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Äquivalenz Beweis: aufgabe
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 14:36 Sa 21.06.2008
Autor: delicious

Aufgabe
[mm] c,d \in C [/mm]
zu zeigen:a) c+d und cd sind reel
             b) c,d sind reel oder aber [mm] d= \bar c [/mm]

Hallo, hier meinne Überlegungen
(c+d)= (a+bi)+(e+fi)=(a+e)+(b+f)i
=>    [mm] (a+e) \in R [/mm] nun muss doch b+f = 0 sein, oder?
für (cd) muss ich doch mit der Konjugation von c rechnen, meine damit das [mm] \bar c = d [/mm] sein müsste?

Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
MfG

        
Bezug
Äquivalenz Beweis: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 14:48 Sa 21.06.2008
Autor: schachuzipus

Hallo delicious,

> [mm]c,d \in C[/mm]
>  zu zeigen:a) c+d und cd sind reel
>               b) c,d sind reel oder aber [mm]d= \bar c[/mm]
>  Hallo,
> hier meinne Überlegungen
>  (c+d)= (a+bi)+(e+fi)=(a+e)+(b+f)i
>  =>    [mm](a+e) \in R[/mm] nun muss doch b+f = 0 [ok] sein, oder?
>  für (cd) muss ich doch mit der Konjugation von c rechnen,

Nö, rechne einfach mal [mm] $c\cdot{}d=(a+bi)\cdot{}(e+fi)=..$ [/mm] aus, sortiere wieder nach Real- und Imaginärteil, dann dieselbe Überlegung wie oben:

Dieses Produkt soll reell sein, also muss der Imaginärteil des Produktes verschwinden, also =0 sein

Das gibt dir zusammen mit der ersten Bedindung ein Gleichungssystem, das es zu betrachten gilt...

> meine damit das [mm]\bar c = d[/mm] sein müsste?
>  
> Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen
> Internetseiten gestellt.
> MfG


Gruß

schachuzipus

Bezug
                
Bezug
Äquivalenz Beweis: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 17:01 Sa 21.06.2008
Autor: delicious

danke, werde es gleich mal versuchen...

Bezug
                
Bezug
Äquivalenz Beweis: äquivalenz
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 10:26 So 22.06.2008
Autor: delicious

nun habe ich auch bei c*d b und f  gleich 0 gesetzt....
c+d= a+e
c*d= a*b
beim beweis der äquivalenz... wie komme ich da wieder auf b und f , also zur ausgangsgleichung?

Bezug
                        
Bezug
Äquivalenz Beweis: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 12:47 So 22.06.2008
Autor: schachuzipus

Hallo delicious,

> nun habe ich auch bei c*d b und f  gleich 0 gesetzt....
>  c+d= a+e
>  c*d= a*b [kopfkratz3]
>  beim beweis der äquivalenz... wie komme ich da wieder auf
> b und f , also zur ausgangsgleichung?

die obigen Überlegungen waren ja erst einmal für die Beweisrichtung $a) \ [mm] \Rightarrow [/mm] \ b)$

Mit $c=a+bi, d=e+fi$ ist nach Vor.

[mm] $c+d=(a+e)+i(b+f)\in\IR$ [/mm] und

[mm] $c\cdot{}d=(ae-bf)+i(af+be)\in\IR$ [/mm]

[mm] $\Rightarrow b+f=0\wedge [/mm] af+be=0$ (die Imaginärteile müssen 0 sein)

[mm] $\Rightarrow \red{b=-f}\wedge af+\red{(-f)}e=0$ [/mm]

[mm] $\Rightarrow b=-f\wedge [/mm] f(a-e)=0$

Kommst du nun weiter? Ein Produkt ist genau dann Null, wenn (mind.) einer der Faktoren Null ist. Was ergibt sich also für $f$ und $a-b$ und schlussendlich für $c=a+bi$ und $d=e+fi$ ?


Für die Richtung $b) \ [mm] \Rightarrow [/mm] \ a)$ ist mit $c=a+bi, d=e+fi$ die Vor:

[mm] $(c\in\IR\wedge d\in\IR)\vee d=\overline{c}$ [/mm]

Also [mm] $(c=a\wedge d=e)\vee [/mm] d=a-bi$

Nun betrachte mal für diese beiden Fälle die Summe $c+d$ und das Produkt [mm] $c\cdot{}d$ [/mm]

Gruß

schachuzipus


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