Äquiv. Normen / offene Mengen < Funktionalanalysis < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 22:21 Mi 24.05.2006 | | Autor: | kwaart |
| Aufgabe | | Beweise, dass zwei Normen auf einem Vektorraum V genau dann äquivalent sind, wenn sie die gleichen offenen Mengen liefern. |
Hallo,
die Aufgabe stammt von unserem aktuellen Analysis-Übungsblatt und bereitet mir nun schon den dritten Tag Kopfzerbrechen. Unsere Äquivalenzdefinition für Normen besagt, dass es zwei Konstanten c, C geben muss, so dass [mm]c ||x||_1 \le ||x||_2 \le C ||x||_1[/mm].
Die Hinrichtung des Beweises (also dass aus der Äquivalenz folgt, dass eine offene Menge bzgl. der einen Norm auch offen bzgl. der anderen Norm ist) ist mir noch gelungen, das fand ich eigentlich noch relativ einfach, die Lösung hab ich auch glaub ich hier im Forum schon gesehen (deswegen lass ich sie hier mal weg, es sei denn, es ist gewünscht, dass ich sie nochmal darlege...). Aber mit der Rückrichtung tue ich mich gerade etwas schwer, ich hoffe, dass mir hier jemand einen Hinweis geben kann, der meinen Gedankenblock hierbei aufhebt :)
Bei meinen bisherigen Versuchen bin ich also davon ausgegangen, dass ich zwei Normen habe, die dieselben offenen Mengen liefern. Bzgl. einer beliebigen offenen Menge A gilt dann:
Für alle [mm]a \in A[/mm] existiert [mm]\epsilon_0 > 0: [/mm] für alle x aus V mit [mm]||x-a||_1 < \epsilon_0 \Rightarrow x \in A[/mm], und es existiert [mm]\epsilon_1 > 0: [/mm] für alle x aus V mit [mm]||x-a||_2 < \epsilon_1 \Rightarrow x \in A[/mm]
Oder anders ausgedrückt: Bzgl. beider Normen gibt es um jeden Punkt der Menge eine Umgebung, die in A liegt. Das folgt ja unmittelbar aus der Definition der offenen Menge. Was mir aber bislang nicht gelungen ist, ist hiermit die beiden Normen zueinander in Beziehung zu setzen, um hierbei die Existenz der beiden Konstanten c und C zu zeigen. Nach meinem Verständnis sind die Umgebungen ja nicht einmal identisch. Ich kann natürlich etwas wie [mm]\epsilon_0 = C \epsilon_1[/mm] schreiben, aber auch das hat mich noch nicht weitergebracht.
Was übersehe ich bzw. was wäre der nächste sinnvolle Schritt? Oder muss ich schon ganz anders ansetzen?
Danke für jegliche nützliche Hinweise :)
Holger
[Um dem Hinweis für Erstposter noch gerecht zu werden :) Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.]
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 23:08 Mi 24.05.2006 | | Autor: | felixf |
Hallo Holger!
> Beweise, dass zwei Normen auf einem Vektorraum V genau dann
> äquivalent sind, wenn sie die gleichen offenen Mengen
> liefern.
> Hallo,
>
> die Aufgabe stammt von unserem aktuellen
> Analysis-Übungsblatt und bereitet mir nun schon den dritten
> Tag Kopfzerbrechen. Unsere Äquivalenzdefinition für Normen
> besagt, dass es zwei Konstanten c, C geben muss, so dass [mm]c ||x||_1 \le ||x||_2 \le C ||x||_1[/mm].
> Die Hinrichtung des Beweises (also dass aus der Äquivalenz
> folgt, dass eine offene Menge bzgl. der einen Norm auch
> offen bzgl. der anderen Norm ist) ist mir noch gelungen,
> das fand ich eigentlich noch relativ einfach, die Lösung
> hab ich auch glaub ich hier im Forum schon gesehen
> (deswegen lass ich sie hier mal weg, es sei denn, es ist
> gewünscht, dass ich sie nochmal darlege...). Aber mit der
> Rückrichtung tue ich mich gerade etwas schwer, ich hoffe,
> dass mir hier jemand einen Hinweis geben kann, der meinen
> Gedankenblock hierbei aufhebt :)
>
> Bei meinen bisherigen Versuchen bin ich also davon
> ausgegangen, dass ich zwei Normen habe, die dieselben
> offenen Mengen liefern. Bzgl. einer beliebigen offenen
> Menge A gilt dann:
> Für alle [mm]a \in A[/mm] existiert [mm]\epsilon_0 > 0:[/mm] für alle x aus
> V mit [mm]||x-a||_1 < \epsilon_0 \Rightarrow x \in A[/mm], und es
> existiert [mm]\epsilon_1 > 0:[/mm] für alle x aus V mit [mm]||x-a||_2 < \epsilon_1 \Rightarrow x \in A[/mm]
>
> Oder anders ausgedrückt: Bzgl. beider Normen gibt es um
> jeden Punkt der Menge eine Umgebung, die in A liegt. Das
> folgt ja unmittelbar aus der Definition der offenen Menge.
> Was mir aber bislang nicht gelungen ist, ist hiermit die
> beiden Normen zueinander in Beziehung zu setzen, um hierbei
> die Existenz der beiden Konstanten c und C zu zeigen. Nach
> meinem Verständnis sind die Umgebungen ja nicht einmal
> identisch. Ich kann natürlich etwas wie [mm]\epsilon_0 = C \epsilon_1[/mm]
> schreiben, aber auch das hat mich noch nicht
> weitergebracht.
> Was übersehe ich bzw. was wäre der nächste sinnvolle
> Schritt? Oder muss ich schon ganz anders ansetzen?
Ich wuerde das versuchen per Kontraposition zu beweisen. Nimm an, das die Normen nicht aequivalent sind. Versuche damit, eine Folge zu konstruieren, die bzgl. der einen Norm gegen 0 konvergiert und bzgl. der anderen Norm einen Abstand von [mm] $\ge [/mm] 1$ zum Nullpunkt haelt.
Damit bekommst du eine offene Menge bzgl. der einen Norm, welche bzgl. der anderen nicht offen ist.
LG Felix
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 16:20 Do 25.05.2006 | | Autor: | kwaart |
Hallo Felix,
danke für deinen Ratschlag. Einen indirekten Beweis hat mir auch schon mein Übungsgruppenleiter als Alternative vorgeschlagen, allerdings tue ich mich damit speziell bei dieser Aufgabe etwas schwer, weil die Ausgangsbedingung, dass es keine solchen Konstanten c und C gibt, für mich etwas "schwammig" bzw. nicht so gut greifbar ist. Ich habe daher konkret zu deinem Vorschlag auch noch ein paar Fragen.
Zunächst aber ist mir, während ich über die Folgen nachgegrübelt habe, noch eine andere Idee gekommen, mit der ich zumindest schon mal einige Schritte weitergekommen bin.
Ich nehme also wieder an, dass die beiden Normen dieselben offenen Mengen liefern und wähle als meine Menge A eine Epsilon-Umgebung um 0 bzgl. Norm 1, also [mm]A:=\{x \in V: ||x||_1 < \epsilon\}[/mm]. Da A eine offene Menge nach Norm 1 ist, muss es auch eine offene Menge nach Norm 2 sein, also gibt es eine größtmögliche Umgebung um 0 nach Norm 2, die in A liegt. Das wähle ich als B: [mm]B:=\{x \in V: ||x||_2 < \epsilon_1\}, B \subseteq A[/mm].
Nun gilt für alle x aus B: [mm]||x||_1 < \epsilon \wedge ||x||_2 < \epsilon_1[/mm].
Wähle nun [mm]C := sup\{\bruch{||x||_2}{||x||_1} | x \in B\} \Rightarrow ||x||_2 \le C||x||_1[/mm] und [mm]\bruch{1}{c} := sup\{\bruch{||x||_1}{||x||_2} | x \in B\} \Rightarrow c||x||_1 \le ||x||_2[/mm]
Damit hätte ich meine zwei gewünschten Konstanten mit der gewünschten Beziehung, allerdings nur unter der Voraussetzung, dass die gewählten Suprema tatsächlich als endlicher Wert existieren. Ich bin zwar der Meinung, dass sie es tun, mir ist aber leider noch kein mathematischer Beweis dafür eingefallen. Dass die Beziehung außerdem bis dahin nur für x aus B aufgestellt ist, ist hingegen kein großes Problem. Ich kann ja einen beliebigen Vektor y aus V entsprechend Norm 2 mit einem Faktor so multiplizieren, dass er in die Menge B hineinfällt, oder anders gesagt, ich kann jedes y aus V als Vielfaches eines Vektors aus B darstellen, so dass die aufgestellte Beziehung der beiden Normen erhalten bleibt (für eine Norm gilt ja, dass [mm]||kx|| = |k|*||x||[/mm]).
Nun zu deiner Idee mit den Folgen. Ich hab mir bisher nur grob etwa folgendes überlegt: Ich wähle eine beliebige Folge, die nach Norm 1 gegen 0 konvergiert. Im Allgemeinen wird wohl eine solche Folge nach Norm 2 nicht konvergieren (ich nehme an, dass hierfür die Annahme, dass es die Beziehung mit den zwei Konstanten zwischen den Normen eben nicht gibt, verantwortlich ist, hab es aber noch nicht geschafft, das mathematisch zu belegen). D. h. bzgl. der zweiten Norm gibt es unendlich viele Folgeglieder, die von 0 einen Abstand größer als ein beliebig gewähltes [mm]\epsilon[/mm] haben. Dann konstruiere ich eine neue Folge, indem ich alle Folgeglieder der bisherigen Folge mit [mm]\bruch{1}{\epsilon}[/mm] multipliziere und dann eine Teilfolge auswähle, deren Glieder nun nach Norm 2 alle einen Abstand von wenigstens 1 zur 0 haben. Diese neue Folge konvergiert nach Norm 1 weiterhin gegen 0. Ist das soweit in Ordnung?
Mir ist allerdings jetzt nicht ganz klar, wo ich hier eine offene Menge bzgl. einer der beiden Normen finde. Da bräuchte ich vielleicht noch einen kleinen Hinweis :)
Vielen Dank jedenfalls schon mal.
Gruß,
Holger
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 22:26 Do 25.05.2006 | | Autor: | felixf |
Hallo Holger,
ich hab grad nicht viel Zeit, deshalb nur ein kleiner Kommentar (hab das was du geschrieben hast nur ueberflogen):
Ist [mm] $a_n, [/mm] n [mm] \in \IN$ [/mm] eine konvergente Folge gegen $a$, so gibt es zu jeder Umgebung $U$ von $a$ (etwa eine offene Menge, die $a$ enthaelt) ein [mm] $n_0$, [/mm] so dass [mm] $a_n \in [/mm] U$ ist fuer alle $n [mm] \ge n_0$.
[/mm]
Damit kommst du vielleicht bei der Folgenargumentation weiter.
LG Felix
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 22:47 Do 25.05.2006 | | Autor: | kwaart |
Hallo Felix,
ja, das ist mir durchaus bekannt bzw. entspricht unserer Definition von Konvergenz. Aber letztlich ist U ja nur eine offene Menge bzgl. Norm 1, von der ich weiß, dass sie unendlich viele Folgeglieder enthält. Mir ist nicht ganz klar, was ich über diese Menge bzgl. Norm 2 folgern kann. Ich weiß, dass bzgl. Norm 2 die Folgeglieder nicht näher als 1 an die 0 herankommen und demzufolge hier kleine Umgebungen um 0 kein Element der Folge enthalten, aber was sagt mir das über die gewählte Umgebung U nach Norm 1?
Grüße,
Holger
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(Antwort) fertig | | Datum: | 23:29 Do 25.05.2006 | | Autor: | Janyary |
hallo holger,
vielleicht hilft dir das hier weiter. https://matheraum.de/read?t=150475
ich hab das zwar nicht mit den konstanten bewiesen und ueber die andere definition auch nur mit hilfe *g*
aber es ist ja die gleiche aufgabenstellung. vielleicht ein wenig unsauber formuliert, aber an sich sollte es so funktionieren.
also hoffe das hilft dir.
LG Jany :)
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 23:42 Do 25.05.2006 | | Autor: | kwaart |
Hallo Jany,
es hat mir insofern weitergeholfen, als es zu der uns gestellten Aufgabe noch einen B-Teil gibt, in dem wir aus dem hier zu zeigenden Satz noch ein paar Folgerungen ableiten sollen. Dein Thread hat mir einen Satz in Erinnerung gerufen, der zumindest eine Folgerung davon wesentlich vereinfacht :)
Für die eigentliche Aufgabenstellung hier ist es aber leider die falsche Richtung - du zeigst dort nur, dass äquivalente Normen dieselbe Topologie erzeugen, aber ich brauche die Rückrichtung. Ich muss also entweder tatsächlich aus der Annahme, dass die zwei Normen dieselbe Topologie erzeugen, zeigen, dass es dann solche Konstanten als feste Beziehung zwischen den Normen gibt (was ich mit meinem eigenen Ansatz weiter oben mittlerweile zumindest halbwegs hingekriegt habe, hoffe ich), oder alternativ eben, dass sie, wenn sie nicht äquivalent sind, definitiv nicht dasselbe System von offenen Mengen erzeugen.
Aber dennoch danke für den Link :)
Gruß,
Holger
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(Antwort) fertig | | Datum: | 12:05 Fr 26.05.2006 | | Autor: | felixf |
Hallo Holger!
> danke für deinen Ratschlag. Einen indirekten Beweis hat mir
> auch schon mein Übungsgruppenleiter als Alternative
> vorgeschlagen, allerdings tue ich mich damit speziell bei
> dieser Aufgabe etwas schwer, weil die Ausgangsbedingung,
> dass es keine solchen Konstanten c und C gibt, für mich
> etwas "schwammig" bzw. nicht so gut greifbar ist. Ich habe
> daher konkret zu deinem Vorschlag auch noch ein paar
> Fragen.
Also wenn die Bedingung nicht gilt, gibt es keine solche Konstante $c$ oder keine solche Konstante $C$ (oder beide gibts nicht). Gibt es kein solches $C$, so tausche die Normen; fuer die getauschten Normen gibt es dann kein solches $c$.
Es reicht also sich den Fall anzuschauen, dass es kein $c > 0$ gibt so, dass fuer alle $v [mm] \in [/mm] V$ gilt $c [mm] \|v\|_1 \le \|v\|_2$. [/mm] Das heisst gerade, dass es zu jedem $c > 0$ ein [mm] $v_c \in [/mm] V$ gibt mit $c [mm] \|v_c\|_1 [/mm] > [mm] \|v_c\|_2$. [/mm] Ohne Einschraenkung sei [mm] $\|v_c\|_1 [/mm] = 1$ fuer alle $c > 0$.
Schau dir jetzt die Folge [mm] $x_n [/mm] := [mm] v_{1/n}$ [/mm] an, $n [mm] \in \IN$. [/mm] Dann gilt [mm] $\|x_n\|_2 [/mm] < [mm] \frac{1}{n} \|x_n\|_1 [/mm] = [mm] \frac{1}{n}$, [/mm] womit [mm] $(x_n)_{n\in\IN}$ [/mm] eine Nullfolge bzgl. Norm 2 ist. Bezueglich Norm 1 konvergiert sie jedoch nicht gegen 0.
Jetzt schau dir mal [mm] $B_{1/2}^{\text{Norm 1}}(0)$ [/mm] an und nimm an, dass die beiden Normen die gleichen offenen Mengen haben 
> Zunächst aber ist mir, während ich über die Folgen
> nachgegrübelt habe, noch eine andere Idee gekommen, mit der
> ich zumindest schon mal einige Schritte weitergekommen bin.
> Ich nehme also wieder an, dass die beiden Normen dieselben
> offenen Mengen liefern und wähle als meine Menge A eine
> Epsilon-Umgebung um 0 bzgl. Norm 1, also [mm]A:=\{x \in V: ||x||_1 < \epsilon\}[/mm].
> Da A eine offene Menge nach Norm 1 ist, muss es auch eine
> offene Menge nach Norm 2 sein, also gibt es eine
> größtmögliche Umgebung um 0 nach Norm 2, die in A liegt.
> Das wähle ich als B: [mm]B:=\{x \in V: ||x||_2 < \epsilon_1\}, B \subseteq A[/mm].
>
> Nun gilt für alle x aus B: [mm]||x||_1 < \epsilon \wedge ||x||_2 < \epsilon_1[/mm].
>
> Wähle nun [mm]C := sup\{\bruch{||x||_2}{||x||_1} | x \in B\} \Rightarrow ||x||_2 \le C||x||_1[/mm]
> und [mm]\bruch{1}{c} := sup\{\bruch{||x||_1}{||x||_2} | x \in B\} \Rightarrow c||x||_1 \le ||x||_2[/mm]
>
> Damit hätte ich meine zwei gewünschten Konstanten mit der
> gewünschten Beziehung, allerdings nur unter der
> Voraussetzung, dass die gewählten Suprema tatsächlich als
> endlicher Wert existieren.
Genau, das musst du naemlich noch zeigen.
> Ich bin zwar der Meinung, dass
> sie es tun, mir ist aber leider noch kein mathematischer
> Beweis dafür eingefallen.
Du kannst das am besten per Wiederspruch machen. Wenn es nicht existieren wuerde, dann bekommst du eine Folge, die bzgl. der einen Norm divergiert und bzgl. der anderen beschraenkt ist. Daraus bekommst du dann genauso wie ich oben beschrieben hab einen Widerspruch. Nur das du so viel mehr Arbeit hast...
> Dass die Beziehung außerdem bis
> dahin nur für x aus B aufgestellt ist, ist hingegen kein
> großes Problem. Ich kann ja einen beliebigen Vektor y aus V
> entsprechend Norm 2 mit einem Faktor so multiplizieren,
> dass er in die Menge B hineinfällt, oder anders gesagt, ich
> kann jedes y aus V als Vielfaches eines Vektors aus B
> darstellen, so dass die aufgestellte Beziehung der beiden
> Normen erhalten bleibt (für eine Norm gilt ja, dass [mm]||kx|| = |k|*||x||[/mm]).
>
> Nun zu deiner Idee mit den Folgen. Ich hab mir bisher nur
> grob etwa folgendes überlegt: Ich wähle eine beliebige
> Folge, die nach Norm 1 gegen 0 konvergiert. Im Allgemeinen
Eine beliebige Folge reicht nicht, du musst schon eine geschickt konstruieren damit du auch sicher bist das sie nicht konvergiert.
> wird wohl eine solche Folge nach Norm 2 nicht konvergieren
> (ich nehme an, dass hierfür die Annahme, dass es die
> Beziehung mit den zwei Konstanten zwischen den Normen eben
> nicht gibt, verantwortlich ist, hab es aber noch nicht
> geschafft, das mathematisch zu belegen). D. h. bzgl. der
Ja, die Beziehung ist dafuer verantwortlich. Wenn du dir das am Anfang durchgelesen hast wirst du es vielleicht jetzt sehen :)
> zweiten Norm gibt es unendlich viele Folgeglieder, die von
> 0 einen Abstand größer als ein beliebig gewähltes [mm]\epsilon[/mm]
> haben. Dann konstruiere ich eine neue Folge, indem ich alle
> Folgeglieder der bisherigen Folge mit [mm]\bruch{1}{\epsilon}[/mm]
> multipliziere und dann eine Teilfolge auswähle, deren
> Glieder nun nach Norm 2 alle einen Abstand von wenigstens 1
> zur 0 haben. Diese neue Folge konvergiert nach Norm 1
> weiterhin gegen 0. Ist das soweit in Ordnung?
Genau.
> Mir ist allerdings jetzt nicht ganz klar, wo ich hier eine
> offene Menge bzgl. einer der beiden Normen finde. Da
> bräuchte ich vielleicht noch einen kleinen Hinweis :)
Nimm eine Kugel mit dem passenden Radius (wo die Folge sich bzgl. der einen Norm nicht reintraut)... So wie oben :)
LG Felix
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 12:59 Fr 26.05.2006 | | Autor: | kwaart |
Hallo Felix,
herzlichen Dank für deine Ausführungen. Ich glaube, ich habe den Beweis jetzt verstanden. Du hast mir den Abschluss noch offengelassen, aber hier müsste ja dann die Argumentation greifen, die ich in meinem eigenen Versuch schon gebracht habe: [mm]B^1_{1/2}(0)[/mm] ist eine offene Menge bzgl. Norm 1, und wenn beide Normen dieselben offenen Mengen haben, dann muss es bzgl. Norm 2 eine offene Umgebung um 0 geben, die in B enthalten ist. Bzgl. Norm 2 würden aber in dieser Umgebung Elemente der Folge liegen und wären demzufolge ebenfalls in B enthalten, womit wir den Widerspruch gefunden hätten.
Dann also nochmals vielen Dank für deine Hilfe.
Grüße,
Holger
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 20:00 Fr 26.05.2006 | | Autor: | felixf |
Hallo Holger!
> herzlichen Dank für deine Ausführungen. Ich glaube, ich
> habe den Beweis jetzt verstanden. Du hast mir den Abschluss
> noch offengelassen, aber hier müsste ja dann die
> Argumentation greifen, die ich in meinem eigenen Versuch
> schon gebracht habe: [mm]B^1_{1/2}(0)[/mm] ist eine offene Menge
> bzgl. Norm 1, und wenn beide Normen dieselben offenen
> Mengen haben, dann muss es bzgl. Norm 2 eine offene
> Umgebung um 0 geben, die in B enthalten ist. Bzgl. Norm 2
> würden aber in dieser Umgebung Elemente der Folge liegen
> und wären demzufolge ebenfalls in B enthalten, womit wir
> den Widerspruch gefunden hätten.
Genau so gehts
> Dann also nochmals vielen Dank für deine Hilfe.
Keine Ursache!
LG Felix
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