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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 20:01 Fr 19.11.2004 | | Autor: | Stephie |
Hallöchen!!!
Brauche Hilfe bei der folgenden Aufgabe. Mein größtes Problem ist in diesem Fall, dass ich gar nicht wirklich weiß was genau gemeint ist.
Sei M = [mm] \IR [/mm] x [mm] \IR [/mm] = [mm] \{ x = (x1,x_{2}) | x1, x_{2} \varepsilon \IR \}
[/mm]
a: Man verifiziere, dass durch x [mm] \sim [/mm] y : [mm] \gdw [/mm] x1 - y1 = [mm] x_{2} [/mm] - y2
eine Äquivalenzrelation auf M definiert wird.
b: Interpretieren sie die Äquivalenzklassen geometrisch
c: Interpretieren sie die Äquivalenzklassen algebraisch ( als Klassen einer Quotiengruppe)
Wäre super wenn mir jemand helfen könnte, denn ich weiß nicht im Geringsten wie ich anfangen soll!!!
Danke, Stephie
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 21:25 Fr 19.11.2004 | | Autor: | Stefan |
Liebe Stephie!
Also, jetzt mal der Reihe nach. 
> Sei M = [mm]\IR[/mm] x [mm]\IR[/mm] = [mm]\{ x = (x1,x_{2}) | x1, x_{2} \varepsilon \IR \}
[/mm]
Gut, das sieht doch schon mal einfach aus. Einfach die euklidische Ebene. Kein Grund zur Besorgnis! 
> a: Man verifiziere, dass durch x [mm]\sim[/mm] y : [mm]\gdw[/mm] x1 - y1 =
> [mm]x_{2}[/mm] - y2
> eine Äquivalenzrelation auf M definiert wird.
Naja, hier müssen wir halt ein paar Dinge nachprüfen, die bei genauerem Hinsehen sämtlichst trivial sind. Du lässt dich nur von den Begriffen verunsichern. Warum?
Also erst einmal müssen wir nachweisen, dass die Relation relexiv ist, also $x [mm] \sim [/mm] x$ für alle $x [mm] \in [/mm] M$.
Aber nun ja: Es gilt
[mm] $x_1 [/mm] - [mm] x_1 [/mm] = 0 = [mm] x_2 [/mm] - [mm] x_2$. [/mm]
Ist die Relation symmetrisch?
Gilt $x [mm] \sim [/mm] y$, also
[mm] $x_1 [/mm] - [mm] y_1 [/mm] = [mm] x_2 [/mm] - [mm] y_2$,
[/mm]
so folgt nach Multiplikation mit $(-1)$:
[mm] $y_1 [/mm] - [mm] x_1 [/mm] = [mm] y_2 [/mm] - [mm] x_2$,
[/mm]
also: $y [mm] \sim [/mm] x$.
Nun zur Transitivität:
Gilt $x [mm] \sim [/mm] y$ und $y [mm] \sim [/mm] z$, also
[mm] $x_1 [/mm] - [mm] y_1 [/mm] = [mm] x_2 [/mm] - [mm] y_2$ [/mm] und [mm] $y_1 [/mm] - [mm] z_1 [/mm] = [mm] y_2 [/mm] - [mm] z_2$,
[/mm]
so folgt durch Addition der beiden Gleichungen
[mm] $x_1 [/mm] - [mm] z_1 [/mm] = [mm] x_2 [/mm] - [mm] z_2$,,
[/mm]
also: $x [mm] \sim [/mm] z$.
> b: Interpretieren sie die Äquivalenzklassen geometrisch
Nun ja, zwei Punkte sind äquivalent, wenn die Differenz der $x$-Werte gleich der Different der $y$-Werte ist. Das bedeutet, dass die auf einer Geraden liegen, die parallel zur Winkelhalbierenden liegt.
> c: Interpretieren sie die Äquivalenzklassen algebraisch (
> als Klassen einer Quotiengruppe)
Das machen wir morgen oder so.
Ich muss jetzt weg.
Liebe Grüße
Stefan
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 08:57 Mi 24.11.2004 | | Autor: | Stephie |
Guten morgen Stefan!!!
Vielen lieben Dank für deine Antwort. Aufgabe a war ja wirklich nicht so schwer, frage mich nur noch ein wenig ob damit auch schon die Refelxivität bewiesen ist???
Was du zu Aufgabe b geschrieben hast ist natürlich nachvollziehbar, aber ist damit die Frage beantwortet?Mein Problem ist nämlich häufiger das Verständnis der Frage, als die Beantwortung.
Entsprechend geht es mir mit Aufgabe c. Wäre lieb wenn du mir da nochmal auf die Sprünge hilfst.
Kann vorallem nix mit: als Klassen einer Quotientengruppe anfangen!!!
Schon mal Danke,
Gruß Stephie!!!
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(Antwort) fertig | | Datum: | 10:12 Do 25.11.2004 | | Autor: | Stefan |
Liebe Stephie!
> Vielen lieben Dank für deine Antwort. Aufgabe a war ja
> wirklich nicht so schwer, frage mich nur noch ein wenig ob
> damit auch schon die Refelxivität bewiesen ist???
Ja, am Anfang. Ich hatte mich nur verschrieben und aus Versehen statt "reflexiv" das Wort "symmetrisch" hingeschrieben.
> Was du zu Aufgabe b geschrieben hast ist natürlich
> nachvollziehbar, aber ist damit die Frage beantwortet?Mein
> Problem ist nämlich häufiger das Verständnis der Frage, als
> die Beantwortung.
Ich denke schon, es ging ja nur um eine geometrische Interpretation.
zu c):
Es gilt:
[mm] $\begin{pmatrix} x_1 \\ x_2 \end{pmatrix} \sim \begin{pmatrix} y_1 \\ y_2\end{pmatrix} \quad \Leftrightarrow \quad \begin{pmatrix} x_1 \\ x_2 \end{pmatrix} [/mm] - [mm] \begin{pmatrix} y_1 \\ y_2 \end{pmatrix} [/mm] = [mm] c\cdot \begin{pmatrix} 1 \\ 1 \end{pmatrix}$
[/mm]
für ein $c [mm] \in \IR$.
[/mm]
Daher ist:
[mm] $\IR^2/\sim \cong \IR^2/\langle \begin{pmatrix} 1 \\ 1 \end{pmatrix} \rangle$,
[/mm]
also die Quotientengruppe von [mm] $\IR^2$ [/mm] nach dem Normalteiler [mm] $\langle \begin{pmatrix} 1 \\ 1 \end{pmatrix} \rangle$.
[/mm]
Liebe Grüße
Stefan
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