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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 12:19 So 20.06.2010 | | Autor: | Lippel |
| Aufgabe | Auf der Menge der Ideale eine Hauptidealringes $R$ betrachten wir folgende Relation $~$:
[mm] \mathfrak{a}\sim\mathfrak{b} :\gdw [/mm] Es gibt [mm] r,s\in{R}, r,s\not=0 [/mm], so dass [mm] r\mathfrak{a}=s\mathfrak{b}[/mm]
Welche Äquivalenzklassen gibt es? |
Hallo,
ich denke ich habe einen Fehler in meinem Gedankengang, kann ihn aber nicht finden:
R Hauptidealring, d.h für alle Ideale [mm] $\mathfrak{a}$ [/mm] gibt es [mm] $a\in{R}$ [/mm] sodass [mm] $\mathfrak{a}=(a)$, [/mm] d.h. dass [mm] $\mathfrak{a}$ [/mm] von $a$ erzeugt wird.
Betrachten wir nun die Äquivalenzklasse von [mm] $\mathfrak{b}=(1)=R$.
[/mm]
Es ist: [mm] $a\mathfrak{b}=\mathfrak{a}$, [/mm] denn:
Sei [mm] $x\in\mathfrak{a}\Rightarrow$ [/mm] es gibt [mm] $t\in{R}: x=ta\in{a\mathfrak{b}}$ [/mm] da [mm] $t\in\mathfrak{b}$
[/mm]
Andersherum: sei [mm] $x\in\mathfrak{b}{\Rightarrow}xa\in\mathfrak{a}$
[/mm]
d.h. aber jedes Ideal liegt in der Äquivalenzklasse von [mm] $\mathfrak{b}$.
[/mm]
Irgendwie halte ich diese Lösung für wenig wahrscheinlich. Aber ich finde keinen Fehler. Könnt ihr mir weiterhelfen.
Vielen Dank im Voraus.
Grüße Lippel
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Hallo Lippel,
> Auf der Menge der Ideale eine Hauptidealringes [mm]R[/mm] betrachten
> wir folgende Relation [mm]~[/mm]:
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> [mm]\mathfrak{a}\sim\mathfrak{b} :\gdw[/mm] Es gibt [mm]r,s\in{R}, r,s\not=0 [/mm],
> so dass [mm]r\mathfrak{a}=s\mathfrak{b}[/mm]
>
> Welche Äquivalenzklassen gibt es?
> Hallo,
>
> ich denke ich habe einen Fehler in meinem Gedankengang,
> kann ihn aber nicht finden:
>
> R Hauptidealring, d.h für alle Ideale [mm]\mathfrak{a}[/mm] gibt es
> [mm]a\in{R}[/mm] sodass [mm]\mathfrak{a}=(a)[/mm], d.h. dass [mm]\mathfrak{a}[/mm] von
> [mm]a[/mm] erzeugt wird.
>
> Betrachten wir nun die Äquivalenzklasse von
> [mm]\mathfrak{b}=(1)=R[/mm].
>
> Es ist: [mm]a\mathfrak{b}=\mathfrak{a}[/mm], denn:
> Sei [mm]x\in\mathfrak{a}\Rightarrow[/mm] es gibt [mm]t\in{R}: x=ta\in{a\mathfrak{b}}[/mm]
> da [mm]t\in\mathfrak{b}[/mm]
> Andersherum: sei
> [mm]x\in\mathfrak{b}{\Rightarrow}xa\in\mathfrak{a}[/mm]
> d.h. aber jedes Ideal liegt in der Äquivalenzklasse von
> [mm]\mathfrak{b}[/mm].
> Irgendwie halte ich diese Lösung für wenig
> wahrscheinlich. Aber ich finde keinen Fehler. Könnt ihr
> mir weiterhelfen.
Prinzipiell ist an der Überlegung nichts falsch! Du musst allerdings beachten, dass das Ideal (0) von R nicht in dieser fast allumfassenden Äquivalenzklasse liegt.
Sei A ein beliebiges Ideal von R. Dann gibt es [mm] $a\in [/mm] R$ so dass $A = (a)$.
Fall 1: [mm] a\not= [/mm] 0. Dann gilt $a*(1) = [mm] a*\{r*1|r\in R\} [/mm] = [mm] \{a*(r*1)|r\in R\} [/mm] = [mm] \{r*a|r\in R\} [/mm] = (a) = ... = 1*(a)$. Also gilt [mm] $(1)\sim [/mm] (a)$, damit liegt (a) in der Äquivalenzklasse von (1).
Fall 2: a = 0. Man müsste nun [mm] $s,t\in [/mm] R, [mm] s,t\not= [/mm] 0$ finden, so dass $s*(0) = t*(1)$. Es ist aber $s*(0) = (0)$, d.h. t müsste zwangsläufig 0 gewählt werden. Also liegt (0) nicht in der Äquivalenzklasse von (1).
Grüße,
Stefan
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 17:45 So 20.06.2010 | | Autor: | Lippel |
Hallo Stefan,
danke für deine Antwort. An die 0 hatte ich nicht gedacht.
Grüße, Lippel
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