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| Aufgabe | Es seine A und B beliebige Mengen . Beweisen Sie:
a) Die drei Aussagen A echte Teilmenge von B, A geschnitten B=a und Avereinigt mit B = B sind Äquivalent.
b)Es gibt genau eine Menge X mit den Eigenschaften Avereinigt mit X = A vereinigt mit B und A geschnitten X = (o mit strich) |
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt
hab null ahnung, bin bei äquivalenzen echt ne null!
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Hi DarkChrissy,
![[willkommenmr]](/images/smileys/willkommenmr.png "[willkommenmr]")
zunächst mal ein kleiner Tipp: das Verwenden von Formeln ist nicht schwer und trägt erheblich zur Lesbarkeit der Aufgabe bei 
Die für Mengen wichtigsten Befehle sind:
\cup , \cap , \subset , \subseteq
Sie erzeugen:
[mm]\cup , \cap , \subset , \subseteq[/mm]
Nun zur Aufgabe: Du musst dir erstmal darüber klar werden, was denn $Q [mm] \subset [/mm] R$ und $S = T$ (für beliebige Mengen Q, R, S und T) mathematisch bedeuten. Weisst du es?
Sobald du es weisst, ist die Aufgabe ganz ganz einfach. Und falls du nicht weiterkommst, sind wir ja da
Also: schau mal die Definition nach und schreib sie uns auf, dann sehen wir weiter.
Viele Grüße und frohe Ostern,
Michael
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(Frage) reagiert/warte auf Reaktion  | | Datum: | 01:38 Mo 17.04.2006 | | Autor: | DarkChrissy |
da stand nicht mehr als das, was ich schon geschrieben habe, also auch keine definition
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 04:03 Mo 17.04.2006 | | Autor: | sirprize |
Hi DarkChrissy,
klar, bei der Aufgabenstellung steht das nicht mit dabei. Aber du solltest ein Skript oder Aufschriebe haben. Falls nicht, dann schau dir mal ![[]](/images/popup.gif) dieses Skript ab Kapitel 2 an. Da steht die Definition.
Viele Grüße,
Michael
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Also ich hab mich jetzt ganz in Ruhe hingeetzt und bin mein und dein Skript durchgegangen. Ich wies jetzt auch wie ich das ganze Beweise für Bestimmte Mengen. Aber nirgens stand eine Definition für beliebeige Mengen. Weis nich mehr weiter :-(
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| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 23:17 Mi 19.04.2006 | | Autor: | DeusRa |
Also,
du sollst die Aquivalenz der folgenden zeigen:
(i) [mm] $A\subseteq [/mm] B$
(ii) [mm] $A\cap [/mm] B = A$
(iii) [mm] $A\cup [/mm] B = B$
Hier musst du einen Ringschluss machen.
Also [mm] $(i)\gdw (ii)\gdw [/mm] (iii) [mm] \gdw [/mm] (i)$.
Also du gehst folgendermaßen vor:
Du nimmst erst einfach an, dass (i) gilt. (Das darfst du bei Ringschlüssen)
Und zeigst jetzt dass [mm] $(i)\Rightarrow [/mm] (ii)$.
Wenn das bewiesen ist, nimmst du jetzt an, dass (ii) gilt, und zeigst [mm] $(ii)\Rightarrow [/mm] (iii)$. Wenn das bewiesen ist, nimmst du jetzt an, dass (iii) gilt, und zeigst [mm] $(iii)\Rightarrow [/mm] (i)$.
Somit bist du dann fertig, da aus jedem das andere folgt.
(Kleine Anmerkung, du könntest im Allgemeinen auch erst annehmen, dass (i) richtig ist und erst (iii) beweisen. Da ja alles äquivanelt ist, ist es quasi egal. Sowas wirst du oft bei Beweisen begegnen.)
Aber nun mal zu deiner Aufgabe.
Sei [mm] $A\subseteq [/mm] B$ [mm] \Rightarrow $\forall x\in [/mm] A : [mm] x\in [/mm] B$.
(Mal dir hier mal für zwei Kreise auf. Einen großen Kreis (das ist dann B) und einen kleinen Kreis rein, das ist dann A.
Dann siehst du, dass alle Elemente in A auch in B liegen.)
[mm] \Rightarrow $x\in [/mm] A [mm] \wedge x\in [/mm] B$.
[mm] (\wedge [/mm] bedeutet "und", [mm] \vee [/mm] bedeutet "oder").
[mm] \Rightarrow $x\in A\wedge [/mm] B$, nach Voraussetzung von [mm] $A\subseteq [/mm] B$, gibt es kein Element in A welches nicht in B liegt. Es gibt jedoch Elemente in B welche nicht in A liegen. Diese wären jedoch nicht im Durchschnitt. Also ist
[mm] $x\in A\cap [/mm] B=A$.
Probiere mal den Rest alleine.
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