absolute Konvergenz von Reihen < Folgen und Reihen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 21:17 So 12.12.2010 | | Autor: | Erstie |
| Aufgabe | Beweisen oder widerlegen Sie jeweils Konvergenz und absolute Konvergenz
a) [mm] \summe_{n=1}^{\infty} \bruch{(-1)^{n}}{n^{2}}
[/mm]
b) [mm] \summe_{n=0}^{\infty} \bruch{(-1)^{n}}{n!}
[/mm]
c) [mm] \summe_{n=1}^{\infty} \bruch{(-1)^{n}}{n} [/mm] |
Hallo,
kann jemand mal bitte schauen, ob ich die Aufgabe richtig gelöst habe?
zu a)
[mm] \summe_{n=1}^{\infty} |\bruch{(-1)^{n}}{n^{2}}|=\summe_{n=1}^{\infty} \bruch{1}{k^{2}}
[/mm]
--> absolut konvergente Reihe und somit auch konvergent
zu b)
hier habe ich das Quotientenkriterium verwendet.
[mm] \summe_{n=0}^{\infty} [/mm] | [mm] \bruch{(-1)^{n+1}}{n+1!}*\bruch{n!}{(-1)^{n}}| [/mm] =....= [mm] \bruch{-1}{n+1} [/mm] < 1
--> absolut konvergente Reihe und somit auch konvergent
zu c)
hier habe ich das Wurzelkriterium verwendet.
[mm] \wurzel[n]|{\bruch{(-1)^{n}}{n}}| [/mm] = [mm] \bruch{-1}{\wurzel{n}} [/mm] = -1 * [mm] \bruch{1}{\wurzel{n}}
[/mm]
-1* [mm] \limes_{n\rightarrow\infty} \bruch{1}{\wurzel{n}} [/mm] = -1*0=0 <1
--> absolut konvergente Reihe
Gruß Erstie
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> Beweisen oder widerlegen Sie jeweils Konvergenz und
> absolute Konvergenz
>
> a) [mm]\summe_{n=1}^{\infty} \bruch{(-1)^{n}}{n^{2}}[/mm]
> b)
> [mm]\summe_{n=0}^{\infty} \bruch{(-1)^{n}}{n!}[/mm]
> c)
> [mm]\summe_{n=1}^{\infty} \bruch{(-1)^{n}}{n}[/mm]
> Hallo,
>
> kann jemand mal bitte schauen, ob ich die Aufgabe richtig
> gelöst habe?
>
> zu a)
>
> [mm]\summe_{n=1}^{\infty} |\bruch{(-1)^{n}}{n^{2}}|=\summe_{n=1}^{\infty} \bruch{1}{k^{2}}[/mm]
n als laufindex und dann k als variable?!
naja, ob das als beweis reicht, weiss ich nicht. besser wäre evtl das leibniz-kriterium
>
> --> absolut konvergente Reihe und somit auch konvergent
>
> zu b)
>
> hier habe ich das Quotientenkriterium verwendet.
> [mm]\summe_{n=0}^{\infty}[/mm] |
> [mm]\bruch{(-1)^{n+1}}{n+1!}*\bruch{n!}{(-1)^{n}}|[/mm] =....=
> [mm]\bruch{-1}{n+1}[/mm] < 1
> --> absolut konvergente Reihe und somit auch konvergent
von den gleichheitszeichen stimmt hier nur das erste
der rest ist so wies da steht murks (verwende hier limes). und warum -1 noch NACH betragsbildung auftaucht, wer weiss... ausserdem muss ne klammer im nenner um (n+1)!
>
> zu c)
>
> hier habe ich das Wurzelkriterium verwendet.
>
> [mm]\wurzel[n]|{\bruch{(-1)^{n}}{n}}|[/mm] = [mm]\bruch{-1}{\wurzel{n}}[/mm]
> = -1 * [mm]\bruch{1}{\wurzel{n}}[/mm]
>
> -1* [mm]\limes_{n\rightarrow\infty} \bruch{1}{\wurzel{n}}[/mm] =
> -1*0=0 <1
> --> absolut konvergente Reihe
auch hier wieder den betrag vergessen.
desweiteren gings um die "n.te wurzel von n" im nenner, du machst jedoch die quadratwurzel draus.
der grenzwert des wurzelkrits ist hier 1, somit keine aussage möglich. hier wieder leibniz
>
>
> Gruß Erstie
gruß tee
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| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 21:44 So 12.12.2010 | | Autor: | Erstie |
Hallo,
Danke für die schnelle Antwort
zu b)
da müsste dann am Ende stehen
[mm] \limes_{n\rightarrow\infty}\bruch{1}{(n+1)} [/mm] = 0 <1 --> konvergiert absolut ist das so richitg?
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| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 06:48 Mo 13.12.2010 | | Autor: | fred97 |
Ja
FRED
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 18:30 Mo 13.12.2010 | | Autor: | Erstie |
Vielen Dank für eure Hilfe =)
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