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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 17:44 Sa 27.01.2007 | | Autor: | Ron85 |
Hallo Matheraum!
Hab folgende Aufgabe vor mir liegen:
Sei C [mm] \in [/mm] U(n) (unitäre Matrix), D= [mm] \pmat{ x_{1}&0 \\ 0&x_{n}} [/mm] eine Diagonalmatrix mit diagonaleinträgen [mm] x_{j} \in \IC, [/mm] j=1,...n
und A=C*DC (C*=adjungierte Matrix von C)
a) Zeigen Sie A ist normal.
b) Für welche D ist A [mm] \in [/mm] U(n)?
Bei der a) weiß ich, dass A*A=AA* sein muss, wenn A normal ist. Ich weiß allerdings nicht, wie ich es für den allgemeinen Fall zeigen soll.
Bei b) weiß ich nicht, wei ich es nachrechnen soll.
Würde mich sehr freuen, wenn mir jemand helfen könnte.
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Hallo Ron85,
> Hallo Matheraum!
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> Hab folgende Aufgabe vor mir liegen:
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> Sei C [mm]\in[/mm] U(n) (unitäre Matrix), D= [mm]\pmat{ x_{1}&0 \\ 0&x_{n}}[/mm]
> eine Diagonalmatrix mit diagonaleinträgen [mm]x_{j} \in \IC,[/mm]
> j=1,...n
> und A=C*DC (C*=adjungierte Matrix von C)
>
> a) Zeigen Sie A ist normal.
> b) Für welche D ist A [mm]\in[/mm] U(n)?
>
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> Bei der a) weiß ich, dass A*A=AA* sein muss, wenn A normal
> ist. Ich weiß allerdings nicht, wie ich es für den
> allgemeinen Fall zeigen soll.
Also ich weiß jetzt auch nicht, wie normal definiert ist, aber wenn die obige Definition stimmt, so würde ich hier in die Definition einsetzen:
[mm]\begin{array}{l@{\;}l@{\;}l}
A^HA &=& \left(C^HDC\right)^HC^HDC\\
{}&=&C^HD^HCC^HDC\\
{}&=&C^HD^HDC
\end{array}[/mm]
und
[mm]\begin{array}{l@{\;}l@{\;}l}
AA^H &=& C^HDC\left(C^HDC\right)^H\\
{}&=&C^HDCC^HD^HC\\
{}&=&C^HDD^HC
\end{array}[/mm]
Na ja, und da das Kommutativgesetz auch für komplexe Zahlen gilt, gilt auch [mm]D^HD = DD^H[/mm], da wir hier das Kommutativgesetz auf die einzelnen Diagonalprodukte anwenden können. [mm]\quad\Box[/mm]
> Bei b) weiß ich nicht, wei ich es nachrechnen soll.
Auf alle Fälle für D = E, wobei E die Einheitsmatrix ist. Tja, und für welche wohl noch... ![[kopfkratz3]](/images/smileys/kopfkratz3.gif "[kopfkratz3]") . Wie wäre es denn, wenn man [mm]x_j := -i[/mm] setzt? Denn es gilt ja: [mm](-i)i = -(-1) = 1[/mm].
Grüße
Karl
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 18:33 Sa 27.01.2007 | | Autor: | Ron85 |
Hallo nochmal.
Das Kommutativgesetz stimmt aber doch nicht für Matrizen.
Wieso kann ich A*A und AA* so durchrechnen wie Du es gemacht hast?
Bei D ist es klar, da es eine Diagonalmatrix ist.
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Hallo Ron85,
> Das Kommutativgesetz stimmt aber doch nicht für Matrizen.
Richtig im Allgemeinen ist das so, aber wie du schon selber schreibst ...
> Bei D ist es klar, da es eine Diagonalmatrix ist.
ist [mm]D[/mm] eine Diagonalmatrix. Und damit sind auch [mm]DD^H[/mm] und [mm]D^HD[/mm] Diagonalmatrizen, die nur aus Elementen der Form [mm]\alpha:=x_j\overline{x_j}[/mm] bzw. [mm]\beta:=\overline{x_j}x_j[/mm] bestehen (lies dir eventuell nochmal durch, wie 'hermitesch' definiert ist). Du mußt also lediglich einsehen, daß [mm]\alpha = \beta[/mm] ist.
> Wieso kann ich A*A und AA* so durchrechnen wie Du es
> gemacht hast?
Na ja, such' im Internet nach allgemeinen Matrizengesetzen. Das sollte die Frage beantworten. Allerdings kann ich dir nicht sagen, wie man allgemeine Matrizengesetze wie [mm](AB)^T = B^TA^T[/mm] beweist.
Grüße
Karl
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 19:03 Sa 27.01.2007 | | Autor: | Ron85 |
Ja OK Danke schon Mal.
Hat mir sehr geholfen.
Könntest Du vielleicht bei meinem artikel Skalarprodukt nochma reinschauen und mir vielleicht bei der a) helfen?
b) hab ich bereits.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 19:53 Sa 27.01.2007 | | Autor: | Karl_Pech |
Hallo nochmal,
> Könntest Du vielleicht bei meinem artikel Skalarprodukt
> nochma reinschauen und mir vielleicht bei der a) helfen?
Sorry, mein Wissen reicht dafür offenbar nicht aus. ;-(
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