Äquivalenzrelation < Sonstiges < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 19:09 Mo 09.11.2015 | | Autor: | Cara.M |
| Aufgabe | Beweisen Sie folgende Aussagen.
a) "x [mm] \sim [/mm] y falls y-x gerade " definiert eine Äquivalenzrelation aud N.
b) R c X [mm] \times [/mm] X ist eine transitive Relation genau dann wenn R [mm] \circ [/mm] R c R. |
Ich verstehe nicht so recht wie ich diese AUfgabe zeigen soll.Ich würde mich sehr darüber freuen wenn mir jemand einen Tipp geben würde, wie ich anfangen soll den Beweis darzustellen.
Dazu hätte ich noch eine Frage und zwar ist mir die genaue Bedeutung bzw Definition von diesem Zeichen leider ziemlich unschlüssig " [mm] \sim [/mm] ". Was bedeutet dieses Zeichen genau ?
Danke schon einmal im voraus.
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 21:18 Mo 09.11.2015 | | Autor: | chrisno |
Hallo,
ein wenig musst Du schon selbst liefern: die Definition einer Äquivalenzrelation. Dann geht es weiter.
"x ~ y" wird gelesen als "x steht in Relation zu y".
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 23:04 Mo 09.11.2015 | | Autor: | Cara.M |
| Aufgabe | | x [mm] \sim [/mm] falls x-y grade definiert eine Äquivalenzrelation auf [mm] \IN [/mm] |
1.Fall y-x=grade y=2m x=2n mit p,m,n [mm] \in \IN [/mm] (beide grade)
y-x=2p [mm] \gdw [/mm] 2m-2n=2p [mm] \gdw [/mm] 2(m-n)=2p mit m-n=p [mm] \gdw [/mm] 2p=2p
Aussage stimmt
2.Fall y-x=grade y=2m-1 x=2n-1 p,m,n [mm] \in \IN [/mm] (beide ungrade)
y-x=2p [mm] \gdw [/mm] 2m-1-(2m-1)=2p [mm] \gdw [/mm] 2(m-n)-1+1=2p mit m-n=p [mm] \gdw [/mm] 2p=2p Aussage stimmt
3.Fall y-x=grade y=2m-1 x=2n p,m,n [mm] \in \IN [/mm] (ungrade grade)
y-x=2p [mm] \gdw [/mm] 2m-1-2n=2p [mm] \gdw [/mm] 2(m-n)-1=2p mit m-n=p [mm] \gdw [/mm] 2p-1=2p widerspruch. D.h. beide zahlen müssen grade grade sein oder ungrade ungrade.
Prüfen ob Reflexiv, symmetrisch und Transitiv
x [mm] \sim [/mm] y [mm] \gdw [/mm] f(x)=f(y)
Reflexiv: alle Zahlen müssen mit sich selbst in Relation stehen (x [mm] \sim [/mm] x)
D.h. x [mm] \sim [/mm] x [mm] \gdw [/mm] f(x)=f(x)
y [mm] \sim [/mm] y [mm] \gdw [/mm] f(y)=f(y)
Symmetrie x [mm] \sim [/mm] y [mm] \gdw [/mm] y [mm] \sim [/mm] x
dass heißt x [mm] \sim [/mm] y f(x)=f(y) [mm] \Rightarrow [/mm] f(y)=f(x) mit y [mm] \sim [/mm] x
Bei y-x=grade kann man einfach x-y=grade sagen. Da besteht kein Problem. es wäre jedesmal das gleiche Schema ungrade -ungrade=grade (grade-grade=grade)
Transitivität: x [mm] \sim [/mm] y und y [mm] \sim [/mm] z [mm] \Rightarrow [/mm] x [mm] \sim [/mm] z
Das würde bedeuten y-z=grade und x-z=grade.
Dies funktioniert wieder nur beim ersten und zweiten Fall.
Dass heißt für Fall 1&2 ist die aussage bewiesen da Reflexiv, Symmetrie und Transitivität vorliegt.
Hoffentlich habe ich das richtig gemacht und nicht zu allgemein gehalte oder sonstige Fehler drin.
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(Antwort) fertig | | Datum: | 06:28 Di 10.11.2015 | | Autor: | fred97 |
> x [mm]\sim[/mm] falls x-y grade definiert eine Äquivalenzrelation
> auf [mm]\IN[/mm]
> 1.Fall y-x=grade y=2m x=2n mit p,m,n [mm]\in \IN[/mm] (beide
> grade)
> y-x=2p [mm]\gdw[/mm] 2m-2n=2p [mm]\gdw[/mm] 2(m-n)=2p mit m-n=p [mm]\gdw[/mm] 2p=2p
> Aussage stimmt
Welche Aussage ??? Was treibst Du da oben eigentlich ? Und wozu ?
>
> 2.Fall y-x=grade y=2m-1 x=2n-1 p,m,n [mm]\in \IN[/mm] (beide
> ungrade)
> y-x=2p [mm]\gdw[/mm] 2m-1-(2m-1)=2p [mm]\gdw[/mm] 2(m-n)-1+1=2p mit m-n=p
> [mm]\gdw[/mm] 2p=2p Aussage stimmt
> 3.Fall y-x=grade y=2m-1 x=2n p,m,n [mm]\in \IN[/mm] (ungrade
> grade)
> y-x=2p [mm]\gdw[/mm] 2m-1-2n=2p [mm]\gdw[/mm] 2(m-n)-1=2p mit m-n=p [mm]\gdw[/mm]
> 2p-1=2p widerspruch. D.h. beide zahlen müssen grade grade
> sein oder ungrade ungrade.
Gleicher Kommentar wie oben.
>
> Prüfen ob Reflexiv, symmetrisch und Transitiv
> x [mm]\sim[/mm] y [mm]\gdw[/mm] f(x)=f(y)
Was ist denn f ??????
> Reflexiv: alle Zahlen müssen mit sich selbst in Relation
> stehen (x [mm]\sim[/mm] x)
>
> D.h. x [mm]\sim[/mm] x [mm]\gdw[/mm] f(x)=f(x)
> y [mm]\sim[/mm] y [mm]\gdw[/mm] f(y)=f(y)
Was soll das f ? Bei der Reflexivität ist zu prüfen, ob für jedes x [mm] \in \IN [/mm] gilt: x [mm] \sim [/mm] x.
Zu prüfen ist also , ob für jedes x [mm] \in \IN [/mm] gilt: x-x ist gerade.
Ist das der Fall ?
>
> Symmetrie x [mm]\sim[/mm] y [mm]\gdw[/mm] y [mm]\sim[/mm] x
> dass heißt x [mm]\sim[/mm] y f(x)=f(y) [mm]\Rightarrow[/mm] f(y)=f(x) mit y
> [mm]\sim[/mm] x
> Bei y-x=grade kann man einfach x-y=grade sagen. Da besteht
> kein Problem. es wäre jedesmal das gleiche Schema ungrade
> -ungrade=grade (grade-grade=grade)
Auch hier: ziemliches Chaos !
Für die Symmetrie ist zu prüfen: folgt aus x,y [mm] \in \IN [/mm] und x [mm] \sim [/mm] y auch stets y [mm] \sim [/mm] x.
Zu prüfen ist also: folgt aus x-y gerade auch stets y-x gersde. Dazu braucht man keine Fallunterscheidung !
>
> Transitivität: x [mm]\sim[/mm] y und y [mm]\sim[/mm] z [mm]\Rightarrow[/mm] x [mm]\sim[/mm]
> z
Ja, das ist zu prüfen.
> Das würde bedeuten y-z=grade und x-z=grade.
> Dies funktioniert wieder nur beim ersten und zweiten
> Fall.
Auch hier ist keine Fallunterscheidung nötig.
Sei x [mm]\sim[/mm] y und y [mm]\sim[/mm] z , also x-y gerade und y-z gerade.
Jetzt ist die Frage: ist dann auch x-z gerade.
Es ist x-z=x-y+y-z=(x-y)+(y-z). Kannst Du nun entscheiden , ob x-z gerade ist ?
FRED
>
> Dass heißt für Fall 1&2 ist die aussage bewiesen da
> Reflexiv, Symmetrie und Transitivität vorliegt.
>
> Hoffentlich habe ich das richtig gemacht und nicht zu
> allgemein gehalte oder sonstige Fehler drin.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 07:26 Di 10.11.2015 | | Autor: | chrisno |
Ich schlage vor, dass DU das Ganze in kleinen Schritten angehst.
Zuerst: ist die Relation reflexiv?
Du musst zeigen, dass x~x für ein beliebiges x aus N.
Also fängst Du an:
Sei x aus N. Dann ist ...., also die gegebene Relation reflexiv.
Das passt in eine Zeile.
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(Antwort) fertig | | Datum: | 09:24 Di 10.11.2015 | | Autor: | tobit09 |
Hallo Cara.M!
Alles Wesentliche ist aus meiner Sicht in Freds Antwort schon gesagt worden.
Es ist sehr schwer, deinen Aufzeichnungen zu folgen.
Dennoch ist es mir vermutlich gelungen, den Kern deiner Anfangsüberlegungen auszumachen:
> 1.Fall y-x=grade y=2m x=2n mit p,m,n [mm]\in \IN[/mm] (beide
> grade)
> y-x=2p [mm]\gdw[/mm] 2m-2n=2p [mm]\gdw[/mm] 2(m-n)=2p mit m-n=p [mm]\gdw[/mm] 2p=2p
> Aussage stimmt
>
> 2.Fall y-x=grade y=2m-1 x=2n-1 p,m,n [mm]\in \IN[/mm] (beide
> ungrade)
> y-x=2p [mm]\gdw[/mm] 2m-1-(2m-1)=2p [mm]\gdw[/mm] 2(m-n)-1+1=2p mit m-n=p
> [mm]\gdw[/mm] 2p=2p Aussage stimmt
> 3.Fall y-x=grade y=2m-1 x=2n p,m,n [mm]\in \IN[/mm] (ungrade
> grade)
> y-x=2p [mm]\gdw[/mm] 2m-1-2n=2p [mm]\gdw[/mm] 2(m-n)-1=2p mit m-n=p [mm]\gdw[/mm]
> 2p-1=2p widerspruch. D.h. beide zahlen müssen grade grade
> sein oder ungrade ungrade.
Du meinst wohl folgendes:
Wenn $x$ und $y$ gerade natürliche Zahlen sind ("1. Fall"), gilt [mm] $x\sim [/mm] y$.
Wenn $x$ und $y$ ungerade natürliche Zahlen sind ("2. Fall"), gilt ebenfalls [mm] $x\sim [/mm] y$.
Wenn $x$ eine gerade natürliche Zahl ist und $y$ eine ungerade natürliche Zahl ist ("3. Fall"), gilt NICHT [mm] $x\sim [/mm] y$.
Wenn $x$ eine ungerade natürliche Zahl ist und $y$ eine gerade natürliche Zahl ist ("4. Fall"), gilt NICHT [mm] $x\sim [/mm] y$.
Dieses Ergebnis stimmt.
Zwar braucht man diese Überlegungen letztlich nicht, um die Aufgabe zu lösen; aber dennoch erscheinen mir diese Überlegungen a priori sinnvoll.
Beispielsweise die Aussage, dass im "3. Fall" NICHT [mm] $x\sim [/mm] y$ gilt, lässt sich wie folgt beweisen:
Sei $x$ eine gerade natürliche Zahl und $y$ eine ungerade natürliche Zahl.
Zu zeigen ist, dass NICHT [mm] $x\sim [/mm] y$ gilt.
Als gerade natürliche Zahl hat $x$ die Gestalt $x=2n$ für eine natürliche Zahl $n$.
Als ungerade natürliche Zahl hat $y$ die Gestalt $y=2m-1$ für eine natürliche Zahl $m$.
Also gilt $x-y=2n-(2m-1)=2(n-m)+1=2(n-m)+(2*1-1)=2(n-m+1)-1$.
Da $n-m+1$ eine ganze Zahl ist, ist somit $x-y$ ungerade.
Also gilt tatsächlich NICHT [mm] $x\sim [/mm] y$.
Bei der Untersuchung, ob es sich bei [mm] $\sim$ [/mm] um eine Äquivalenzrelation handelt, kannst du auch mit deinen Vorüberlegungen arbeiten. Das ist zwar insgesamt deutlich umständlicher als der von Fred vorgeschlagene Weg, aber durchaus möglich:
Reflexivität: Zu untersuchen ist, ob [mm] $x\sim [/mm] x$ für alle [mm] $x\in\IN$ [/mm] gilt.
Sei also [mm] $x\in\IN$. [/mm] Zu untersuchen ist, ob [mm] $x\sim [/mm] x$ gilt.
Unterscheide nun die Fälle "$x$ gerade" und "$x$ ungerade" und wende deine Vorüberlegungen an.
Symmetrie: Zu untersuchen ist, ob für alle [mm] $x,y\in\IN$ [/mm] mit [mm] $x\sim [/mm] y$ auch [mm] $y\sim [/mm] x$ gilt.
Seien also [mm] $x,y\in\IN$ [/mm] mit [mm] $x\sim [/mm] y$.
Welche "gerade/ungerade-Konstellationen" für x und y können dann vorliegen?
Gilt in den einzelnen Konstellationen auch [mm] $y\sim [/mm] x$?
Transitivität: Zu untersuchen ist, ob für alle [mm] $x,y,z\in\IN$ [/mm] mit [mm] $x\sim [/mm] y$ und [mm] $y\sim [/mm] z$ auch [mm] $x\sim [/mm] z$ gilt.
Seien also [mm] $x,y,z\in\IN$ [/mm] mit [mm] $x\sim [/mm] y$ und [mm] $y\sim [/mm] z$.
Welche "gerade/ungerade-Konstellationen" für $x,y,z$ können dann vorliegen?
Gilt in den einzelnen Konstellationen auch [mm] $x\sim [/mm] z$?
> Dass heißt für Fall 1&2 ist die aussage bewiesen da
> Reflexiv, Symmetrie und Transitivität vorliegt.
Die in der Aufgabenstellung erklärte Relation [mm] $\sim$ [/mm] ist eine Äquivalenzrelation.
Es ist NICHT etwa so, dass [mm] $\sim$ [/mm] in gewissen Fällen eine Äquivalenzrelation ist und in anderen Fällen nicht.
Viele Grüße
Tobias
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 19:22 Di 10.11.2015 | | Autor: | Cara.M |
Entschuldige aber ich habe ehrlich gesagt komplett den Überblick verloren...
Wenn ich das kurz zusammenfasse, dann ist meine Rechnung fehlerhaft und voller chaos oder habe ich das missverstanden?
Wie soll ich es denn dann zeigen?
Kann ich zum Beispiel die Reflexivität so zeigen:
Alles Zahlen x müssen mit sich selbst in Relation stehen (x [mm] \sim [/mm] x )
x-x=gerade [mm] \Rightarrow [/mm] Eine Zahl minus sich selbst ergibt immer eine gerade Zahl.
[mm] \Rightarrow [/mm] x [mm] \in \IN [/mm] gilt: x-x ist gerade.
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(Antwort) fertig | | Datum: | 19:25 Di 10.11.2015 | | Autor: | fred97 |
> Entschuldige aber ich habe ehrlich gesagt komplett den
> Überblick verloren...
> Wenn ich das kurz zusammenfasse, dann ist meine Rechnung
> fehlerhaft und voller chaos oder habe ich das
> missverstanden?
>
> Wie soll ich es denn dann zeigen?
> Kann ich zum Beispiel die Reflexivität so zeigen:
>
> Alles Zahlen x müssen mit sich selbst in Relation stehen
> (x [mm]\sim[/mm] x )
>
> x-x=gerade [mm]\Rightarrow[/mm] Eine Zahl minus sich selbst
> ergibt immer eine gerade Zahl.
........ und zwar welche ?????????????
FRED
>
> [mm]\Rightarrow[/mm] x [mm]\in \IN[/mm] gilt: x-x ist gerade.
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 19:29 Di 10.11.2015 | | Autor: | Cara.M |
Eine Zahl minus sich selber ergibt 0.
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 19:38 Di 10.11.2015 | | Autor: | fred97 |
> Eine Zahl minus sich selber ergibt 0.
Ist 0 gerade ?
Fred
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 19:43 Di 10.11.2015 | | Autor: | Cara.M |
Das habe ich mich bereits gefragt, laut einer Internetseite schon. Aber ich lasse mich gerne eines besseren belehren.
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 20:16 Di 10.11.2015 | | Autor: | fred97 |
0 ist gerade
Fred
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| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 20:21 Di 10.11.2015 | | Autor: | Cara.M |
Darf ich das dann so beweisen mitder Reflexivität? Oder muss ich da noch etwas für ergänzen?
Alle Zahlen x müssen mit sich selbst in Relation stehen
(x $ [mm] \sim [/mm] $ x )
x-x=gerade $ [mm] \Rightarrow [/mm] $ Eine Zahl minus sich selbst
ergibt immer eine gerade Zahl.
Daraus folgt x-x=0
$ [mm] \Rightarrow [/mm] $ x $ [mm] \in \IN [/mm] $ gilt: x-x ist gerade.
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(Antwort) fertig | | Datum: | 21:31 Di 10.11.2015 | | Autor: | meili |
Hallo Cara.M,
> Darf ich das dann so beweisen mitder Reflexivität? Oder
> muss ich da noch etwas für ergänzen?
Vorallem den Beweis vom Kopf auf die Füße stellen.
>
> Alle Zahlen x müssen mit sich selbst in Relation stehen
> (x [mm]\sim[/mm] x )
Stattdessen könntest du schreiben:
zu zeigen: x [mm] $\sim$ [/mm] x [mm] $\forall$ [/mm] x [mm] $\in \IN$ [/mm]
und dann:
Sei x [mm] $\in \IN$.
[/mm]
x-x = 0
0 ist gerade
[mm] $\Rightarrow$
[/mm]
x [mm] $\sim$ [/mm] x
>
> x-x=gerade [mm]\Rightarrow[/mm] Eine Zahl minus sich selbst
> ergibt immer eine gerade Zahl.
>
>
> Daraus folgt x-x=0
>
>
> [mm]\Rightarrow[/mm] x [mm]\in \IN[/mm] gilt: x-x ist gerade.
Du gehst von dem aus, was du eigentlich zeigen willst, und deine
Folgerungen gehen dann in die falsche Richtung.
>
Gruß
meili
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