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| Aufgabe | Es sei f: M [mm] \to [/mm] N eine Abbildung. Zeigen Sie die Äquivalenz der folgenden Aussagen:
(i) f ist injektiv
(ii) Für alle [mm] A,B\subseteq [/mm] M gilt: [mm] f(A\cap [/mm] B) = f(A) [mm] \cap [/mm] f(B)
(iii) Für alle [mm] A\subseteq B\subseteq [/mm] M gilt: [mm] f(B\backslash [/mm] A) = f(B) [mm] \backslash [/mm] f(A) |
Hallo, ich habe bis jetzt gezeigt, dass wenn (ii) gilt auch (iii) gelten muss und würde jetzt weiter zeigen, dass wenn (iii) gilt, auch (i) gelten muss und dann von (i) zu (ii) gehen. Allerdings stellt sich mir nun die Frage, wie ich von (i) zu (ii) komme. Wie muss ich da ran gehen? Ich bräuchte irgendwie einen Denkanstoß.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 18:27 Sa 01.11.2014 | | Autor: | fred97 |
> Es sei f: M [mm]\to[/mm] N eine Abbildung. Zeigen Sie die
> Äquivalenz der folgenden Aussagen:
> (i) f ist injektiv
> (ii) Für alle [mm]A,B\subseteqM[/mm] gilt: [mm]f(A\capB)[/mm] = f(A) [mm]\cap[/mm]
Im Quelltext sehe ich, dass (ii) so lautet:
(ii) Für alle [mm]A,B\subseteqM[/mm] gilt: [mm]f(A \cap B) = f(A)\cap f(B)[/mm]
> (iii) Für alle [mm]A\subseteqB\subseteqM[/mm] gilt:
> [mm]f(B\backslashA)[/mm] = f(B) [mm]\backslash[/mm] f(A)
>
> Hallo, ich habe bis jetzt gezeigt, dass wenn (ii) gilt auch
> (iii) gelten muss und würde jetzt weiter zeigen, dass wenn
> (iii) gilt, auch (i) gelten muss und dann von (i) zu (ii)
> gehen. Allerdings stellt sich mir nun die Frage, wie ich
> von (i) zu (ii) komme. Wie muss ich da ran gehen? Ich
> bräuchte irgendwie einen Denkanstoß.
1. Überlege Dir, dass immer (also ohne die Vor. f injektiv) gilt
f(A [mm] \cap [/mm] B) [mm] \subseteq [/mm] f(A) [mm] \cap [/mm] f(B).
2. Zu zeigen ist also noch: f(A) [mm] \cap [/mm] f(B) [mm] \subseteq [/mm] f(A [mm] \cap [/mm] B).
Dazu nimm ein y [mm] \in [/mm] f(A) [mm] \cap [/mm] f(B) her, nutze die Injektivität von f und zeige y [mm] \in [/mm] f(A [mm] \cap [/mm] B).
FRED
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OK jetzt fehlt mir nurnoch von (iii) auf (i). Ich bräuchte wieder einen Denkanstoß, da ich gerade auf dem Schlauch stehe.
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> OK jetzt fehlt mir nurnoch von (iii) auf (i). Ich bräuchte
> wieder einen Denkanstoß, da ich gerade auf dem Schlauch
> stehe.
Hallo,
unter der Voraussetzung (iii) möchtest Du also zeigen:
wenn [mm] x\not=y, [/mm] dann folgt [mm] f(x)\not=f(y).
[/mm]
Um den Bogen zu (iii) zu schlagen, müßte man eine Brücke bauen von x und y zu Mengen, die diese Elemente enthalten.
Man könnte mit [mm] \{x\}, \{y\}, \{x,y\} [/mm] arbeiten...
LG Angela
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