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Hallo Leute!
Ich komme bei folgender Aufgabe einfach nicht weiter:
Bestimme zu $n [mm] \in \mathbb{N}$ [/mm] bestmögliche Konstanten [mm] $C_{1,\infty}, C_{2,\infty}$ [/mm] und [mm] $C_{1,2}$ [/mm] so, daß [mm] $\forall [/mm] x [mm] \in \mathbb{R}^n$ [/mm] folgende Ungleichungen gelten und scharf sind:
1.)
[mm] $\left|\left|x\right|\right|_{\infty} \leqslant \left|\left|x\right|\right|_1 \leqslant C_{1,\infty}\left|\left|x\right|\right|_{\infty}$
[/mm]
2.)
[mm] $\left|\left|x\right|\right|_{\infty} \leqslant \left|\left|x\right|\right|_2 \leqslant C_{2,\infty}\left|\left|x\right|\right|_{\infty}$
[/mm]
3.)
[mm] $\left|\left|x\right|\right|_2 \leqslant \left|\left|x\right|\right|_1 \leqslant C_{1,2}\left|\left|x\right|\right|_2$
[/mm]
Also folgendes habe ich versucht:
zu 1.)
[mm] $\sum_{i=1}^{n}{\left|x_i\right|} \leqslant C_{1,\infty}\max_{1 \le i \le n}{\left|x_i\right|}$
[/mm]
[mm] $\Rightarrow \left|x_{i_{\max}}\right| [/mm] + [mm] \underbrace{\left(\sum_{i=1}^{i_{\max}-1}{\left|x_i\right|}\right) + \left(\sum_{i=i_{\max}+1}^{n}{\left|x_i\right|}\right)}_{\displaystyle =: \sum_{i=1}^{n-1}{\left|\widetilde{x}_i\right|}}\leqslant C_{1,\infty}\max_{1 \le i \le n}{\left|x_i\right|}$
[/mm]
[mm] $\Rightarrow [/mm] 1 + [mm] \frac{\sum_{i=1}^{n-1}{\left|\widetilde{x}_i\right|}}{\left|x_{i_{\max}}\right|} \leqslant C_{1,\infty}$
[/mm]
Und wie mache ich hier weiter?
Bei 2.) und 3.) bin ich genauso vorgegangen, aber dieser Ansatz führt wohl nicht zu einer Lösung, oder?
Danke für eure Mühe!
Grüße
Karl
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Hallo Karl,
Die Abschätzung
[mm]\sum_{i=1}^{n}{\left|x_i\right|} \le \sum_{i=1}^{n}{\left|x_{max}\right|}[/mm]
sollte bei 1. eigentlich schon weiterhelfen. "scharf" machen kann man die Ungleichung dann indem man ein x findet bei dem es eine gleichung ist.
2. funktioniert dann ähnlich.
viele Grüße
mathemaduenn
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Hallo mathemaduenn!
> [mm]\sum_{i=1}^{n}{\left|x_i\right|} \le \sum_{i=1}^{n}{\left|x_{max}\right|}[/mm]
Vermutlich ist meine Teillösung falsch, weil sie so kurz ist, aber eine andere habe ich im Moment nicht parat. Hier ist jedenfalls, das, was ich aus deinem Tip gemacht habe:
zu 1.)
[mm] $\max_{1 \le i \le n} \leqslant \sum_{i=1}^{n}{\left|x_i\right|} \leqslant C_{1,\infty}\max_{1 \le i \le n}{\left|x_i\right|}$
[/mm]
[mm] $\Rightarrow \sum_{i=1}^{n}{\left|x_i\right|} \leqslant \sum_{i=1}^{n}{\left|x_{i_{\max}}\right|} [/mm] = [mm] n\left|x_{i_{\max}}\right| [/mm] = [mm] n\cdot{\max_{1 \le i \le n}{\left|x_i\right|}} \Rightarrow [/mm] n [mm] \leqslant C_{1,\infty}$
[/mm]
zu 2.)
Ganz analog:
[mm] $\sqrt{\sum_{i=1}^{n}{\left|x_i\right|^2}} \leqslant \sqrt{\sum_{i=1}^{n}{\left|x_{i_{\max}}\right|^2}} \leqslant C_{2,\infty}\left|x_{i_{\max}}\right|$
[/mm]
[mm] $\Rightarrow \sqrt{n}\left|x_{i_{\max}}\right| \leqslant C_{2,\infty}\left|x_{i_{\max}}\right| \Rightarrow \sqrt{n} \leqslant C_{2,\infty}$
[/mm]
Ist es vielleicht doch richtig? Und wenn ja, wie ist das nun mit dem "Scharfmachen" gemeint? Bisher gehe ich davon aus, daß man dafür ein Gleichungssystem aus mindestens 2 Unbekannten aufstellen sollte:
Sei $x := [mm] \left(0,\dotsc,0,x_a, x_b, 0,\dotsc,0\right)^T \in \mathbb{R}^n$.
[/mm]
Seien weiterhin [mm] $\alpha [/mm] := [mm] \left|x_a\right|$ [/mm] und [mm] $\beta [/mm] := [mm] \left|x_b\right|$.
[/mm]
Wir müssen [mm] $x_a$ [/mm] und [mm] $x_b$ [/mm] so wählen, daß:
zu 1.)
[mm] $\alpha [/mm] + [mm] \beta [/mm] = [mm] n\cdot{\max\left\{\alpha,\beta\right\}}$ [/mm] gilt, bzw.
zu 2.)
[mm] $\sqrt{{\alpha}^2 + {\beta}^2} [/mm] = [mm] \sqrt{n}\cdot{\max\left\{\alpha,\beta\right\}}$ [/mm] gilt.
Stimmt das? Und wenn ja: Hast Du eventuell noch einen Tipp wie man da vorgeht? ![[anbet]](/images/smileys/anbet.gif "[anbet]")
Vielen Dank!
Grüße
Karl
![[user]](/images/smileys/user.gif "[user]")
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Hallo Karl,
> zu 1.)
>
>
> [mm]\max_{1 \le i \le n} \leqslant \sum_{i=1}^{n}{\left|x_i\right|} \leqslant C_{1,\infty}\max_{1 \le i \le n}{\left|x_i\right|}[/mm]
>
>
> [mm]\Rightarrow \sum_{i=1}^{n}{\left|x_i\right|} \leqslant \sum_{i=1}^{n}{\left|x_{i_{\max}}\right|} = n\left|x_{i_{\max}}\right| = n\cdot{\max_{1 \le i \le n}{\left|x_i\right|}} \Rightarrow n \leqslant C_{1,\infty}[/mm]
n [mm] \ge C_{1,\infty} [/mm] muß es heißen denn [mm] C_{1,\infty} [/mm] soll ja die kleinste soche Konstante sein und n ist zunächst nur eine solche Konstante. analog 2.
> zu 2.)
>
>
> Ganz analog:
>
>
> [mm]\sqrt{\sum_{i=1}^{n}{\left|x_i\right|^2}} \leqslant \sqrt{\sum_{i=1}^{n}{\left|x_{i_{\max}}\right|^2}} \leqslant C_{2,\infty}\left|x_{i_{\max}}\right|[/mm]
>
>
> [mm]\Rightarrow \sqrt{n}\left|x_{i_{\max}}\right| \leqslant C_{2,\infty}\left|x_{i_{\max}}\right| \Rightarrow \sqrt{n} \leqslant C_{2,\infty}[/mm]
>
>
> Ist es vielleicht doch richtig? Und wenn ja, wie ist das
> nun mit dem "Scharfmachen" gemeint? Bisher gehe ich davon
> aus, daß man dafür ein Gleichungssystem aus mindestens 2
> Unbekannten aufstellen sollte:
>
>
> Sei [mm]x := \left(0,\dotsc,0,x_a, x_b, 0,\dotsc,0\right)^T \in \mathbb{R}^n[/mm].
>
> Seien weiterhin [mm]\alpha := \left|x_a\right|[/mm] und [mm]\beta := \left|x_b\right|[/mm].
>
> Wir müssen [mm]x_a[/mm] und [mm]x_b[/mm] so wählen, daß:
>
>
> zu 1.)
>
>
> [mm]\alpha + \beta = n\cdot{\max\left\{\alpha,\beta\right\}}[/mm]
> gilt, bzw.
Dieser Ansatz führt in eine Sackgasse. Da ja.
[mm]\alpha + \beta \le 2*\max\left\{\alpha,\beta\right\}[/mm]
Im Beweis hast Du ja hauptsächlich folgende Ungleichung genutzt
[mm]\sum_{i=1}^{n}{\left|x_i\right|} \leqslant \sum_{i=1}^{n}{\left|x_{i_{\max}}\right|}[/mm]
Die Frage ist nun wann gilt hier Gleichheit. Dann findest Du auch leicht ein Bsp. bei dem [mm] ||x||_1=n*||x||_{\infty}
[/mm]
viele Grüße
mathemaduenn
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Hallo mathemaduenn,
Fangen wir nochmal von vorne an.  Diesmal werde ich all deine Tips in meine Lösung einbauen. 
Aufgabe:
Bestimme zu $n [mm] \in \mathbb{N}$ [/mm] bestmögliche Konstanten [mm] $C_{1,\infty}$, $C_{2,\infty}$ [/mm] so, daß [mm] $\forall [/mm] x [mm] \in \mathbb{R}^n$ [/mm] folgende Ungleichungen gelten und scharf sind:
1.)
[mm] $\left|\left|x\right|\right|_{\infty} \leqslant \left|\left|x\right|\right|_1 \leqslant C_{1,\infty}\left|\left|x\right|\right|_{\infty}$
[/mm]
2.)
[mm] $\left|\left|x\right|\right|_{\infty} \leqslant \left|\left|x\right|\right|_2 \leqslant C_{2,\infty}\left|\left|x\right|\right|_{\infty}$
[/mm]
zu 1.)
[mm] $\left|\left|x\right|\right|_1 [/mm] = [mm] \sum_{i=1}^{n}{\left|x_i\right|} \leqslant \sum_{i=1}^{n}{\left|x_{i_{\max}}\right|} [/mm] = [mm] n\left|x_{i_{\max}}\right|$.
[/mm]
Da wir eine bestmögliche Konstante [mm] $C_{1,\infty}$ [/mm] suchen, muß diese so klein wie möglich sein(stimmt das wirklich ![[kopfkratz3]](/images/smileys/kopfkratz3.gif "[kopfkratz3]") ? 'bestmöglich' bedeutet doch nicht zwangsläufig 'so klein, wie möglich'?). Als obere Abschätzung für [mm] $C_{1,\infty}$ [/mm] gilt also: [mm] $C_{1,\infty} \leqslant [/mm] n$
zu 2.)
[mm] $\left|\left|x\right|\right|_2 [/mm] = [mm] \sqrt{\sum_{i=1}^{n}{\left|x_i\right|^2}} \leqslant \sqrt{\sum_{i=1}^{n}{\left|x_{i_{\max}}\right|^2}} [/mm] = [mm] \sqrt{n}\left|x_{i_{\max}}\right|$
[/mm]
Also: [mm] $C_{2,\infty} \leqslant \sqrt{n}$.
[/mm]
Gleichheit gilt in beiden Fällen für $x := [mm] \left(1,\dotsc,1\right)^T \in \mathbb{R}^n$, [/mm] nicht wahr?
Aber würde das nicht bedeuten, daß ich die Ungleichungen bereits scharfgemacht habe? Aber dann würde doch [mm] $C_{1,\infty} [/mm] = n [mm] \wedge C_{2,\infty} [/mm] = [mm] \sqrt{n}$ [/mm] gelten? Habe ich die bestmöglichen Konstanten damit bestimmt, oder doch nicht?
Danke!
Viele Grüße
Karl
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Hallo Karl,
Ist alles, soweit ich das beurteilen kann, richtig.
"bestmöglich" hätte man eigentlich in der Aufgabe auch weglassen können. Ist sowieso nicht definiert worden was das sein soll. ![[grins]](/images/smileys/grins.gif "[grins]")
viele Grüße
mathemaduenn
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Hallo Karl,
Bei der 3. kannst ja mal mit Cauchy-Schwarz-Ungleichung versuchen.
viele Grüße
mathemaduenn
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Hallo mathemaduenn! So, jetzt die Drei.
Zitat aus WikiPedia:
Die Ungleichung sagt aus: Wenn $x$ und $y$ Elemente eines reellen oder komplexen Vektorraums mit innerem Produkt sind, dann gilt für das Skalarprodukt bzw. innere Produkt die Beziehung:
[mm] $\left|\left\right|^2 \leqslant \left\left$
[/mm]
Ok, da steht noch der Spezialfall für euklidische Räume mit dem man jetzt arbeiten kann. Das Problem ist nun den y-Vektor richtig zu wählen. Ich habe wieder $y := [mm] \left(1,\dotsc,1\right)^T \in \mathbb{R}^n$ [/mm] gewählt; müßte hier aber auch passen:
[mm] $\left(\sum_{i=1}^{n}{\left|x_i\right|\left|y_i\right|}\right)^2 \leqslant \left(\sum_{i=1}^{n}{\left|x_i\right|^2}\right)\left(\sum_{i=1}^{n}{\left|y_i\right|^2}\right)$
[/mm]
[mm] $\Rightarrow \left(\sum_{i=1}^{n}{\left|x_i\right|}\right)^2 \leqslant n\sum_{i=1}^{n}{\left|x_i\right|^2}$
[/mm]
Quadrieren wir also die uns vorgegebene Ungleichung:
[mm] $\sum_{i=1}^{n}{\left|x_i\right|} \leqslant C_{1,2}\sqrt{\sum_{i=1}^{n}{\left|x_i\right|^2}}$
[/mm]
[mm] $\Rightarrow \left(\sum_{i=1}^{n}{\left|x_i\right|}\right)^2 \leqslant C_{1,2}^2\sum_{i=1}^{n}{\left|x_i\right|^2}$
[/mm]
So muß [mm] $C_{1,2}^2 [/mm] = n [mm] \Rightarrow C_{1,2} [/mm] = [mm] \sqrt{n}$ [/mm] gelten, weil sonst C.B.S. nicht gelten würde. Vermutlich ist man hier deshalb sogar schon fertig, weil die Ungleichung wegen der Gültigkeit von C.B.S. einfach scharf sein muß. Na gut, setzen wir mal trotzdem wieder $x := [mm] \left(1,\dotsc,1\right)^T \in \mathbb{R}^n$:
[/mm]
$n = [mm] C_{1,2}\sqrt{n} [/mm] = [mm] \sqrt{n}\cdot{\sqrt{n}} [/mm] = n$.
Ich nehme an, es stimmt?
Danke mathemaduenn!
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Hallo Karl,
2 Bemerkungen bleiben noch im großen Ganzen stimmts
> So muß [mm]C_{1,2}^2 = n \Rightarrow C_{1,2} = \sqrt{n}[/mm] gelten,
> weil sonst C.B.S. nicht gelten würde.
Cauchy Schwarz ist ja erstmal eine Ungleichung. Die Gleichheit gilt erst wenn Du das passende x gefunden hast. Hast Du ja. Aber es dürfte als Schluß eben erst danach stehen.
> Vermutlich ist man
> hier deshalb sogar schon fertig, weil die Ungleichung wegen
> der Gültigkeit von C.B.S. einfach scharf sein muß.
Dieser Schluß stimmt so nicht. Wer sagt Dir denn das es für Dein gewähltes y auch ein passendes x gibt so das Gleichheit gilt.
viele Grüße
mathemaduenn
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 21:26 Di 15.11.2005 | | Autor: | Karl_Pech |
Hallo mathemaduenn!
Danke für den Hinweis! Letztlich müßte dort wohl folgendes stehen:
So muß [mm]C_{1,2}^2 \leqslant n \Rightarrow C_{1,2} \leqslant \sqrt{n}[/mm] gelten, weil sonst C.B.S. nicht gelten würde.
> > Vermutlich ist man
> > hier deshalb sogar schon fertig, weil die Ungleichung wegen
> > der Gültigkeit von C.B.S. einfach scharf sein muß.
Und diesen Satz nehmen wir einfach raus. Da war mein Geist schneller als mein Verstand.
Vielen Dank für die Hilfe!
Viele Grüße
Karl
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Hallo allerseits!
Ich versuche gerade ein [mm]\alpha \in \mathbb{R}_{>0}[/mm] zu finden, so daß [mm]\alpha\left|\left|x\right|\right|_{\infty} \le \left|\left|x\right|\right|_p[/mm] eine so exakte Abschätzung wie möglich ist.
Leider ist mir das bisher nur für [mm]p = 1[/mm] gelungen. Sei dazu [mm]\left\{e^{(i)}\right\}[/mm] eine kanonische Basis von [mm]\mathbb{R}^n[/mm]. Dann gilt für alle [mm]x \in \mathbb{R}^n[/mm]:
[mm]\left|\left|x\right|\right|_{\infty} = \left|\left|\sum_{i=1}^n{x_ie^{(i)}}\right|\right|_{\infty} \leqslant \sum_{i=1}^n{\left|x_i\right|\left|\left|e^{(i)}\right|\right|_{\infty}} = \sum_{i=1}^n{\left|x_i\right|} = \left|\left|x\right|\right|_1[/mm]
mit [mm]\alpha := 1[/mm]. Das wäre doch die beste Abschätzung, oder?
Wenn ja, wie mache ich das dann für [mm]p > 1[/mm]?
Viele Grüße
Karl
EDIT (0): Der ![[]](/images/popup.gif) Link existiert jetzt.
EDIT: Habe die Frage jetzt auch im Usenet gestellt. Der Link wird -- sobald er existiert -- nachgeliefert.
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| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 23:13 Di 28.02.2006 | | Autor: | SEcki |
> Wenn ja, wie mache ich das dann für [mm]p > 1[/mm]?
Es gilt immer [m]|x_{\max}|^p\le \sum_i |x_i|^p[/m]. Wann gilt Gleichheit? (Und das war die ganze Aufgabe schon.)
SEcki
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 09:28 Mi 01.03.2006 | | Autor: | Karl_Pech |
Hallo SEcki,
> > Wenn ja, wie mache ich das dann für [mm]p > 1[/mm]?
>
> Es gilt immer [m]|x_{\max}|^p\le \sum_i |x_i|^p[/m]. Wann gilt
> Gleichheit? (Und das war die ganze Aufgabe schon.)
Danke für den Tip. Ich werde ihn mir erstmal durcharbeiten; Und dann habe ich das Norm-Äquivalenz-Thema hoffentlich ganz durch. ![[breakdance]](/images/smileys/breakdance.gif "[breakdance]")
Viele Grüße
Karl
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 11:39 Mi 01.03.2006 | | Autor: | SEcki |
> [mm]\left|\left|x\right|\right|_{\infty} \leqslant \left|\left|x\right|\right|_1 \leqslant C_{1,\infty}\left|\left|x\right|\right|_{\infty}[/mm]
> [mm]\left|\left|x\right|\right|_{\infty} \leqslant \left|\left|x\right|\right|_2 \leqslant C_{2,\infty}\left|\left|x\right|\right|_{\infty}[/mm]
> 3.)
> [mm]\left|\left|x\right|\right|_2 \leqslant \left|\left|x\right|\right|_1 \leqslant C_{1,2}\left|\left|x\right|\right|_2[/mm]
Also die CSU muss man hier gar nicht mal bemühen: Es gilt ja [m]\left|x\right|\right|_1 \leqslant C_{1,2}\left|\left|x\right|\right|_2 \leqslant C_{1,2}C_{2,\infty}\left|\left|x\right|\right|_{\infty}[/m], also [m]C_{1,2}C_{2,\infty}\ge C_{1,\infty}[/m]. Jetzt reicht es ja ein beispiel für Gleichheit zu geben. Vielleicht könnte man mit den Gleichungen weiterrumspielen, und sogar die Gleichhiet aus den Ungleichungen in 1.) und 2.) folgern - hab ich jetzt aber keine Lust.
SEcki
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![[gutenacht]](/images/smileys/gutenacht.gif "[gutenacht]"){kind=small}
![[hot]](/images/smileys/hot.gif "[hot]"){kind=small}
