Äquivalenz zweier Aussagen < Sonstiges < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 12:46 So 04.01.2015 | | Autor: | Sykora |
| Aufgabe | Sei [mm] \IK [/mm] = [mm] \IR [/mm] oder [mm] \IC, [/mm] M [mm] \subset \IK [/mm] und X [mm] \subset [/mm] M. Zeigen Sie, dass die folgenden beiden Aussagen äquivalent zueinander sind.
a) X ist ageschlossen in M.
b) Ist a ein Häufungspunkt von X, der in M liegt, so ist a [mm] \in [/mm] X. |
Hallo,
ich würde gerne wissen, wie man den Beweis dazu zeigt, dass beide Aussagen äquivalent sind. Erklärungen müssen nicht dabei sein, würde mich sehr über einen reinen Beweis freuen.
MfG.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 13:16 So 04.01.2015 | | Autor: | DieAcht |
Hallo Sykora!
> Sei [mm]\IK[/mm] = [mm]\IR[/mm] oder [mm]\IC,[/mm] M [mm]\subset \IK[/mm] und X [mm]\subset[/mm] M.
> Zeigen Sie, dass die folgenden beiden Aussagen äquivalent
> zueinander sind.
>
> a) X ist ageschlossen in M.
Du meinst hier abgeschlossen.
> b) Ist a ein Häufungspunkt von X, der in M liegt, so ist
> a [mm]\in[/mm] X.
>
> Hallo,
>
> ich würde gerne wissen, wie man den Beweis dazu zeigt,
> dass beide Aussagen äquivalent sind.
Zeige, dass aus a) folgt b) und aus b) folgt a).
> Erklärungen müssen
> nicht dabei sein, würde mich sehr über einen reinen
> Beweis freuen.
Das machen wir hier nicht. Probiere es selbst aus. Schreibe dir
zunächst die Definition von Abgeschlossenheit auf. Dann dazu die
Definition von einem Häufungspunkt. Dann siehe oben.
Gruß
DieAcht
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 14:04 So 04.01.2015 | | Autor: | Sykora |
Hier habe ich die 2 Definitionen:
Abgeschlossenheit:
Wenn wir zwei Elemente einer Gruppe verknüpfen, erhalten wir wieder ein Element der Gruppe.
Häufungspunkt:
Eine Zahl a ist Häufungspunkt einer Folge wenn für unendlich viele gilt:
[mm] \forall \varepsilon [/mm] > 0 [mm] \forall [/mm] m [mm] \in \IN \exists [/mm] n [mm] \ge [/mm] m : | [mm] a_{n} [/mm] - x | < [mm] \varepsilon
[/mm]
Wie komme ich damit nun weiter?
Ich habe leider garkeinen Ansatz, was ich nun tun könnte.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 14:46 So 04.01.2015 | | Autor: | hippias |
Da du nicht bemerkt hast, dass die von Dir gegebene Definition der Abgeschlossenheit ueberhaupt zu dem Teilgebiet der Mathematik passt, das der Deiner Aufgabenstellung zugrunde liegt, waere mein Rat, dass Du Dich zuerst intensiv mit Deiner Analysis Vorlesung auseinandersetzt. Auch geht es hier ja nicht um den Haeufungspunkt einer Folge, sondern um den einer Menge.
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(Antwort) fertig | | Datum: | 08:27 Mo 05.01.2015 | | Autor: | Ladon |
Hallo Sykora,
hier ein paar Grundbegriffe der Topologie, die in der Analysis mit der Standardtopologie für metrische Räume gelten, d.h. [mm] V\subseteq\IR^n [/mm] offen [mm] \Leftrightarrow $\forall x\in V\exists \epsilon>0:U_\epsilon(x):=\{y\in\IR^n|d(x,y)<\epsilon\}\subseteq [/mm] V.$ Unten stehende Defionitionen gelten nicht nur für den [mm] \IR^n, [/mm] sondern auch für jeden metrischen Raum.
Sei nun [mm] A\subseteq \IR^n:
[/mm]
Abschluss:
Der Abschluss von A ist definiert durch [mm] $\overline{A}=A\cup \partial [/mm] A$.
Rand von A
Der Rand von A, in Zeichen [mm] $\partial [/mm] A$, ist die Menge aller Randpunkte.
Randpunkt:
Ein Randpunkt ist weder innerer noch äußerer Punkt, d.h. jedes [mm] U_\epsilon(x) [/mm] enthält sowohl Punkte aus A, als auch aus [mm] $\IR^n\setminus [/mm] A$.
innerer Punkt von A:
[mm] $x\in \IR^n$ [/mm] heißt innerer Punkt [mm] \Leftrightarrow $\exists \epsilon>0: U_\epsilon(x)\subseteq [/mm] A$.
äußerer Punkt von A:
[mm] $x\in \IR^n$ [/mm] heißt äußerer Punkt [mm] \Leftrightarrow $\exists \epsilon>0: U_\epsilon(x)\subseteq \IR^n\setminus [/mm] A$.
Häufungspunkt:
x heißt Häufungspunkt von A [mm] \Leftrightarrow $\forall \epsilon>0: U_\epsilon(x)\mbox{ enthält außer evtl. x noch mindestens einen Punkt aus A. }$
[/mm]
A abgeschlossen:
A heißt abgeschlossen [mm] \Leftrightarrow $\overline{A}=A$.
[/mm]
Alternativ: A abgeschlossen [mm] \Leftrightarrow $\IR^n\setminus [/mm] A$ offen.
Das, was ich hier geschrieben habe, wäre eigentlich deine Aufgabe gewesen zusammenzutragen, aber ich bin heute in Schreiblaune 
Zur bildlichen Veranschaulichung: ![[]](/images/popup.gif) siehe Wikipedia (Bild)
Male mal gedanklich einen äußeren Punkt mit passender [mm] \epsilon- [/mm] Umgebung oder einen Randpunkt hinein.
Mit Hilfe der Definitionen sollte es ein leichtes sein Hin-/Rückrichtung zu zeigen.
MfG
Ladon
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![[]](http://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/7/79/Neighborhood_illust1.svg){kind=small}
siehe Wikipedia (Bild)