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Hallo,
ich habe eine Frage zu folgender Funktion:
f : [mm] \IR \to \IR [/mm] , x [mm] \to x^2|x [/mm] - 3|
Also, es sollen die lokalen bzw. absoluten Minima/Maxima bestimmt werden. Und zwar liegt laut der Lösung an der Stelle x=0 ein lokales Minimum und bei x=2 ein lokales Maximum vor. Das kann ich auch mathematisch nachvollziehen.
Was mir aber nicht so ganz klar ist, ist dass an der Stelle x=0 sogar ein globales Minimum vorliegen soll?! Aber was ist mit der Stelle x=3? An dieser Stelle ist die Funktion ja nicht differenzierbar. Das ist mir auch klar, denn man kann das ja schon am Graphen erkennen, der an dieser Stelle einen Kehrpunkt hat, was bedeutet, dass f hier nicht differenzierbar sein kann.
Aber mir ist nicht klar, warum jetzt bei x=3 kein lokales Minimum vorliegt, denn wenn man sich den Graphen betrachtes sieht es ja so aus. Und definiert ist die Funktion f an der Stelle ja auch.
Kann also eine lokale Extremstelle immer nur da vorliegen, wo die Funktion auch eine Ableitung besitzt?? bzw. kann sogar vielleicht eine lokale Extremstelle nur da vorliegen, wo die erste und die zweite Ableitung existieren, denn es muss ja auch, damit ein Max./Min. vorliegen kann die zweite Ableitung kleiner/größer null sein?!
Danke schon mal und viele Grüße!
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 15:42 Di 24.02.2009 | | Autor: | iks |
Hallo schlumpfinchen!
Eine Funktion $f$ [mm] $D\to\IR$ [/mm] hat in [mm] $a\in [/mm] D$ ein lokales Minimum (bzw. Maximum), wenn es eine Umgebung $U$ von $a$ gibt, so dass:
$f(a)< f(x)$ für alle [mm] $x\in U\cap D\backslash\{a\}$ [/mm] gilt (bzw. $f(a)> f(x)$ für alle [mm] $x\in U\cap D\backslash\{a\}$)
[/mm]
Gilt sogar [mm] $f(a)\leq [/mm] f(x)$ für alle [mm] $x\in [/mm] D$ liegt ein globales Minimum Vor.
Hat also $f$ bei $x=3$ ein lokales Minimum?
Die "Ableitungskriterien" für lokale Maxima bzw Minima geben also an Stellen, an denen $f$ nicht diffbar ist, keinen Hinweis auf lokale Extema.
Wegen:
[mm] $f(0)=0\leq [/mm] f(x)$ für alle [mm] $x\in [/mm] D$ ist das Minimum in $x=0$ auch global.
mFg iks
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