein paar fragen zu diversen "besonderen"
> ableitungen: 1.
> f(x)= [mm]\bruch{1}{sin(x)}[/mm]
Nach der Quotientenregel ergibt sich für die Ableitung:
f'(x) = [mm] \bruch{(1)'*\sin{x} - 1*(\sin{x})'}{(\sin{x})^{2}}
[/mm]
= [mm] \bruch{-\cos{x}}{(\sin{x})^{2}}
[/mm]
> laut matheheft: [mm]f'(x)=-\bruch{cos(x)}{(sin(x))^{2}}[/mm]
> ich allerdings komme auf:
> [mm]\bruch{sin(x)-cos(x)}{(sin(x))^{2}}[/mm]
die Ableitung von f(x) = 1 ist f'(x) = 0!
> f(x)= [mm]\bruch{t}{cos(t)}[/mm]
> laut matheheft: f'(x)=
> [mm]\bruch{cos(t)+t*sin(t)}{(cos(t))^{2}}[/mm]
> damit bin ich einverstanden ;) allerdings wundert es mich,
> dass es bei der ersten funktion dann nicht entsprechend
> [mm]\bruch{sin(x)-x*cos(x)}{(sin(x))^{2}}[/mm] heißt..
> also wieso wird einmal die kettenregel angewandt und
> einmal nicht? bzw. wieso wird da überhaupt mit t
> multipliziert.. wenn das nach der kettenregel gehen würde,
> wäre die ableitung von t doch 1 und nicht t?!?
Bei der 1. Funktion brauchst du nur die Quotientenregel...
> die ableitung von sin(x) ist doch auch nur 1*cos(x) und
> nicht x*cos(x)?
Stimmt! :)
> 2. [mm]f(x)=\bruch{cos(x)}{sin(t)}[/mm]
> f'(x)= [mm]\bruch{-sin(x)*sin(t)-cos(x)}{(sin(t))^{2}}[/mm]
> ich bin mir mit der lösung nicht ganz sicher, da ja noch x
> abgeleitet wird und nicht nach t...
t ist eine Konstante und damit ist auch [mm] \sin{t} [/mm] konstant.
Was mit Konstanten beim Ableiten passiert, weisst du ja, also probier' die Aufgabe nochmal!
> 3. f(x)= [mm]\bruch{e^{x}+e^{-x}}{e^{x}}[/mm]
> diese aufgabe sollte ohne quotientenregel gelöst werden.
> f(x)= [mm]\bruch{e^{x}}{e^{x}}+\bruch{e^{-x}}{e^{x}}[/mm] =
> [mm]1+e^{-x}^{2}[/mm]
Gut, soweit stimmt das!
> f'(x)= [mm]-2x*e^{-x}^{2}[/mm]
Fast!
Für die Ableitung brauchst du die Kettenregel:
die äußere Funktion ist [mm] e^{x}, [/mm] die innere -2x.
Die Ableitung lautet also:
f'(x) = [mm] (e^{-2x})' [/mm] * (-2x)'
= -2 * [mm] e^{-2x}
[/mm]
> wäre super wenn mir jemand behilflich sein könnte und
> meine fragen versteht xD
> lg, lara
Viele Grüße,
Markus
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 16:33 Mi 29.10.2008 | | Autor: | Lara102 |
ohje.. da hatte ich ja einen bösen denkfehler gemacht -.-"
allerdings hab ich immer noch eine frage.. oder zwei =)
wenn [mm] e^{x} [/mm] äußere funktion ist und
-2x innere funktion ist wieso lautet dann
[mm] f'(x)=-2e^{-2x} [/mm] ?
ist [mm] e^{-2} [/mm] nicht auch eigentlich innere funktion?!
ich versteh das grade wirklich nicht.. *grml*
und für die aufgabe die ich korrigieren sollte habe ich nun :
[mm] f'(x)=\bruch{-sin(x)*sin(t)-cos(x)*0}{(sin(t))^{2}}
[/mm]
= [mm] \bruch{-sin(x)}{sin(t)}
[/mm]
stimmt das? hatte dort den selben fehler gemacht wie bei der eins und nicht daran gedacht, dass die ableitung einer konstanten null ist.
lg und vielen dank für die schnelle hilfe =)
lara
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(Antwort) fertig | | Datum: | 16:42 Mi 29.10.2008 | | Autor: | MarkusF |
> ohje.. da hatte ich ja einen bösen denkfehler gemacht -.-"
> allerdings hab ich immer noch eine frage.. oder zwei =)
> wenn [mm]e^{x}[/mm] äußere funktion ist und
> -2x innere funktion ist wieso lautet dann
> [mm]f'(x)=-2e^{-2x}[/mm] ?
> ist [mm]e^{-2}[/mm] nicht auch eigentlich innere funktion?!
Nein, [mm] e^{-2} [/mm] ist keine Funktion, sondern eine Zahl.
> ich versteh das grade wirklich nicht.. *grml*
> und für die aufgabe die ich korrigieren sollte habe ich
> nun :
> [mm]f'(x)=\bruch{-sin(x)*sin(t)-cos(x)*0}{(sin(t))^{2}}[/mm]
> = [mm]\bruch{-sin(x)}{sin(t)}[/mm]
> stimmt das? hatte dort den selben fehler gemacht wie bei
> der eins und nicht daran gedacht, dass die ableitung einer
> konstanten null ist.
Es ist noch viel einfacher... ;)
Du brauchst die Quotientenregel gar nicht! (Lass dich nicht durch das [mm] \sin [/mm] verwirren! ;D)
Die Funktion lautet f(x) = [mm] \bruch{\cos{x}}{\sin{t}}
[/mm]
[mm] \sin{t} [/mm] ist konstant und [mm] \bruch{1}{\sin{t}} [/mm] ist damit ein konstanter Faktor, der beim Ableiten erhalten bleibt!
Die Ableitung lautet also:
f'(x) = [mm] \bruch{1}{\sin{t}} [/mm] * [mm] (\cos{x})'
[/mm]
> lg und vielen dank für die schnelle hilfe =)
> lara
Viele Grüße,
Markus
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 16:50 Mi 29.10.2008 | | Autor: | Lara102 |
naja das mit der inneren und äußeren ableitung habe ich jetzt aber immernoch nicht verstanden ^^
ich versteh ´nicht wieso das nicht [mm] -2x*e^{-2x} [/mm] heißt..
war jetzt die andere aufgabe so wie ich sie gerechnet habe auch richtig oder geht der rechenweg nicht?
gut... so einfach gehts natürlich auch xD
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wenn $ [mm] f(x)=e^{g(x)} [/mm] $
dann ist f´(x) laut Kettenregel
f´ $ [mm] (x)=e^{g(x)}\cdot{} [/mm] $ g´ (x)
bei deinem Fall ist g(x)=-2x also g´(x)=-2
dann ist f´ $ [mm] (x)=e^{-2x}\cdot{}(-2) [/mm] $
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Hallo, du kannst natürlich für die Ableitung der Funktion [mm] f(x)=\bruch{cos(x)}{sin(t)} [/mm] die Quotientenregel benutzen, schaue dir den Zähler an, cos(x)*0=0 dann kannst du noch sin(t) kürzen, also gleiches Ergebnis, Steffi
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wenn [mm] f(x)=e^{g(x)}
[/mm]
dann ist f´(x) laut Kettenregel
f´ [mm] (x)=e^{g(x)}* [/mm] g´ (x)
bei deinem Fall ist g(x)=-2x also g´(x)=-2
dann ist f´ [mm] (x)=e^{-2x}*(-2)
[/mm]
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 17:02 Mi 29.10.2008 | | Autor: | Lara102 |
ach gott, bin ich doof :D logisch...
[mm] e^{-2x} [/mm] bleibt erhalten, da sich die efunktion selbst reproduziert und ableitung von -2x ist -2 ;)
dann.. ist das klar :)
vielen dank =)=)
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