abzählbare Vereinigung? < Sonstiges < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) reagiert/warte auf Reaktion  | | Datum: | 00:04 Do 24.05.2012 | | Autor: | mili03 |
Hallo,
In einem metrischen Raum mit Metrik d gelte für ein c>0:
Es gibt keine abzählbare Menge M von Punkten mit [mm] $d(x,y)\ge [/mm] c$ für [mm] $x\neq [/mm] y$ aus A.
Kann ich daraus folgern, dass M sich als abzählbare Vereinigung von Kugeln mit Radius c darstellen lässt?
Ich bekomm es irgendwie weder widerlegt noch bewiesen.
Danke für Tipps.
mili
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 00:45 Do 24.05.2012 | | Autor: | Helbig |
> Hallo,
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> In einem metrischen Raum mit Metrik d gelte für ein c>0:
>
> Es gibt keine abzählbare Menge M von Punkten mit [mm]d(x,y)\ge c[/mm]
> für [mm]x\neq y[/mm] aus A.
>
> Kann ich daraus folgern, dass M sich als abzählbare
> Vereinigung von Kugeln mit Radius c darstellen lässt?
Irgendwo muß da wohl ein Tippfehler sein. Jedenfalls verstehe ich weder die Voraussetzung noch die Behauptung.
Grüße,
Wolfgang
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 01:12 Do 24.05.2012 | | Autor: | Marcel |
Hallo,
> Hallo,
>
> In einem metrischen Raum mit Metrik d gelte für ein c>0:
>
> Es gibt keine abzählbare Menge M von Punkten mit [mm]d(x,y)\ge c[/mm]
> für [mm]x\neq y[/mm] aus A.
>
> Kann ich daraus folgern, dass M sich als abzählbare
> Vereinigung von Kugeln mit Radius c darstellen lässt?
>
> Ich bekomm es irgendwie weder widerlegt noch bewiesen.
> Danke für Tipps.
bei Dir meinst Du in "abzählbare Menge [mm] $M\,$" [/mm] sicher eher die Menge [mm] $A\,,$ [/mm] oder?
Sollte die Aufgabe umformuliert etwa so lauten:
Sei [mm] $(M,d)\,$ [/mm] ein metrischer Raum und $c > [mm] 0\,.$ [/mm] Falls für alle $A [mm] \subseteq M\,,$ $A\,$ [/mm] abzählbar, gilt: $x,y [mm] \in [/mm] A [mm] \Rightarrow [/mm] d(x,y) < c$...
Dann wäre aber eher die Frage, ob dann diese abzählbare Vereinigung mit Kugeln vom Radius [mm] $c\,$ [/mm] NICHT klappt! (Fände ich jedenfalls eine passenderere Frage!)
Gruß,
Marcel
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 07:35 Do 24.05.2012 | | Autor: | mili03 |
Hallo,
oje, war etwas spät gestern.
Also nochmal:
Sei (M,d) metrischer Raum. Für jedes c>0 gebe es keine überabzählbare Menge [mm] A\subset [/mm] M mit [mm] $d(x,y)\ge [/mm] c$ für alle [mm] $x,y\in [/mm] A$, [mm] $x\neq [/mm] y$.
Folgt dann daraus, dass es eine abzählbare Menge [mm] \{a_n,n\in\IN\}\subset [/mm] M gibt mit (c>0 fest)
[mm] M=\bigcup_n U_c(a_n) [/mm] ?
Hoffe, es ist jetzt klarer.
Viele Grüße
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 08:42 Do 24.05.2012 | | Autor: | tobit09 |
Hallo mili,
noch immer ist mir die Aufgabenstellung nicht ganz klar. Ich gehe jetzt mal von folgender aus:
Sei $(M,d)$ ein metrischer Raum und $c>0$. Es gebe keine überabzählbare Menge [mm] $A\subseteq [/mm] M$ mit [mm] $d(x,y)\ge [/mm] c$ für alle [mm] $x,y\in [/mm] A$ mit [mm] $x\not=y$.
[/mm]
Folgt dann daraus, dass eine abzählbare Menge [mm] $A\subseteq [/mm] M$ existiert mit [mm] $M=\bigcup_{a\in A}U_c(a)$?
[/mm]
Diese Aussage lässt sich tatsächlich beweisen: Konstruiere mittels Lemma von Zorn eine Menge [mm] $A\subseteq [/mm] M$, die maximal ist mit der Eigenschaft [mm] $d(x,y)\ge [/mm] c$ für alle [mm] $x,y\in [/mm] A$ mit [mm] $x\not=y$. [/mm] Zeige dann, dass diese Menge das Gewünschte leistet.
Viele Grüße
Tobias
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 22:49 Di 05.06.2012 | | Autor: | mili03 |
vielen Dank!
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