Äquivalenz /Gleichheit < Aussagenlogik < Logik < Logik+Mengenlehre < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 16:13 Mi 06.02.2013 | | Autor: | Jack159 |
Hallo,
In der Vorlesung haben u.a. folgende 2 Beispiele aufgeschrieben, welche zeigen sollen, was falsch und was richtig ist. Bei den Begründungen beider Beispiele warum dies falsch/richtig ist, bin ich mir nicht 100% sicher und möchte das hier nochmal überprüfen:
1. Beispiel:
Es gilt nicht: Die Tafel ist Grün [mm] \gdw [/mm] Die Tafel ist nicht blau.
Wieso gilt diese Äquivalenz nicht? Die beiden Aussagen rechts/links vom Äquivalenzzeichen haben doch beide denselben Wahrheitsgehalt?!
Oder gilt es deswegen nicht, weil "DIe Tafel ist Grün GENAU DANN WENN die Tafel nicht blau ist" ja aussagt, dass die Tafel nur genau dann grün ist, wenn sie nicht blau ist.
Wenn die Tafel also z.B. nicht rot wäre, dann kann die Tafel (nach obigem (falschem) Beispiel) nicht grün sein, was ja schwachsinnig/falsch wäre.
Ist diese Begründung von mir richtig?
2. Beispiel:
1. Variante: 5>3 [mm] \gdw [/mm] 3<5 (ist richtig)
2. Variante: 5>3 = 3<5 (ist falsch)
Hier würde ich sagen, dass die 2. Variante deshalb falsch ist, weil links und rechts vom Gleichheitszeichen jeweils Aussagen stehen und daher ein Äquivalenzzeichen dort hin muss und kein Gleichheitszeichen.
Ist diese Begründung richtig?
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 16:26 Mi 06.02.2013 | | Autor: | Sax |
Hi,
> Wenn die Tafel also z.B. nicht rot wäre, dann kann die
> Tafel (nach obigem (falschem) Beispiel) nicht grün sein,
> was ja schwachsinnig/falsch wäre.
ich glaube, du meinst "wenn die Tafel rot wäre".
Jedenfalls ist eine rote Tafel als Gegenbeispiel geeignet, denn dann ist die Aussage links falsch, die Aussage rechts aber wahr, also sind die Aussagen nicht äquivalent.
Das zweite Beispiel hast du richtig analysiert.
Gruß Sax.
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 17:25 Mi 06.02.2013 | | Autor: | Jack159 |
Hallo,
> > Wenn die Tafel also z.B. nicht rot wäre, dann kann die
> > Tafel (nach obigem (falschem) Beispiel) nicht grün sein,
> > was ja schwachsinnig/falsch wäre.
>
> ich glaube, du meinst "wenn die Tafel rot wäre".
> Jedenfalls ist eine rote Tafel als Gegenbeispiel geeignet,
> denn dann ist die Aussage links falsch, die Aussage rechts
> aber wahr, also sind die Aussagen nicht äquivalent.
Nein, ich meinte wirklich so wie es dort steht (Wenn die Tafel nicht rot wäre).
Nochmal etwas ausführlicher erklärt wie ich es meine:
Wir haben ja gesagt, dass folgendes falsch ist:
Die Tafel ist Grün $ [mm] \gdw [/mm] $ Die Tafel ist nicht blau.
Meine Begründung dazu, warum das falsch ist:
Die obige Äquivalenzaussage mal komplett in Worten ausgeschrieben:
"Die Tafel ist grün GENAU DANN WENN die Tafel nicht blau ist."
An dem "GENAU DANN WENN" sieht man nun (deutlicher), dass diese Äquivalenzaussage falsch sein muss bzw. falsch ist. Hier wird nämlich klar gesagt, dass die Tafel NUR DANN grün ist, wenn die Tafel nicht blau ist.
Wenn wir nun beispielsweise wissen, dass die Tafel nicht rot ist, dann kann die Tafel laut obiger Äquivalenzaussage NICHT grün sein. Denn die Tafel kann ja nur GENAU DANN grün sein, WENN sie nicht blau ist (laut ibiger Äquivalenzaussage). Dies ist aber nicht richtig. Denn die Tafel kann auch grün sein, wenn sie z.b. nicht rot/ nicht gelb/ nicht weiß ist. Und deshalb ist die obige Äquivalenzaussage falsch.
Stimmt diese Begründung?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 17:56 Mi 06.02.2013 | | Autor: | Sax |
Hi,
deine Begründung stimmt nicht.
> Hier wird nämlich klar gesagt, dass die Tafel NUR DANN
> grün ist, wenn die Tafel nicht blau ist.
Es wird sogar noch mehr gesagt, nämlich dass die Tafel in der Tat grün ist, wenn sie nicht blau ist.
>
> Wenn wir nun beispielsweise wissen, dass die Tafel nicht
> rot ist, dann kann die Tafel laut obiger Äquivalenzaussage
> NICHT grün sein.
Das folgt nicht aus der Äquivalenzaussage.
1. Wenn die Tafel nicht rot ist, kann sie ja z.B. weiß sein. Dann ist die linke Aussage (Voraussetzung) nicht erfüllt, also ist auch kein Schluss nach rechts möglich.
2. Wenn die Tafel nicht rot ist, kann sie ja z.B. blau sein. Dann ist die rechte Aussage (Voraussetzung) nicht erfüllt, also ist auch kein Schluss nach links möglich.
>Denn die Tafel kann ja nur GENAU DANN
> grün sein, WENN sie nicht blau ist (laut ibiger
> Äquivalenzaussage). Dies ist aber nicht richtig. Denn die
> Tafel kann auch grün sein,
muss sie aber nicht
> wenn sie z.b. nicht rot/ nicht
> gelb/ nicht weiß ist. Und deshalb ist die obige
> Äquivalenzaussage falsch.
Nein, deshalb ist die Begründung falsch. Nicht-rot ist nicht äquivalent zu nicht-blau.
Gruß Sax.
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 18:20 Mi 06.02.2013 | | Autor: | Jack159 |
Ich glaube jetzt habe ich es:
Wir können zwar sagen:
Wenn die Tafel grün ist, dann ist die Tafel nicht blau.
Wir können jedoch nicht sagen:
Wenn die Tafel nicht blau ist, dann ist die Tafel grün. //(Denn die Tafel könnte ja auch weiß sein, wenn sie nicht blau ist. Sie muss nicht zwingend grün sein, wenn sie nicht blau ist.)
Es gilt ja allgemein:
(A [mm] \gdw [/mm] B ) [mm] \gdw [/mm] ((A [mm] \Rightarrow [/mm] B) [mm] \wedge [/mm] (B [mm] \Rightarrow [/mm] A))
Dies gilt hier in unserem Beispiel aber nicht. Hier gilt nur A [mm] \Rightarrow [/mm] B, jedoch nicht B [mm] \Rightarrow [/mm] A, somit gilt nicht A [mm] \gdw [/mm] B
(Mit A: Die Tafel ist grün
B: Die Tafel ist nicht blau)
Jetzt müsste die Begründung stimmen, oder?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 18:31 Mi 06.02.2013 | | Autor: | Marcel |
Hallo,
> Ich glaube jetzt habe ich es:
>
> Wir können zwar sagen:
> Wenn die Tafel grün ist, dann ist die Tafel nicht blau.
![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]")
> Wir können jedoch nicht sagen:
> Wenn die Tafel nicht blau ist, dann ist die Tafel grün.
> //(Denn die Tafel könnte ja auch weiß sein, wenn sie
> nicht blau ist. Sie muss nicht zwingend grün sein, wenn
> sie nicht blau ist.)
Eben!
> Es gilt ja allgemein:
>
> (A [mm]\gdw[/mm] B ) [mm]\gdw[/mm] ((A [mm]\Rightarrow[/mm] B) [mm]\wedge[/mm] (B [mm]\Rightarrow[/mm]
> A))
>
> Dies gilt hier in unserem Beispiel aber nicht. Hier gilt
> nur A [mm]\Rightarrow[/mm] B, jedoch nicht B [mm]\Rightarrow[/mm] A, somit
> gilt nicht A [mm]\gdw[/mm] B
> (Mit A: Die Tafel ist grün
> B: Die Tafel ist nicht blau)
>
>
>
>
> Jetzt müsste die Begründung stimmen, oder?
Ja!
Nebenbei: Was Dich vermutlich verwirrt hat, ist, dass es die ![[]](/images/popup.gif) Kontraposition (klick!)
gibt:
$$(A [mm] \Rightarrow [/mm] B) [mm] \iff ((\neg [/mm] B) [mm] \Rightarrow (\neg A))\,,$$
[/mm]
wobei die Folgerung ganz rechts die Kontraposition der Folgerung links ist!
Oben hast Du gesagt:
Mit
[mm] $$A:\;\;\text{ Die Tafel ist grün}$$
[/mm]
[mm] $$B:\;\;\text{ Die Tafel ist nicht blau}$$
[/mm]
gilt wegen [mm] $\text{grün} \not= \text{blau}$ [/mm] also
$$A [mm] \Rightarrow [/mm] B:$$
Wenn [mm] $A\,$ [/mm] wahr ist, dann auch [mm] $B\,,$ [/mm] also komplett ausformuliert:
Wenn die Tafel grün ist, dann ist die Tafel nicht blau.
Wie würde denn hier nun die Kontraposition
[mm] $$((\neg [/mm] B) [mm] \Rightarrow (\neg [/mm] A))$$
in Worten ausformuliert aussehen?
P.S. $A [mm] \Rightarrow [/mm] B$ kann man definieren als [mm] $(\neg [/mm] A) [mm] \vee B\,.$ [/mm] Zeige damit
mal, dass $A [mm] \Rightarrow [/mm] B$ "das gleiche ist" wie [mm] $(\neg [/mm] B) [mm] \Rightarrow (\neg A)\,.$
[/mm]
Gruß,
Marcel
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 18:37 Mi 06.02.2013 | | Autor: | Jack159 |
> Wie würde denn hier nun die Kontraposition
> [mm]((\neg B) \Rightarrow (\neg A))[/mm]
> in Worten ausformuliert
> aussehen?
Wenn die Tafel blau ist, dann ist die Tafel nicht grün.
>
> P.S. [mm]A \Rightarrow B[/mm] kann man definieren als [mm](\neg A) \vee B\,.[/mm]
> Zeige damit
> mal, dass [mm]A \Rightarrow B[/mm] "das gleiche ist" wie [mm](\neg B) \Rightarrow (\neg A)\,.[/mm]
Das kann man mit einer Wahrheitstabelle zeigen.
Danke euch beiden ;)
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 18:47 Mi 06.02.2013 | | Autor: | Marcel |
Hallo,
>
> > Wie würde denn hier nun die Kontraposition
> > [mm]((\neg B) \Rightarrow (\neg A))[/mm]
> > in Worten
> ausformuliert
> > aussehen?
>
> Wenn die Tafel blau ist, dann ist die Tafel nicht grün.
>
>
> >
> > P.S. [mm]A \Rightarrow B[/mm] kann man definieren als [mm](\neg A) \vee B\,.[/mm]
> > Zeige damit
> > mal, dass [mm]A \Rightarrow B[/mm] "das gleiche ist" wie [mm](\neg B) \Rightarrow (\neg A)\,.[/mm]
>
> Das kann man mit einer Wahrheitstabelle zeigen.
natürlich, aber warum denn?
$$A [mm] \Rightarrow [/mm] B$$
bedeutet [mm] $(\neg [/mm] A) [mm] \vee B\,.$ [/mm] (Das kannst Du meinetwegen einmal an einer
Wahrheitstabelle veranschaulichen!)
Wegen
[mm] $$(\neg [/mm] A) [mm] \vee B=\neg(\neg [/mm] B) [mm] \vee (\neg [/mm] A)$$
ist das auch das gleiche wie
[mm] $$(\neg [/mm] B) [mm] \Rightarrow (\neg A)\,.$$
[/mm]
Ein bisschen logisch mit de Morgan rechnen...
>
> Danke euch beiden ;)
Gerne!
Gruß,
Marcel
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 18:43 Mi 06.02.2013 | | Autor: | Marcel |
Hallo,
> 2. Beispiel:
>
> 1. Variante: 5>3 [mm]\gdw[/mm] 3<5 (ist richtig)
>
> 2. Variante: 5>3 = 3<5 (ist falsch)
steht die zweite Variante wirklich so da? Denn hinschreiben darf ich
$$5 > 3 = 3 < [mm] 5\,$$
[/mm]
doch durchaus:
Es gilt $5 > [mm] 3\,$ [/mm] und es gilt auch [mm] $3=3\,$ [/mm] und es gilt auch $3 < [mm] 5\,.$ [/mm] (Wer
sagt denn, dass da nur die "kleiner/größer" Aussagen die einzigen
Aussagen sind: [mm] $3=3\,$ [/mm] ist doch auch eine Aussage. Das ist also so ein
wenig "Interpretationssache"...)
Da steht in diesem Sinne nichts falsches - wegen der Transitivität des
[mm] $<\,$ [/mm] sollte man sowas aber eigentlich nicht hinschreiben, weil es dazu
verleitet, die [mm] $5\,$ [/mm] linkerhand mit der [mm] $5\,$ [/mm] rechterhand "zu vergleichen" -
was aber nur dann ginge/Sinn machen würde, wenn die [mm] $<\,$ [/mm] nur in eine
Richtung ausgerichtet wären...
Von daher gebe ich Deiner Analyse "nur mit Vorbehalt" recht!
Gruß,
Marcel
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