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| Aufgabe | Beweisen Sie, dass durch
$ x [mm] \sim [/mm] y [mm] :\gdw\ [/mm] es\ gibt\ ein\ n [mm] \in \IZ [/mm] ,\ so\ dass\ x = [mm] 2^n [/mm] * y $
eine Äquivalenzrelation auf der Menge $ [mm] \IZ [/mm] $ definiert ist. Geben Sie für jede Äquivalenzklasse eine genaue Beschreibung an. |
Ich glaube, dass zu zeigen wäre
[mm](1)\ x \sim x,[/mm]
[mm]also\ \exists\ n \in \IZ\ mit\ x = 2^n * x [/mm]
[mm](2)\ x \sim y \Rightarrow y \sim x,[/mm]
[mm]also\ \exists\ n \in \IZ\ mit\ x = 2^n * y[/mm]
[mm]\Rightarrow \exists\ n \in \IZ\ mit\ y = 2^n * x[/mm]
[mm](3)\ x \sim y \wedge y \sim z \Rightarrow x \sim z,[/mm]
[mm]also\ \exists\ n \in \IZ\ mit\ x = 2^n * y \wedge \exists\ n \in \IZ\ mit\ y = 2^n * z[/mm]
[mm]\Rightarrow \exists\ n \in \IZ\ mit\ x = 2^n * z[/mm]
Nur leider kann der Glaube zwar Berge versetzen, nicht aber mathematische Definitionen. ^^ Wie ich die Äqu.-Klassen beschreibe weiß ich hingegen überhaupt nicht. :(
Ich bin für jede Hilfe, jeden Tipp und jeden Schubser in die richtige Richtung überaus dankbar.
(EDIT)
Aufgabenstellung korrigiert.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 16:36 Mi 29.10.2008 | | Autor: | fred97 |
> Beweisen Sie, dass durch
> [mm]x \sim y :\gdw\ es\ gibt\ ein\ n \in \IZ ,\ so\ dass\ x = 2n * y[/mm]
>
> eine Äquivalenzrelation auf der Menge [mm]\IZ[/mm] definiert ist.
> Geben Sie für jede Äquivalenzklasse eine genaue
> Beschreibung an.
Ist die Aufgabe so korrekt gestellt. Ich habe Zweifel
> Ich glaube, dass zu zeigen wäre
>
> [mm](1)\ x \sim x,[/mm]
> [mm]also\ \exists\ n \in \IZ\ mit\ x = 2n * x[/mm]
Hier kommen mein Zweifel: x = 2n * x. Ist x [mm] \not= [/mm] 0, so folgt 2n = 1. Da aber n eine ganze Zahl ist, muß n =0 sein, also doch x=0 ?????????????
Überprüfe die Aufgabenformulierung noch mal
FRED
>
> [mm](2)\ x \sim y \Rightarrow y \sim x,[/mm]
> [mm]also\ \exists\ n \in \IZ\ mit\ x = 2n * y[/mm]
>
> [mm]\Rightarrow \exists\ n \in \IZ\ mit\ y = 2n * x[/mm]
>
> [mm](3)\ x \sim y \wedge y \sim z \Rightarrow x \sim z,[/mm]
> [mm]also\ \exists\ n \in \IZ\ mit\ x = 2n * y \wedge \exists\ n \in \IZ\ mit\ y = 2n * z[/mm]
>
> [mm]\Rightarrow \exists\ n \in \IZ\ mit\ x = 2n * z[/mm]
>
> Nur leider kann der Glaube zwar Berge versetzen, nicht aber
> mathematische Definitionen. ^^ Wie ich die Äqu.-Klassen
> beschreibe weiß ich hingegen überhaupt nicht. :(
>
> Ich bin für jede Hilfe, jeden Tipp und jeden Schubser in
> die richtige Richtung überaus dankbar.
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Hallo,
ich gehe davon aus, daß im Text statt [mm] \* [/mm] überall + stehen sollte.
Dann bekommt die Aufgabe einen Sinn.
> Beweisen Sie, dass durch
> [mm]x \sim y :\gdw\ es\ gibt\ ein\ n \in \IZ ,\ so\ dass\ x = 2n \red{+} y[/mm]
>
> eine Äquivalenzrelation auf der Menge [mm]\IZ[/mm] definiert ist.
> Geben Sie für jede Äquivalenzklasse eine genaue
> Beschreibung an.
> Ich glaube, dass zu zeigen wäre
>
> [mm](1)\ x \sim x,[/mm]
> [mm]also\ \exists\ n \in \IZ\ mit\ x = 2n \red{+} x[/mm]
>
> [mm](2)\ x \sim y \Rightarrow y \sim x,[/mm]
> [mm]also\ \exists\ n \in \IZ\ mit\ x = 2n \red{+} y[/mm]
>
> [mm]\Rightarrow \exists\ n \in \IZ\ mit\ y = 2n \red{+} x[/mm]
>
> [mm](3)\ x \sim y \wedge y \sim z \Rightarrow x \sim z,[/mm]
> [mm]also\ \exists\ n \in \IZ\ mit\ x = 2n \red{+} y \wedge \exists\ n \in \IZ\ mit\ y = 2n \red{+} z[/mm]
>
> [mm]\Rightarrow \exists\ n \in \IZ\ mit\ x = 2n \red{+} z[/mm]
Hallo,
ja, diese Aussagen sind zu beweisen.
> Nur leider kann der Glaube zwar Berge versetzen, nicht aber
> mathematische Definitionen. ^^ Wie ich die Äqu.-Klassen
> beschreibe weiß ich hingegen überhaupt nicht. :(
In einer gemeinsamen Äquivalenzklasse liegen all die Elemente, welche bzgl. dieser Relation äquivalent sind.
Ist Dir schon aufgefallen, daß die äquivalenten Elemente diejenigen sind, die bei Division durch 2 denselben Rest lassen?
Viele Möglichkeiten für Äquivalenzklassen gibt's da ja nicht.
Gruß v. Angela
>
> Ich bin für jede Hilfe, jeden Tipp und jeden Schubser in
> die richtige Richtung überaus dankbar.
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> Beweisen Sie, dass durch
> [mm]x \sim y :\gdw\ es\ gibt\ ein\ n \in \IZ ,\ so\ dass\ x = 2^n * y[/mm]
>
> eine Äquivalenzrelation auf der Menge [mm]\IZ[/mm] definiert ist.
> Geben Sie für jede Äquivalenzklasse eine genaue
> Beschreibung an.
Hallo,
was Du zeigen planst, ist in Ordnung.
Zu den Äquivalenzklassen:
Wichtig ist natürlich zunächst mal, daß Du die Definition kennst. (Unbedingt nachlesen!)
In der Äquivalenzklasse von irgendeinem Element, nennen wir es a, sind alle Elemente versammelt, die äquivalent zu a sind, also alle x mit [mm] a\sim [/mm] x.
Ich würde jetzt, um auch ein Gefühl daür zu bekommen, mal anfangen, ein paar Aquivalenzklassen aufzuschreiben,
sagen wir mal [1], [2,], [3], [4], [5], [6], [10], [12], in einfach in aufzählender Form.
Du wirst sehen, daß es unter diesen Äquivalenzklassen welche gibt, die gleich sind.
Ich denke, daß Du Dich auf dieser Schiene einer Lösung der Aufgabe nähern kannst. (Ein Tip wäre vielleicht nach das Stichwort Primfaktorzerlegung.)
Gruß v. Angela
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