Äquivalenzpfeile bei Induktion < Induktion < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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| Aufgabe | Beweise durch vollständige Induktion:
[mm] \summe_{i=1}^{n} log(1+\bruch{1}{i}) [/mm] = log(n+1) |
Hallo zusammen,
ich hatte diese Aufgabe in ner Klausur und habe die wie folgt gelöst:
IA: n=1
[mm] \summe_{i=1}^{1} log(1+\bruch{1}{1}) [/mm] = log(1+1)
[mm] \gdw [/mm] log(2)=log(2)
IV: Es gelte n [mm] \in \IN, [/mm] n beliebig, fest:
[mm] \summe_{i=1}^{n} log(1+\bruch{1}{i}) [/mm] = log(n+1)
IS: n -> n+1
[mm] \summe_{i=1}^{n+1} log(1+\bruch{1}{i}) [/mm] = log(n+1+1)
[mm] \gdw \summe_{i=1}^{n} log(1+\bruch{1}{i}) [/mm] + [mm] log(1+\bruch{1}{n+1}) [/mm] = log(n+1+1)
IV einsetzen
[mm] \gdw [/mm] log(n+1) + [mm] log(1+\bruch{1}{n+1}) [/mm] = log(n+1+1)
Logarithmusgesetze
[mm] \gdw [/mm] log(n+1+1) = log(n+1+1)
q.e.d.
Jetzt hat mein Prof gameint, das sei kompletter Mist mit den Äquivalenzpfeilen und ich soll auch nicht das Endergebnis da auf die rechte Seite schreiben und sowieso und überhaupt.
Kann mir jemand von euch erklären, warum das falsch ist und wie ich das richtig machen kann?
viele Grüße,
die Gitarre
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Hallo,
hatte am Anfang des Studiums ähnliche Probleme
> IS: n -> n+1
>
> [mm]\summe_{i=1}^{n+1} log(1+\bruch{1}{i})[/mm] = log(n+1+1)
Diese Gleichheit ist zu zeigen! Was du hier aber getan hast, ist dass du diese Gleichheit schon voraussetzt und daraus dann etwas Wahres folgerst und das ist eben formal falsch...
Ich würde es so machen:
[mm] \summe_{i=1}^{n+1} log(1+\bruch{1}{i}) [/mm] = [mm] \summe_{i=1}^{n}log(1+\bruch{1}{i}) [/mm] + log(1+ [mm] \bruch{1}{n+1}) [/mm] = (nach IV) log(n+1) + log(1+ [mm] \bruch{1}{n+1}) [/mm] = log((n+1)(1+ [mm] \bruch{1}{n+1})) [/mm] = [mm] log(n+1+\bruch{n+1}{n+1}) [/mm] = log(n+1+1) = log(n+2). [mm] \Box
[/mm]
Viele Grüße
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 17:12 Sa 02.05.2015 | | Autor: | tobit09 |
Hi ms2008de!
> Diese Gleichheit ist zu zeigen! Was du hier aber getan
> hast, ist dass du diese Gleichheit schon voraussetzt und
> daraus dann etwas Wahres folgerst und das ist eben formal
> falsch...
Der/Die Fragensteller(in) folgert nicht einfach nur etwas Wahres aus der Behauptung (was nicht die Behauptung beweisen würde), sondern zeigt die Äquivalenz der Behauptung zu etwas Wahrem (was durchaus die Behauptung impliziert).
Natürlich kann man den Stil und die vorliegende Notation dieser Vorgehensweise sehr unschön finden.
Grundsätzlich falsch ist die Vorgehensweise nicht.
Viele Grüße
Tobias
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| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 17:03 Sa 02.05.2015 | | Autor: | tobit09 |
Hallo la_guitarra!
> Beweise durch vollständige Induktion:
> [mm]\summe_{i=1}^{n} log(1+\bruch{1}{i})[/mm] = log(n+1)
(Steht in der Aufgabenstellung nichts darüber, was n sein soll?
Ist $n>0$ vorausgesetzt?)
> Ich hatte diese Aufgabe in ner Klausur und habe die wie
> folgt gelöst:
> IA: n=1
> [mm]\summe_{i=1}^{1} log(1+\bruch{1}{1})[/mm] = log(1+1)
> [mm]\gdw[/mm] log(2)=log(2)
Hier hätte dein Prof. wohl gerne gesehen:
"Es gilt
[mm] $\summe_{i=1}^{1} log(1+\bruch{1}{\red{i}})=\log(1+\frac{1}{1})=\log(2)=\log(1+1)$."
[/mm]
> IV: Es gelte
für ein
> n [mm]\in \IN,[/mm] n beliebig, fest:
> [mm]\summe_{i=1}^{n} log(1+\bruch{1}{i})[/mm] = log(n+1)
>
> IS: n -> n+1
>
> [mm]\summe_{i=1}^{n+1} log(1+\bruch{1}{i})[/mm] = log(n+1+1)
> [mm]\gdw \summe_{i=1}^{n} log(1+\bruch{1}{i})[/mm] +
> [mm]log(1+\bruch{1}{n+1})[/mm] = log(n+1+1)
> IV einsetzen
> [mm]\gdw[/mm] log(n+1) + [mm]log(1+\bruch{1}{n+1})[/mm] = log(n+1+1)
> Logarithmusgesetze
> [mm]\gdw[/mm] log(n+1+1) = log(n+1+1)
>
> q.e.d.
Ich hätte gerne eine nähere Rechnung gesehen, dass $log(n+1) + [mm] log(1+\bruch{1}{n+1})=\log(n+1+1)$ [/mm] gilt.
Dein Prof. hätte wohl gerne folgende Rechnung gesehen:
[mm] $\summe_{i=1}^{n+1} log(1+\bruch{1}{i})$
[/mm]
[mm] $=\summe_{i=1}^{n} log(1+\bruch{1}{i})+log(1+\bruch{1}{n+1})$
[/mm]
$= log(n+1) + [mm] log(1+\bruch{1}{n+1})$ [/mm] (Induktionsvorraussetzung)
$= [mm] log(n+1)+\log(\bruch{(n+1)+1}{n+1})$
[/mm]
[mm] $=\log((n+1)*\bruch{(n+1)+1}{n+1})$
[/mm]
[mm] $=\log [/mm] ((n+1)+1)$
> Jetzt hat mein Prof gameint, das sei kompletter Mist mit
> den Äquivalenzpfeilen und ich soll auch nicht das
> Endergebnis da auf die rechte Seite schreiben und sowieso
> und überhaupt.
>
> Kann mir jemand von euch erklären, warum das falsch ist
> und wie ich das richtig machen kann?
Wie du es deinem Professor Recht machen kannst, habe ich ja oben geschrieben:
Du bist jeweils mit der zu zeigenden Aussage gestartet (ohne diese explizit als solche zu kennzeichnen) und hast sie per Äquivalenzumformungen auf eine erkennbar wahre Aussage umgeformt.
Üblicherweise führt man Beweise eher umgekehrt: Man argumentiert mit erkennbar wahren Aussagen, aus denen am Ende die zu zeigende Aussage folgt.
In diesem Beispiel bieten sich dazu Gleichungsketten an.
Ich halte deinen Beweis daher für unkonventionell und nicht ganz schön notiert, aber nicht für falsch.
Angemessen fände ich (aber von meiner Meinung kannst du dir leider wenig kaufen...) daher maximal einen kleinen Punktabzug für deine Notation.
Ich hätte einen weiteren Punkt dafür abgezogen, dass du den "Logarithmengesetze-Schritt" nicht genau genug ausgeführt hast, so dass es ein wenig so wirkt, als hättest du ihn einfach behauptet, weil du ihn benötigst.
Viele Grüße
Tobias
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Hallo ihr beiden,
ich kriege es nicht hin, eure Beiträge zu zitieren und drauf zu antworten (wie geht das? Wie setzt man den Thread auf "beantwortet"?),
also auf diesem Wege:
-Ich kann also einfach Gleicheitszeichen schreiben und dann eben keine Gleichung dort hinsetzen?
Ich denke, dass das mein Prof gemeint hat, wobei ich eigentlich auch der Ansicht war, dass meine Version okay sein sollte, da ich ja denn eben Äquivalenzumformungen mache, aber naja. Immerhin weiß ich jetzt, wie es "richtig" geht.
Muss dann halt aupassen, wie der jeweilige Prof dazu steht.
Beim Anfang habe ich mich da tatsächlich mit dem i und der 1 vertan, sorry dafür.
Generell bereitet es mir eher Probleme, formal korrekt und vor allem _genau_ zu notieren, als das Mathezeugs zu verstehen.
Hilft aber wohl nur Übung :/
Nochmals danke euch,
die Gitarre
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 16:30 So 03.05.2015 | | Autor: | tobit09 |
> ich kriege es nicht hin, eure Beiträge zu zitieren und
> drauf zu antworten (wie geht das? Wie setzt man den Thread
> auf "beantwortet"?),
Wähle zunächst den Beitrag aus, auf den du antworten möchtest.
Wenn unter dem Beitrag noch nicht die Optionen zum Reagieren erscheinen, klicke auf "reagieren" oder auf "Einzelner Artikel".
Dann kannst du auswählen, ob du eine Frage oder eine Mitteilung senden möchtest.
Fragen auf "beantwortet" setzen können die jeweiligen Antwortgeber sowie die Moderatoren.
In diesem Fall habe ich deine Frage zunächst zu einer "Umfrage" gemacht, so dass sie trotz vorhandener Antworten noch in der Liste der offenen Fragen auftauchte, damit du noch mehr Einschätzungen lesen konntest.
Nach deiner Mitteilung habe ich die Umfrage als beendet markiert (das können im Falle von Umfragen nur Moderatoren).
> also auf diesem Wege:
> -Ich kann also einfach Gleicheitszeichen schreiben
Ja, solange die einzelnen Gleichheiten hinreichend klar als wahr erkennbar sind.
> und
> dann eben keine Gleichung dort hinsetzen?
Diesen Gedanken verstehe ich leider nicht richtig:
Der "übliche" Weg arbeitet ja gerade mit klar als wahr erkennbaren Gleichheits-Aussagen.
> Ich denke, dass das mein Prof gemeint hat, wobei ich
> eigentlich auch der Ansicht war, dass meine Version okay
> sein sollte, da ich ja denn eben Äquivalenzumformungen
> mache, aber naja. Immerhin weiß ich jetzt, wie es
> "richtig" geht.
> Muss dann halt aupassen, wie der jeweilige Prof dazu
> steht.
Leider stimmt das ein Stück weit.
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 00:30 So 03.05.2015 | | Autor: | Marcel |
Hallo,
zur Notation: Ich würde bei der zu beweisenden Gleichheit ein
[mm] $\stackrel{!}{=}$
[/mm]
(lies: soll gleich sein ) setzen, dann wird das alles viel klarer.
Generell ist die Vorgehensweise mit Äquivalenzpfeilen alles andere als
Schwachsinn, sonst hätte ich sie nicht selbst etwa hier:
https://matheraum.de/read?i=1057339
vorgeschlagen.
Lies meinetwegen auch mal das hier:
https://matheraum.de/forum/Artikel_ueber_Folgerungsrichtg./t963011
wenn es Dir nicht zu viel ist.
Was halt wichtig ist: Wenn eine Aussage C zu beweisen ist, und du formst
um
(*) $C [mm] \iff [/mm] B [mm] \iff [/mm] A$,
so bist Du noch nicht fertig. Wenn Du aber begründen kannst, dass A gilt,
dann schon, denn aus der Wahrheit von A und durch Verfolgen der Pfeilrichtungen
[mm] $\Longleftarrow$ [/mm] in (*) folgt dann die Wahrheit von C.
Manchmal geht man auch so vor: Zu zeigen ist eine Aussage D. Es gilt
$D [mm] \iff C\,.$
[/mm]
Für C ist es nun hinreichend, eine andere, nicht ganz offensichtliche Aussage
B als wahr zu erkennen, es gilt also
$C [mm] \Longleftarrow B\,.$
[/mm]
Wenn man jetzt aber weiß, dass A gilt und auch $A [mm] \Longrightarrow [/mm] B$, dann wird man
fertig.
Warum Dein Professor meint, dass Du das mit den Äquivalenzpfeilen also
weglassen solltest, verstehe ich nur insofern, als dass man dabei natürlich
auch mal schnell den Überblick verlieren kann. Und bei Dir wirkt das auch
ein wenig *miteinander verwischt* (was wissen wir nun [was GILT also] und
worauf wollen wir hinaus). Aber das komplett abzulehnen, macht keinen
Sinn, im Gegenteil, bei komplizierteren Aufgaben rechnet man besser
sogar erstmal so, damit man überhaupt mal auf eine Idee kommen kann,
welche Aussage(n) denn vielleicht hinreichend für die Behauptung sein
könnten!
Btw.: Ich habe nie verstanden, warum diese Vorgehensweise, die eigentlich
viel klarer ersichtlich macht, was da warum wie gerechnet wird, abgelehnt
wird und - wie in einem Verkaufsgespräch - der fertige Beweis dann so
präsentiert wird, also würde das alles vom Himmel gefallen sein. Aber wenn
Dein Prof. das anders will, und Du willst eine Aussage C beweisen:
Dann rechne halt etwa
$C [mm] \iff [/mm] B [mm] \Longleftarrow [/mm] A$
auf einem Schmierzettel, begründe, dass A gilt, und schreibe nur noch den
Beweis in der Form
Es gilt A und
$A [mm] \Longrightarrow B\Longrightarrow [/mm] C$
auf.
Gruß,
Marcel
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Allgemein solltest du dir für die Beweisführung - insbesondere auch für die V.I. - folgende Regeln merken:
Nicht rückwärts mit Äquivalenzen arbeiten.
Gelegentlich ist eine Äquivalenz gar keine, man hat nur eine Folgerung, aber diese in die falsche Richtung.
Beispiel: [mm] x^2=4 \Rightarrow [/mm] x=2 [mm] \Rightarrow [/mm] 6x-3=9 ist falsch, aber 6x-3=9 [mm] \Rightarrow [/mm] x=2 [mm] \Rightarrow x^2=4 [/mm] ist richtig. (x hätte auch -2 sein können)
Von der Annahme zur Behauptung folgern. Äquivalenz ist dann meistens unnötig.
Bei VI ist der entscheidende Schritt immer der, wo du für n die Induktionsannahme einbaust (! - sonst ist es keine VI) und dann damit auf n+1 schließt. Diese Stelle muss ganz genau und kleinschrittig behandelt werden.
Jetzt das Wichtigste: Um zu überlegen, wie dieser Übergang aussehen muss (oder allgemein: wie du von der Annahme zur Behauptung kommst), kannst (und musst du manchmal) auch umgekehrt vorgehen - aber das schreibst du nicht auf, sondern machst dir das auf einem Schmierzettel klar, sonst geht alles nur durcheinander.
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Beispiel: (Bernoulli-Ungleichung)
Für alle n [mm] \in \IN [/mm] gilt: [mm] (1+x)^n\ge1+nx.
[/mm]
Für welche x gilt das? (Wie sollst du darauf kommen, wenn du es noch nicht durchgerechnet hast?)
Beweise es durch VI.
I-Anfang: [mm] (1+x)^1=1+x=1+1*x\ge1+1*x
[/mm]
I-Schritt von n auf n+1
[mm] (1+x)^{n+1} [/mm] (jetzt brauchst du als IVor. den [mm] Term(1+x)^n:)
[/mm]
[mm] =(1+x)^n*(1+x) [/mm] (jetzt baust du die IVor. ein:)
[mm] \ge(1+nx)(1+x) [/mm] (und jetzt schreibst du einfach hin:)
[mm] \ge [/mm] 1+(n+1)x.
So stimmt das aber gar nicht (s.u.), und so kannst du das nicht abgeben. Die folgenden Überlegungen kannst du zwar anhängen, das macht die Sache aber nur schlechter lesbar.
Du pickst dir jetz die gefährlichen Stellen heraus:
[mm] =(1+x)^n*(1+x)\ge(1+nx)(1+x) [/mm]
Wieso ist [mm] (1+x)^n*(1+x)\ge(1+nx)(1+x)?
[/mm]
Weil [mm] (1+x)^n\ge(1+nx)? [/mm] Ja, wenn mit einem nicht-negativen Faktor multipliziert wird! also Wenn [mm] 1+x\ge0 [/mm] ist, also für [mm] x\ge-1: [/mm] Jetzt hast du schon eine (Teil-?)Antwort auf die erste Frage.
Wieso ist [mm] (1+nx)(1+x)\ge [/mm] 1+(n+1)x
Es ist ja [mm] (1+nx)(1+x)=1+x+nx+x^2 [/mm] = [mm] 1+(n+1)x+x^2\ge [/mm] 1+(n+1)x, weil [mm] x^2 [/mm] imme [mm] \ge0 [/mm] ist. Hier gibt es also keine weiteren Ösen und Haken oder weitere Einschränkungen.
Nun schreibst du noch mal alles sauber so hin:
Für alle n [mm] \in \IN [/mm] und für alle [mm] x\ge-1 [/mm] gilt: [mm] (1+x)^n\ge1+nx.
[/mm]
Beweis durch VI.
I-Anfang: [mm] (1+x)^1=1+x=1+1*x\ge1+1*x
[/mm]
I-Schritt von n auf n+1
[mm] (1+x)^{n+1}=(1+x)^n*(1+x) \ge(1+nx)(1+x) [/mm] (nach IV und da [mm] 1+x\ge0) [/mm]
[mm] =1+x+nx+x^2\ge [/mm] 1+(n+1)x (da [mm] x^2\ge0).
[/mm]
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 22:29 So 03.05.2015 | | Autor: | Marcel |
Hallo,
nur mal so ergänzend:
> Beweise durch vollständige Induktion:
> [mm]\summe_{i=1}^{n} log(1+\bruch{1}{i})[/mm] = log(n+1)
eigentlich ist es total unsinnig, solch' eine Aufgabe mit Induktion zu beweisen.
Genauso sinnig wäre es
[mm] $\prod_{k=1}^n \frac{k+1}{k}=n+1$
[/mm]
mit Induktion zu beweisen...
Denn:
[mm] $\sum_{k=1}^n \log(1+1/k)=\sum_{k=1}^n \log(\tfrac{k+1}{k})=...=\left\{\sum_{k=1}^n \log(k+1)\right\}-\sum_{k=1}^n \log(k)$
[/mm]
[mm] $=\left\{\sum_{m=2}^{n+1} \log(m)\right\}-\sum_{k=1}^n \log(k)=...=\log(n+1)-\log(1)=\log(n+1)$
[/mm]
Na gut, aber der Prof. hat sie nun mal so gestellt...
P.S.
[mm] $\prod_{k=1}^n \frac{k+1}{k}=...=\frac{\prod_{m=2}^{n+1}m}{\prod_{k=1}^n k}=\frac{n+1}{1}=n+1$
[/mm]
P.P.S. Natürlich hängen
[mm] $\prod_{k=1}^{n} \frac{k+1}{k}=n+1$
[/mm]
und
[mm] $\sum_{k=1}^n \log(\tfrac{k+1}{k})=\log(n+1)$
[/mm]
offensichtlich zusammen... In welcher Art und Weise wohl?
Gruß,
Marcel
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 23:00 So 03.05.2015 | | Autor: | DieAcht |
Hallo Marcel!
Nach der Erwähnung von
> [mm]\prod_{k=1}^n \frac{k+1}{k}=n+1[/mm]
habe ich folgenden Beweis erwartet:
[mm] $\sum_{k=1}^n \log(1+\tfrac{1}{k})=\sum_{k=1}^n \log\left(\frac{k+1}{k}\right)=\log\left(\produkt_{k=1}^n \frac{k+1}{k}\right)=\log\left(\frac{n+1}{1}\right)=\log(n+1)$
[/mm]
(Das habe ich übrigens von dir.  )
EDIT: Wegen deines editierten Beitrags glaube ich nun doch, dass
du daran gedacht hast.
Beste Grüße
DieAcht
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