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Hallo Zusammen,
| Aufgabe |
[mm]a \in \mathbb{R}^2[/mm] soll auf ein Vielfaches der ersten Einheitsvektors [mm]e_1[/mm] abgebildet werden. Folgendes ist zu zeigen:
[mm]a\mapsto\left\|a\right\|_2e_1=Qa\texttt{ mit }Q:=\begin{pmatrix}\cos\theta&\sin\theta\\
-\sin\theta&\cos\theta\end{pmatrix}[/mm]
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Hätte ich das gezeigt, wenn ich vom linken Term der Gleichung und vom rechten Term jeweils die [mm]\left\|*\right\|_2\texttt{-Norm}[/mm] bilden würde und das Gleiche auf beiden Seiten der Gleichung rauskämme?
Vielen Dank!
Viele Grüße
Karl
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| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 13:51 So 07.11.2004 | | Autor: | Stefan |
Hallo Karl!
Um die Gleichheit
$Qa = [mm] \Vert [/mm] a [mm] \Vert_2 \cdot e_1$
[/mm]
zu zeigen, genügt es nicht die Gleichheit
[mm] $\Vert [/mm] Qa [mm] \Vert_2 [/mm] = [mm] \Vert\, \Vert [/mm] a [mm] \Vert_2 \cdot e_1 \Vert_2$
[/mm]
zu zeigen, nein.
Aus der letzten Gleichheit folgt ja nur, dass die beiden Vektoren $Qa$ und [mm] $\Vert [/mm] a [mm] \Vert_2 \cdot e_1$ [/mm] den gleichen Abstand zur $0$ haben, also durch eine Drehung um den Nullpunkt auseinander hervorgehen, mehr nicht.
Oder habe ich deine (etwas unklare) Frage falsch verstanden? Dann beschreibe dein Problem bitte noch einmal genauer.
Liebe Grüße
Stefan
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Hallo Stefan,
> Um die Gleichheit
>
> [mm]Qa = \Vert a \Vert_2 \cdot e_1[/mm]
>
> zu zeigen, genügt es nicht die Gleichheit
>
> [mm]\Vert Qa \Vert_2 = \Vert\, \Vert a \Vert_2 \cdot e_1 \Vert_2[/mm]
>
>
> zu zeigen, nein.
> Aus der letzten Gleichheit folgt ja nur, dass die beiden
> Vektoren [mm]Qa[/mm] und [mm]\Vert a \Vert_2 \cdot e_1[/mm] den gleichen
> Abstand zur [mm]0[/mm] haben, also durch eine Drehung um den
> Nullpunkt auseinander hervorgehen, mehr nicht.
>
> Oder habe ich deine (etwas unklare) Frage falsch
> verstanden? Dann beschreibe dein Problem bitte noch einmal
> genauer.
Ich hoffe natürlich, daß ich die Aufgabe richtig verstanden habe. Hier ist nochmal die komplette Aufgabenstellung:
| Aufgabe | Wir wollen durch Rotation den Vektor [mm]a\in\mathbb{R}^2[/mm] auf ein Vielfaches des ersten Einheitsvektors [mm]e_1[/mm] abbilden. Zeige, es gilt:
[mm]a\mapsto\left\|a\right\|_2e_1 = Qa\texttt{ mit }Q:=\begin{pmatrix}\cos\theta&\sin\theta\\-\sin\theta&\cos\theta\end{pmatrix},[/mm]
wobei [mm]\theta[/mm] der Winkel zwischen [mm]e_1[/mm] und [mm]a\![/mm] ist. |
Ich dachte, ich zeige [mm]\left|\left|\left|\left|a\right|\right|_2e_1\right|\right|_2 = \left|\left|Qa\right|\right|_2[/mm] und bin dann irgendwie fertig. Und das war meine Rechnung:
[mm]\begin{pmatrix}\cos\theta&\sin\theta\\-\sin\theta&\cos\theta\end{pmatrix}\begin{pmatrix}a_1\\a_2\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}\cos(\theta)a_1 + \sin(\theta)a_2\\\cos(\theta)a_2-\sin(\theta)a_1\end{pmatrix}=:w[/mm]
[mm]\left|\left|w\right|\right|_2 = \sqrt{\left(\cos(\theta)a_1 + \sin(\theta)a_2\right)^2+\left(\cos(\theta)a_2-\sin(\theta)a_1\right)^2}[/mm]
[mm]=\sqrt{\cos^2(\theta)a_1^2 + 2\cos(\theta)a_1\sin(\theta)a_2 + \sin^2(\theta)a_2^2 + \cos^2(\theta)a_2^2 - 2\cos(\theta)a_2\sin(\theta)a_1 + \sin^2(\theta)a_1^2}[/mm]
[mm]=\sqrt{\cos^2(\theta)a_1^2 + \sin^2(\theta)a_2^2 + \cos^2(\theta)a_2^2 + \sin^2(\theta)a_1^2}[/mm]
[mm]=\sqrt{\left(\cos^2\theta + \sin^2\theta\right)a_1^2+\left(\sin^2\theta + \cos^2\theta\right)a_2^2}[/mm]
[mm]=\sqrt{\underbrace{\left(\sin^2\theta + \cos^2\theta\right)}_{=1}\left(a_1^2+a_2^2\right)}=\left|\left|a\right|\right|_2[/mm]
und
[mm]\left|\left|\left|\left|a\right|\right|_2e_1\right|\right|_2 = \left|\left|\begin{pmatrix}\sqrt{a_1^2+a_2^2}\\0\end{pmatrix}\right|\right|_2=\left|\left|a\right|\right|_2[/mm]
Wenn das falsch ist, habe ich im Moment keinen Ansatz für diese Aufgabe.
Viele Grüße
Karl
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 11:42 Di 09.11.2004 | | Autor: | Stefan |
Lieber Karl!
Mach dir mal eine Skizze. Dann siehst du, dass
[mm] $\cos(\theta) [/mm] = [mm] \frac{a_1}{\vert a\vert}$
[/mm]
und
[mm] $\sin(\theta) [/mm] = [mm] \frac{a_2}{\vert a \vert}$
[/mm]
gilt.
Nun haben wir:
$Qa$
[mm] $=\begin{pmatrix} \cos(\theta) & \sin(\theta) \\ -\sin(\theta) & \cos(\theta) \end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix} a_1 \\ a_2 \end{pmatrix}$
[/mm]
$= [mm] \begin{pmatrix} \cos(\theta) a_1 + \sin(\theta) a_2 \\ -\sin(\theta) a_1 + \cos(\theta) a_2 \end{pmatrix}$
[/mm]
$= [mm] \begin{pmatrix} \frac{a_1}{\vert a\vert} \cdot a_1 + \frac{a_2}{\vert a \vert} \cdot a_2 \\ -\frac{a_2}{\vert a \vert} \cdot a_1 + \frac{a_1}{\vert a \vert} \cdot a_2 \end{pmatrix}$
[/mm]
$= [mm] \begin{pmatrix} \frac{a_1^2 + a_2^2}{\vert a \vert} \\ 0 \end{pmatrix}$
[/mm]
$= [mm] \begin{pmatrix} \frac{\vert a \vert^2}{\vert a \vert} \\ 0 \end{pmatrix}$
[/mm]
$= [mm] \begin{pmatrix} \vert a \vert \\ 0 \end{pmatrix}$
[/mm]
$= [mm] \vert [/mm] a [mm] \vert \cdot e_1$,
[/mm]
was zu zeigen war.
Liebe Grüße
Stefan
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