Ähnlichkeit (Matrizen) prüfen < Matrizen < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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| Aufgabe | Prüfen Sie ob die Matrizen $A, B [mm] \in \mathbb{R}^{3 \times 3}$ [/mm] ähnlich sind oder nicht.
$A =$ [mm] \begin{pmatrix}
2 & 1 & 0 \\
0 & 5 & 3 \\
0 & -4 & -2 \\
\end{pmatrix} [/mm] $B =$ [mm] \begin{pmatrix}
2 & 1 & 1 \\
0 & 5 & 3 \\
0 & -4 & -2 \\
\end{pmatrix} [/mm] |
Hallo zusammen,
ich arbeite seit gestern an dieser Aufgabe und komme leider auf keinen guten Ansatz.
Was ich bereits weiß:
- die Determinanten sind gleich (4)
- der Rang ist gleich (3)
- das char. Polynom ist gleich ($charPol(x) = [mm] (2-x)^2 [/mm] (1-x)$)
- die Eigenwerte sind gleich (1, 2 ,2)
- die Spur ist gleich (5)
- die Matrix A ist nicht diagonalisierbar, die Matrix B hingegen schon.
Begriffe wie minimal Polynom und Jordansche NF darf ich nicht nutzen.
Mein aller letzter Ansatz wäre der folgende gewesen:
- $A = [mm] S^{-1} [/mm] B S [mm] \Leftrightarrow [/mm] SA - BS = 0$ aufstellen
- $S$ mit Variablen "füllen" (a-i)
- Das LGS lösen und prüfen ob mehr als nur die Nullmatrix rauskommt.
Aber da es sich bei dieser Aufgabe um eine Klausuraufgabe handelt, die nicht mehr oder weniger Punkte gibt als die restlichen Aufgaben, frage ich mich ob ich einfach etwas übersehen habe oder mich schlicht grob verrechnet habe.. ich meine, für so eine Aufgabe hat man meist nur ein paar Minuten Zeit..
Über einen Tipp würde ich mich sehr freuen! :)
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Hallo,
> Prüfen Sie ob die Matrizen [mm]A, B \in \mathbb{R}^{3 \times 3}[/mm]
> ähnlich sind oder nicht.
>
> [mm]A =[/mm] [mm]\begin{pmatrix}
2 & 1 & 0 \\
0 & 5 & 3 \\
0 & -4 & -2 \\
\end{pmatrix}[/mm]
> [mm]B =[/mm] [mm]\begin{pmatrix}
2 & 1 & 1 \\
0 & 5 & 3 \\
0 & -4 & -2 \\
\end{pmatrix}[/mm]
>
> Hallo zusammen,
>
> ich arbeite seit gestern an dieser Aufgabe und komme leider
> auf keinen guten Ansatz.
>
> Was ich bereits weiß:
> - die Determinanten sind gleich (4)
> - der Rang ist gleich (3)
> - das char. Polynom ist gleich ([mm]charPol(x) = (2-x)^2 (1-x)[/mm])
>
> - die Eigenwerte sind gleich (1, 2 ,2)
> - die Spur ist gleich (5)
> - die Matrix A ist nicht diagonalisierbar, die Matrix B
> hingegen schon.
Der letzte Punkt zeigt, dass die Matrizen nicht ähnlich sind.(Ähnlichkeit ist eine Äquivalenzrelation).
> Begriffe wie minimal Polynom und Jordansche NF darf ich
> nicht nutzen.
>
> Mein aller letzter Ansatz wäre der folgende gewesen:
> - [mm]A = S^{-1} B S \Leftrightarrow SA - BS = 0[/mm] aufstellen
> - [mm]S[/mm] mit Variablen "füllen" (a-i)
> - Das LGS lösen und prüfen ob mehr als nur die
> Nullmatrix rauskommt.
>
> Aber da es sich bei dieser Aufgabe um eine Klausuraufgabe
> handelt, die nicht mehr oder weniger Punkte gibt als die
> restlichen Aufgaben, frage ich mich ob ich einfach etwas
> übersehen habe oder mich schlicht grob verrechnet habe..
> ich meine, für so eine Aufgabe hat man meist nur ein paar
> Minuten Zeit..
>
>
> Über einen Tipp würde ich mich sehr freuen! :)
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