äguivalenzrelation < Logik < Logik+Mengenlehre < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 23:28 Di 07.12.2004 | | Autor: | SUNNY000 |
hallo leute, ich muss zeigen, dass durch [mm] (x_1, x_2) \partial (y_1, y_2): \gdw x_1 [/mm] + [mm] y_2 [/mm] = [mm] x_2 [/mm] + [mm] y_1 [/mm] eine äquivalenzrelation auf [mm] \IN \times [/mm]
[mm] \IN [/mm] definiert wird.
Muss ich das irgendwie mit symmetrisch usw. beweisen? oder wie geht das? ich weiß auch nicht genau, wie ich an die aufgabe rangehen soll.
bin für jeden tipp dankbar
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 23:44 Di 07.12.2004 | | Autor: | SUNNY000 |
hallo leute, ich muss zeigen, dass durch ( [mm] x_1, x_2 [/mm] ) [mm] \partial [/mm] ( [mm] y_1 [/mm] , [mm] y_2 [/mm] ) : [mm] \gdw x_1 [/mm] + [mm] y_2 [/mm] = [mm] x_2 [/mm] + [mm] y_1 [/mm] eine äquivalenzrelation auf [mm] \IN \times \IN [/mm] definiert wird.
Muss ich das irgendwie mit symmetrisch usw. beweisen? oder wie geht das? ich weiß auch nicht genau, wie ich an die aufgabe rangehen soll.
bin für jeden tipp dankbar
P.S. : [mm] \partial [/mm] steht für das Zeichen ro. Ich weiß aber nicht, wie man das richtig schreibt.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 00:08 Mi 08.12.2004 | | Autor: | Lizard |
Hallo,
mal davon abgesehen, daß diese Frage eher in das Matheforum gehört, bist du schon auf dem richtigen Pfad:
Äquivalenzrelationen zeichnen sich durch drei Eigenschaften aus. Hast du diese für eine Relation nachgewiesen, dann ist sie automatisch eine Äquivalenzrelation. Die Eigenschaften sind die von dir genannte Symmetrie (Anschaulich: Wenn ein Element zu einem anderen Element äquivalent ist, dann ist umgekehrt auch das andere Element äquivalent zum ersten), außerdem noch Reflexivität (Jedes Element ist zu sich selbst äquivalent) und Transitivität (Wenn ein Element zu einem anderen äquivalent ist, und dieses wiederum äquivalent ist zu einem dritten, dann ist auch das erste zum dritten äquivalent - die Äquivalenz "überträgt" sich also praktisch).
Ihr habt sicher korrekte Definitionen dieser Begriffe aufgeschrieben, z.B. in der Form $x\ [mm] \rho\ [/mm] y [mm] \Rightarrow [/mm] y\ [mm] \rho\ [/mm] x$ oder ähnlich. Wenn dir also der Nachweis gelingt, daß sich diese Definitionen alle auf die von dir genannte Relation anwenden lassen, dann bist du fertig. Ein einzelnes $x$ hat dann bei dir dir Form [mm] $(x_1, x_2)$, [/mm] du müsstest im obigen Fall also zeigen: [mm] $(x_1, x_2)\ \rho\ (y_1, y_2) \Rightarrow (y_1, y_2)\ \rho\ (x_1, x_2)$.
[/mm]
Hoffe, das hilft schonmal etwas weiter.
PS: Statt eines Rho schreibt man auch manchmal x R y für x steht in Relation zu y. Bei Äquivalenzrelationen benutzt man auch gerne x ~ y.
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 00:32 Mi 08.12.2004 | | Autor: | SUNNY000 |
hi, ich verstehe nicht ganz, wie du auf deine letzte aussage kommst mit dem einzelnen x. ich weiß, dass reflexiv für ( [mm] \forall [/mm] a [mm] \in [/mm] M ) : (a, a) [mm] \in [/mm] rho , gilt, aber wie kann ich mit dieser funktion nachweisen, ob meine aussage reflexiv ist oder nicht.
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(Antwort) fertig | | Datum: | 00:56 Mi 08.12.2004 | | Autor: | Lizard |
Naja: Das, was in deiner Definition ein einzelnes x oder ein einzelnes a ist, ist für die Menge, die du nun betrachtest, nun ein Wertepaar. Du betrachtest keine Relation auf [mm] \IN [/mm] mehr, für die ein einzelnes x beispielsweise 5 wäre, sondern eine Relation auf [mm] \IN \times \IN, [/mm] wo einzelne Elemente aussehen wie (2, 4).
Also, mal konkret für Reflexivität:
Deine Definition ist: Die Relation [mm] \rho [/mm] auf einer Menge A ist reflexiv, wenn für ein beliebiges a [mm] \in [/mm] A gilt: $(a, a) [mm] \in \rho$. [/mm] Das kann man umschreiben in a [mm] \rho [/mm] a (also in Worten: a ist äquivalent zu a). Deine Menge A ist jetzt die Menge [mm] \IN \times \IN, [/mm] picken wir uns daraus mal ein beliebiges Element a. Dieses hat offensichtlich die Form [mm] $(a_1, a_2)$. [/mm] Wir wollen zeigen, daß gilt: [mm] $(a_1, a_2) \rho (a_1, a_2)$. [/mm] Dies ist mit der Definition von [mm] \rho [/mm] als [mm] $(x_1, x_2) \rho (y_1, y_2) \gdw x_1 [/mm] + [mm] y_2 [/mm] = [mm] x_2 [/mm] + [mm] y_1$ [/mm] gegeben, denn es gilt: [mm] $a_1 [/mm] + [mm] a_2 [/mm] = [mm] a_2 [/mm] + [mm] a_1$. [/mm] Man sieht hier zwar nicht so schön, wo die einzelnen Variablen herkommen, aber wenn du dir die Definition ganz genau anschaust, und die Werte einsetzt, wird es dir sicher auch klar.
Kannst du den gleichen Prozess auch für die Definitionen von Symmetrie und Transitivität durchführen, die ihr aufgeschrieben habt?
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(Frage) für Interessierte  | | Datum: | 01:23 Mi 08.12.2004 | | Autor: | SUNNY000 |
HEY nochmal, für SYMMETRISCH weiß ich, dass ( [mm] \forall [/mm] x, y [mm] \in [/mm] M ) : ( x, y ) [mm] \in [/mm] rho [mm] \Rightarrow [/mm] ( y, x ) [mm] \in [/mm] rho. aber hiermit ist ja noch gar nichts bewiesen oder? das ist doch nur eine weitere aussage, die ich beweisen mussx
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Hallo SUNNY000,
Unser Forum ist angewiesen auf Mitglieder, die auch dann jemandem helfen, wenn die Frage für sie selbst nicht interessant ist.
Deine Frage verstößt nun leider gegen unsere Forenregeln.
Aus diesem Grund empfiehlt das Projektteam, die Beantwortung Deiner Frage nur noch Interessierten zu überlassen, damit unsere hilfsbereiten Mitglieder nicht durch deine Regelverstösse verärgert werden.
Im Folgenden findest du eine ausführliche Liste der bemängelten Punkte. Du kannst gerne deine Frage entsprechend nachbessern, dann erlangt sie auch wieder die Aufmerksamkeit unserer hilfsbereiten Mitglieder.
Eigene Ansätze oder konkrete Fragen fehlen
Fragen, die nur aus der Aufgabenstellung selbst bestehen, werden grundsätzlich nicht bearbeitet. Es sollte wenigstens erkennbar sein, dass du dir eigene Gedanken gemacht hast, und an welcher Stelle du genau ins Stocken geraten bist.
Du hast jetzt mehrmals hintereinander nachgebohrt, ohne überhaupt einen Funken Eigeninitiative zu zeigen, mal abgesehen von der Tatsache, dass du den Aufgabentext getippt hast. Deshalb bessere deine Frage bitte nach.
Stellvertretend für die hilfsbereiten Mitglieder und das Projektteam[mm] \n,
[/mm]
Hugo_Sanchez-Vicario
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