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Ähnlichkeits- DGL: Korrekturlesung
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 17:48 Fr 21.11.2008
Autor: Marcel08

Aufgabe
Bestimmen Sie alle Lösungen der DGL [mm] x^{3}+y^{3}-(3xy^{2})y^{,}=0. [/mm] Substituieren Sie dazu [mm] z=\bruch{y}{x}. [/mm]

Liege Matheraum- Community,

es wäre sehr nett, wenn jemand mal über meinen Lösungsweg schauen könnte und mich ggf. auf etwaige Fehler aufmerksam machen würde, bzw. mir eventuell die Richtigkeit meines Ergebnisses bestätigen könnte. Für einen Tipp hinsichtlich des Aussehens der Lösung wäre ich auch dankbar. Vielen Dank im Voraus. Gruß,



Marcel



1.) Zurückführung auf eine DGL vom Typ [mm] y^{,}=f(x)g(x) [/mm] liefert:


[mm] y^{,}=\bruch{1}{3}(\bruch{y}{x}+\bruch{1}{(\bruch{y}{x})^{2}}) [/mm]



2.) Substitution:


[mm] z^{,}x+z=\bruch{1}{3}(z+\bruch{1}{z^{2}}) [/mm] =


[mm] z^{,}x=-\bruch{1}{3}(\bruch{2z^{3}+1}{z^{2}}) [/mm]



3.) Durch Trennung der Veränderlichen erhalten wir:


[mm] \bruch{1}{2}\integral_{}^{}{\bruch{3z^{2}}{z^{3}+\bruch{1}{2}} dz}=-\integral_{}^{}{\bruch{1}{x} dx} [/mm]


Integrationsregel [mm] \integral_{}^{}{\bruch{f^{,}(x)}{f(x)} dx}=ln|f(x)| [/mm] liefert:


[mm] y^{3}+x(\bruch{1}{2}x^{2}-c^{2})=0, [/mm] für [mm] c\in\IR [/mm]




Die jeweiligen Rechenwege habe ich des Aufwands wegen mal weggelassen.

        
Bezug
Ähnlichkeits- DGL: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 18:26 Fr 21.11.2008
Autor: MathePower

Hallo Marcel08,

> Bestimmen Sie alle Lösungen der DGL
> [mm]x^{3}+y^{3}-(3xy^{2})y^{,}=0.[/mm] Substituieren Sie dazu
> [mm]z=\bruch{y}{x}.[/mm]
>  Liege Matheraum- Community,
>  
> es wäre sehr nett, wenn jemand mal über meinen Lösungsweg
> schauen könnte und mich ggf. auf etwaige Fehler aufmerksam
> machen würde, bzw. mir eventuell die Richtigkeit meines
> Ergebnisses bestätigen könnte. Für einen Tipp hinsichtlich
> des Aussehens der Lösung wäre ich auch dankbar. Vielen Dank
> im Voraus. Gruß,
>  
>
>
> Marcel
>  
>
>
> 1.) Zurückführung auf eine DGL vom Typ [mm]y^{,}=f(x)g(x)[/mm]
> liefert:
>  
>
> [mm]y^{,}=\bruch{1}{3}(\bruch{y}{x}+\bruch{1}{(\bruch{y}{x})^{2}})[/mm]
>  
>
>
> 2.) Substitution:
>  
>
> [mm]z^{,}x+z=\bruch{1}{3}(z+\bruch{1}{z^{2}})[/mm] =
>  
>
> [mm]z^{,}x=-\bruch{1}{3}(\bruch{2z^{3}+1}{z^{2}})[/mm]
>  


Hier hat wohl der Fehlerteufel zugeschlagen:

[mm]\blue{z^{,}x=}\bruch{\red{-}\blue{2z^{3}+1}}{\blue{3z^{2}}}[/mm]


>
>
> 3.) Durch Trennung der Veränderlichen erhalten wir:
>  
>
> [mm]\bruch{1}{2}\integral_{}^{}{\bruch{3z^{2}}{z^{3}+\bruch{1}{2}} dz}=-\integral_{}^{}{\bruch{1}{x} dx}[/mm]
>  
>
> Integrationsregel [mm]\integral_{}^{}{\bruch{f^{,}(x)}{f(x)} dx}=ln|f(x)|[/mm]
> liefert:
>  
>
> [mm]y^{3}+x(\bruch{1}{2}x^{2}-c^{2})=0,[/mm] für [mm]c\in\IR[/mm]
>  
>
>
>
> Die jeweiligen Rechenwege habe ich des Aufwands wegen mal
> weggelassen.


Gruß
MathePower

Bezug
                
Bezug
Ähnlichkeits- DGL: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 18:48 Fr 21.11.2008
Autor: Marcel08

Den Vorzeichenfehler ausgenommen wäre die Lösung korrekt? Wie könnte man die Lösungsmenge bestimmen, bzw. graphisch darstellen?

Bezug
                        
Bezug
Ähnlichkeits- DGL: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 19:16 Fr 21.11.2008
Autor: MathePower

Hallo Marcel08,

> Den Vorzeichenfehler ausgenommen wäre die Lösung korrekt?


Dann ist die Lösung korrekt.


> Wie könnte man die Lösungsmenge bestimmen, bzw. graphisch
> darstellen?


Die Gleichung kann doch ohne Schwierigkeiten nach y aufgelöst werden.
Damit hast Du eine Funkion [mm]y=f\left(x\right)[/mm].


Gruß
MathePower

Bezug
                                
Bezug
Ähnlichkeits- DGL: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 21:31 Fr 21.11.2008
Autor: Marcel08

Okay, vielen Dank noch einmal.

Bezug
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