Äquivalenz von Matrizen < Matrizen < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) für Interessierte  | | Datum: | 17:56 Fr 08.02.2013 | | Autor: | JoeSunnex |
| Aufgabe | Gegeben sei die Matrix $A = [mm] \pmat{2&1&1&2&2 \\ 1&3&-1&1&1 \\ 3&-1&3&3&3} \in \IQ^{3\times5}$
[/mm]
a.) Geben Sie [mm] $\IQ$-Vektorräume [/mm] $V$ und $W$, Basen $B$ von $V$ und $C$ von $W$ sowie eine lineare Abbildung $f: V [mm] \rightarrow [/mm] W$ an mit: $A = ~_C [mm] f_B$.
[/mm]
b.) Zeigen Sie, dass $A$ äquivalent ist zu [mm] $\pmat{1&0&0&0&0 \\ 0&1&0&0&0 \\ 0&0&0&0&0}$.
[/mm]
c.) Geben Sie Basen $B'$ von $V$ und $C'$ von $W$ an mit [mm] $\pmat{1&0&0&0&0 \\ 0&1&0&0&0 \\ 0&0&0&0&0} [/mm] = ~_{C'} [mm] id_C \cdot [/mm] ~_C [mm] f_B \cdot [/mm] ~_B [mm] id_{B'}$ [/mm] |
Hallo zusammen,
habe derzeit einige Fragen zur Äquivalenz von Matrizen, welche in der VL wie folgt definiert wurde: "Zwei $m [mm] \times [/mm] n$ Matrizen $A$ und $B$ sind äquivalent zueinander genau dann, wenn eine invertierbare $m [mm] \times [/mm] m$ Matrix $S$ und eine invertierbare $n [mm] \times [/mm] n$ Matrix $T$ exisiteren mit $B = SAT$. Diese Tatsache wird sicher bei Aufgabenteil c interessant, aber erstmal zu den davor.
Zu a.) Sei $V := [mm] \IQ^5$ [/mm] und $B := [mm] \{b_1 = (1,0,0,0,0),b_2 = (0,1,0,0,0), \dots, b_5 = (0,0,0,0,1)\}$ [/mm] Basis von $V$. Sei des Weiteren $W := [mm] \IQ^3$ [/mm] und $C := [mm] \{c_1 = (1,0,0), c_2 = (0,1,0), c_3 = (0,0,1)\}$ [/mm] Basis von $W$. Definiere $f: V [mm] \rightarrow [/mm] W: [mm] (x_1,x_2,x_3,x_4,x_5) \mapsto (2x_1+x_2+x_3+2x_4+2x_5,x_1+3x_2-x_3+x_4+x_5,3x_1-x_2+3x_3+3x_4+3x_5)$, [/mm] so ist $A$ die Darstellungsmatrix der linearen Abbildung (nehmt es mir nicht übel, dass ich jetzt nicht explizit Additivität und Homogenität zeige, es ist doch trivial :)), also ist $A = ~_C [mm] f_B$.
[/mm]
Zu b.) Nun muss ich mithilfe von Zeilen- und Spaltentransformationen zur anderen Matrix kommen, also
[mm] $\pmat{2&1&1&2&2 \\ 1&3&-1&1&1 \\ 3&-1&3&3&3} \overset{Spalte 5-1 und 4-1}{\Longrightarrow} \pmat{2&1&1&0&0 \\ 1&3&-1&0&0 \\ 3&-1&3&0&0}$ [/mm] wie soll ich jetzt aber am besten weiterverfahren (ihr braucht mir nicht die Rechenschritte hier im Forum vorzurechnen, sondern lediglich die Operationen nennen), denn ich lande bei mir immer bei zwei Nullzeilen, was ich ja nicht erreichen sollte.
Zu c.) Die Transformationsmatrix $~_B [mm] id_{B'}$, [/mm] also im Grunde $T$ nach obiger Definition ist meine Spaltentransformation, also bis dato [mm] $\pmat{1&0&0&-1&-1 \\ 0&1&0&0&0 \\ 0&0&1&0&0 \\ 0&0&0&1&0 \\ 0&0&0&0&1}$, [/mm] bei der anderen kommt es auf die Zeilenoperationen an.
Hoffe ihr könnt mir helfen.
Grüße
Joe
EDIT: OK hat sich erledigt, habe es jetzt doch lösen dürfen mit Gleichheit vom Typ und Rang bei Aufgabenteil b. und bei c. über Bestimmung von Rang und dim(Kern) und weitere schöne Dinge :)
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