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| Aufgabe | Seien a [mm] \ge [/mm] 1 und b [mm] \ge [/mm] 1 natürliche Zahlen. Beweisen Sie die gültigkeit folgender Gleichungen:
(i) ggT(a,kgV(a,b))=a
(ii) kgV(a,ggT(a,b))=a |
Hallo erstmal an alle bin neu hier.
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
Ich habe irgendwie keine Ahnung. Habe noch nicht mal einen Ansatz.
Wäre schön wenn mir jemand dabei helfen kann.
Eine idee von mir ist vllt. dieses miteinzubringen: kgV(a,b) = [mm] \bruch{a*b}{ggT(a,b)}
[/mm]
Die Richtung (i) --> (ii) scheint auch logisch aber wie kann ich diesen Weg zeigen?
und Rückrichtung wäre auch nicht schlecht*g
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Hiho,
> Eine idee von mir ist vllt. dieses miteinzubringen:
> kgV(a,b) = [mm]\bruch{a*b}{ggT(a,b)}[/mm]
Damit hast du doch schon alles.....
Wende die Gleichung doch mal auf ii) an......
Zu i): Stelle obige Gleichung nach ggT um und wende sie dann auf i) an...
MFG,
Gono.
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Also erstmal danke für díe superschnelle antwort!
Wenn ich das jetzt also anwende bei (ii) dann bekomme ich:
kgV(a,ggT(a,b))= [mm] \bruch{a*ggT(a,b)}{ggt(a,ggT(a,b)}
[/mm]
das kann ich ja dann auch umstellen nach ggt(a,ggT(a,b)) aber hab da trotzdem irgendwie ein brett vorm kopf. Mir ist nicht richtig klar wie ich dann auf (i) komme
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So, im Nenner steht doch
ggt(a,ggT(a,b))
Was ist das denn? Überlegen, ist ganz einfach 
MFG,
Gono.
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´Ja der nenner is ganz klar "a" sorry wenn ich das jetzt gerade nicht mit hingeschrieben habe....
und wenn im nenner a steht kürzt sich das ganze auf ggt(a,b) das ist jetz klar geworden. jedoch sollte ja mein ziel sein auf (i) zu kommen und dann hab ich nur:
kgV(a,ggT(a,b)) = ggT (a,b) oder hab ich da was falsch gemacht??
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> ´Ja der nenner is ganz klar "a" sorry wenn ich das jetzt
> gerade nicht mit hingeschrieben habe....
Nein! Der Nenner ist ggt(a,b) und damit bleibt a übrig, wie gewollt.....
MFG
Gono.
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Also wenn ich das recht verstehe:
(i) ggT(a,kgV(a,b)=a
a= [mm] \bruch{a*kgV(a,b)}{kgV(a,kgV(a,b))}= \bruch{a*kgV(a,b)}{kgV(a,b)}=a
[/mm]
(ii) kgV(a,ggT(a,b)=a
a= [mm] \bruch{a*ggT(a,b)}{ggT(a,ggT(a,b))}= \bruch{a*ggT(a,b)}{ggT(a,b)}=a
[/mm]
hab ich das dann so ausreichend bewiesen?
Wusste nicht das ich den ggT/kgV(a,ggt/kgv(a,b)) dann so kürzen darf...
In diesem Sinne recht vielen Dank für die wirklich sehr schnelle Hilfe
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 20:29 Sa 16.01.2010 | | Autor: | abakus |
> Also wenn ich das recht verstehe:
>
> (i) ggT(a,kgV(a,b)=a
>
> a= [mm]\bruch{a*kgV(a,b)}{kgV(a,kgV(a,b))}= \bruch{a*kgV(a,b)}{kgV(a,b)}=a[/mm]
>
> (ii) kgV(a,ggT(a,b)=a
>
> a= [mm]\bruch{a*ggT(a,b)}{ggT(a,ggT(a,b))}= \bruch{a*ggT(a,b)}{ggT(a,b)}=a[/mm]
>
> hab ich das dann so ausreichend bewiesen?
> Wusste nicht das ich den ggT/kgV(a,ggt/kgv(a,b)) dann so
> kürzen darf...
>
> In diesem Sinne recht vielen Dank für die wirklich sehr
> schnelle Hilfe
>
Hallo,
es geht auch logisch.
zu (i):
Offensichtlich ist a ein Teiler von a.
Natürlich ist a auch ein Teiler eines Vielfachen von a (damit auch von diesem kgV).
Außerdem ist a selbst sein eigener größter Teiler. Somit ist a der gesuchte ggT.
zu (ii): Von allen Vielfachen von a ist a selbst sein kleinstes Vielfaches. Ausdem ist a ein Vielfaches aller Teiler von a und damit auch von dem genannten ggT. Somit ist a das gewünsche kgV.
Gruß Abakus
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