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abzählbare Vereinigung?: Frage (reagiert)
Status: (Frage) reagiert/warte auf Reaktion Status 
Datum: 00:04 Do 24.05.2012
Autor: mili03

Hallo,

In einem metrischen Raum mit Metrik d gelte für ein c>0:

Es gibt keine abzählbare Menge M von Punkten mit [mm] $d(x,y)\ge [/mm] c$ für [mm] $x\neq [/mm] y$ aus A.

Kann ich daraus folgern, dass M sich als abzählbare Vereinigung von Kugeln mit Radius c darstellen lässt?

Ich bekomm es irgendwie weder widerlegt noch bewiesen.
Danke für Tipps.

mili

        
Bezug
abzählbare Vereinigung?: Tippfehler?
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 00:45 Do 24.05.2012
Autor: Helbig


> Hallo,
>  
> In einem metrischen Raum mit Metrik d gelte für ein c>0:
>  
> Es gibt keine abzählbare Menge M von Punkten mit [mm]d(x,y)\ge c[/mm]
> für [mm]x\neq y[/mm] aus A.
>  
> Kann ich daraus folgern, dass M sich als abzählbare
> Vereinigung von Kugeln mit Radius c darstellen lässt?

Irgendwo muß da wohl ein Tippfehler sein. Jedenfalls verstehe ich weder die Voraussetzung noch die Behauptung.

Grüße,
Wolfgang

Bezug
        
Bezug
abzählbare Vereinigung?: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 01:12 Do 24.05.2012
Autor: Marcel

Hallo,

> Hallo,
>  
> In einem metrischen Raum mit Metrik d gelte für ein c>0:
>  
> Es gibt keine abzählbare Menge M von Punkten mit [mm]d(x,y)\ge c[/mm]
> für [mm]x\neq y[/mm] aus A.
>  
> Kann ich daraus folgern, dass M sich als abzählbare
> Vereinigung von Kugeln mit Radius c darstellen lässt?
>  
> Ich bekomm es irgendwie weder widerlegt noch bewiesen.
>  Danke für Tipps.

bei Dir meinst Du in "abzählbare Menge [mm] $M\,$" [/mm] sicher eher die Menge [mm] $A\,,$ [/mm] oder?

Sollte die Aufgabe umformuliert etwa so lauten:
Sei [mm] $(M,d)\,$ [/mm] ein metrischer Raum und $c > [mm] 0\,.$ [/mm] Falls für alle $A [mm] \subseteq M\,,$ $A\,$ [/mm] abzählbar, gilt: $x,y [mm] \in [/mm] A [mm] \Rightarrow [/mm] d(x,y) < c$...

Dann wäre aber eher die Frage, ob dann diese abzählbare Vereinigung mit Kugeln vom Radius [mm] $c\,$ [/mm] NICHT klappt! (Fände ich jedenfalls eine passenderere Frage!)

Gruß,
  Marcel

Bezug
                
Bezug
abzählbare Vereinigung?: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 07:35 Do 24.05.2012
Autor: mili03

Hallo,

oje, war etwas spät gestern.
Also nochmal:

Sei (M,d) metrischer Raum. Für jedes c>0 gebe es keine überabzählbare Menge [mm] A\subset [/mm] M mit [mm] $d(x,y)\ge [/mm] c$ für alle [mm] $x,y\in [/mm] A$, [mm] $x\neq [/mm] y$.

Folgt dann daraus, dass es eine abzählbare Menge [mm] \{a_n,n\in\IN\}\subset [/mm] M gibt mit (c>0 fest)

       [mm] M=\bigcup_n U_c(a_n) [/mm] ?

Hoffe, es ist jetzt klarer.

Viele Grüße

Bezug
                        
Bezug
abzählbare Vereinigung?: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 08:42 Do 24.05.2012
Autor: tobit09

Hallo mili,


noch immer ist mir die Aufgabenstellung nicht ganz klar. Ich gehe jetzt mal von folgender aus:

Sei $(M,d)$ ein metrischer Raum und $c>0$. Es gebe keine überabzählbare Menge [mm] $A\subseteq [/mm] M$ mit [mm] $d(x,y)\ge [/mm] c$ für alle [mm] $x,y\in [/mm] A$ mit [mm] $x\not=y$. [/mm]
Folgt dann daraus, dass eine abzählbare Menge [mm] $A\subseteq [/mm] M$ existiert mit [mm] $M=\bigcup_{a\in A}U_c(a)$? [/mm]


Diese Aussage lässt sich tatsächlich beweisen: Konstruiere mittels Lemma von Zorn eine Menge [mm] $A\subseteq [/mm] M$, die maximal ist mit der Eigenschaft [mm] $d(x,y)\ge [/mm] c$ für alle [mm] $x,y\in [/mm] A$ mit [mm] $x\not=y$. [/mm] Zeige dann, dass diese Menge das Gewünschte leistet.


Viele Grüße
Tobias

Bezug
                                
Bezug
abzählbare Vereinigung?: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 22:49 Di 05.06.2012
Autor: mili03

vielen Dank!

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