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Sei [mm] \mathcal{A} [/mm] die Menge aller möglichen Ergebnisse eines N-fachen Münzwurfes.
Seien [mm] X_0,X_1,...X_N [/mm] Zufallsvariablen, wobei [mm] X_n [/mm] nur von den n vorgehenden Münzwürfen [mm] \omega_1,...,\omega_n [/mm] abhängt. (Zum Beispiel beim binomialen Modell von Aktienkursen, bei denen [mm] X_n [/mm] der Aktienkurs zum Zeitpunkt n sein soll.)
Nun wollte ich fragen, wie die Zufallsvariablen denn genau definiert sind bzw. welche Definitionsmenge die Zufallsvariable [mm] X_n [/mm] explizit hat. Denn man hat ja [mm] \mathcal{A} [/mm] mit Elementarereignissen der Länge N. [mm] X_n [/mm] bildet theoretisch ja aber nur von einem Ergebnisraum [mm] \mathcal{P} [/mm] ab, dessen Elementarereignisse jeweils Länge n haben.
Mit Elementarereignissen der Länge N kann [mm] X_n [/mm] ja gar nichts anfangen, oder?
Kann man nun die Zufallsvariable [mm] X_n [/mm] auch irgendwie so definieren, dass Sie auf dem "grossen" Raum [mm] \mathcal{A} [/mm] arbeitet?
Vielen Dank im Voraus
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 12:14 So 22.01.2017 | | Autor: | hippias |
> Sei [mm]\mathcal{A}[/mm] die Menge aller möglichen Ergebnisse eines
> N-fachen Münzwurfes.
> Seien [mm]X_0,X_1,...X_N[/mm] Zufallsvariablen, wobei [mm]X_n[/mm] nur von
> den n vorgehenden Münzwürfen [mm]\omega_1,...,\omega_n[/mm]
> abhängt. (Zum Beispiel beim binomialen Modell von
> Aktienkursen, bei denen [mm]X_n[/mm] der Aktienkurs zum Zeitpunkt n
> sein soll.)
>
> Nun wollte ich fragen, wie die Zufallsvariablen denn genau
> definiert sind bzw. welche Definitionsmenge die
> Zufallsvariable [mm]X_n[/mm] explizit hat. Denn man hat ja
> [mm]\mathcal{A}[/mm] mit Elementarereignissen der Länge N. [mm]X_n[/mm]
> bildet theoretisch ja aber nur von einem Ergebnisraum
> [mm]\mathcal{P}[/mm] ab, dessen Elementarereignisse jeweils Länge n
> haben.
> Mit Elementarereignissen der Länge N kann [mm]X_n[/mm] ja gar
> nichts anfangen, oder?
Vermutlich richtig. Jedoch lässt die Formulierung "wobei [mm]X_n[/mm] nur von den n vorgehenden Münzwürfen [mm]\omega_1,...,\omega_n[/mm] abhängt" Raum für Interpretation: s.u.
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> Kann man nun die Zufallsvariable [mm]X_n[/mm] auch irgendwie so
> definieren, dass Sie auf dem "grossen" Raum [mm]\mathcal{A}[/mm]
> arbeitet?
Natürlich. Nimm z.B. an, dass [mm] $s:\IR^{3}\to \IR$ [/mm] mit $s(a,b,c)= a+b+c$ gilt. Dann lässt sich zu $s$ auf vielfältige Weise eine Funktion [mm] $S:\IR^{4}\to \IR$ [/mm] angeben, die "etwas mit $s$ zu tun hat".
Beispielsweise $S(a,b,c,d)= a+b+c$ oder $S(a,b,c,d)= a+b+c+d$. Ohne einen Zusammenhang zwischen den Definitionsmengen kann man aber völlig willkürlich verfahren: $S(a,b,c,d)= d(a+b+c)$.
Vielleicht werden Folgen der Länge $n$ implizit als Folgen der Länge $N$ aufgefasst, indem z.B. Nullen ergänzt werden? Dann wären die ersten beiden Beispiele Fortsetzungen von $s$ auf den Gesamtenraum, nicht jedoch das dritte Beispiel. Würden Einsen ergänzt, dann wären das erste und dritte Beispiel Fortsetzungen, aber nicht das zweite.
Schliesslich könnte die Formulierung "hängt nur von den ersten $n$ Münzwürfen ab" heissen, dass [mm] $X_{n}$ [/mm] zwar auf dem Gesamtraum definiert ist, aber eben nur von den ersten $n$ Variablen abhängt. Mit $S(a,b,c,d)= a+b+c$ könnte so eine Funktion gemeint sein.
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> Vielen Dank im Voraus
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Hiho,
mal eine rein formale Antwort, die ohne Spekulationen auskommt:
> Sei [mm]\mathcal{A}[/mm] die Menge aller möglichen Ergebnisse eines N-fachen Münzwurfes.
Modellieren wir den Münzwurf, indem wir der "Zahl" die 0 zuordnen und "Kopf" der 1, es gilt also:
[mm]\mathcal{A} = \left\{0,1\right\}^N[/mm]
> Nun wollte ich fragen, wie die Zufallsvariablen denn genau definiert sind bzw. welche Definitionsmenge die Zufallsvariable [mm]X_n[/mm] explizit hat.
Nun bildet jede Zufallsvariable [mm] $X_i:\mathcal{A} \to \IR$ [/mm] ab.
Das ist erst mal kein Widerspruch zur Aussage:
> wobei [mm]X_n[/mm] nur von den n vorgehenden Münzwürfen [mm]\omega_1,...,\omega_n[/mm] abhängt.
Um es mal an einem konkreten Beispiel zu machen: Sei [mm] $\omega [/mm] = [mm] (\omega_1,\ldots,\omega_N) \in \mathcal{A}$, [/mm] dann wären [mm] $X_i(\omega) [/mm] = [mm] \produkt_{k=1}^i \omega_k$ [/mm] oder [mm] $X_i(\omega) [/mm] = [mm] \summe_{k=1}^i \sqrt[100]{\omega_k + k}$ [/mm] bspw. solche Zufallsvariablen, denn jedes [mm] $X_i$ [/mm] hängt nur von den ersten $i$ Würfen ab.
Mathematisch modelliert man das nun durch Meßbarkeitsbedingungen.
Sei dazu [mm] $Y_i(\omega) [/mm] = [mm] \omega_i$ [/mm] die Zufallsvariable, die den i-ten Wurf modelliert, dann ist die Eigenschaft
> wobei [mm]X_n[/mm] nur von den n vorgehenden Münzwürfen [mm]\omega_1,...,\omega_n[/mm] abhängt.
gleichbedeutend mit: [mm] $X_i$ [/mm] ist [mm] $\sigma(Y_1,\ldots,Y_i)$ [/mm] meßbar, wobei [mm] $\sigma(Y_1,\ldots,Y_i)$ [/mm] die kleinste Sigma-Algebra ist, so dass [mm] $Y_1,\ldots, Y_i$ [/mm] meßbar sind.
Wenn du den Meßbarkeitsbegriff in der Tiefe noch nicht hattest, kannst du damit arbeiten, dass das gleichbedeutend ist mit der Tatsache, dass für jedes [mm] $X_i$ [/mm] gilt [mm] $X_i [/mm] = [mm] f(\omega_1,\ldots,\omega_i)$ [/mm] für eine (meßbare) Funktion $f$.
D.h. es gibt eine Funktion für jedes [mm] $X_i$, [/mm] in die man nur die Würfe bis zum Zeitpunkt $i$ reinsteckt, so dass sich [mm] $X_i$ [/mm] mit obiger Gleichheit darstellen lässt.
Diese Funktion kann natürlich für jedes [mm] $X_i$ [/mm] eine andere (meßbare) sein.
In diesem Sinne halte ich die Formulierung im Gegensatz zu hippias ganz und gar nicht uneindeutig.
Gruß,
Gono
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