Äquivalenzrelation < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 19:32 Di 07.02.2006 | | Autor: | gosch |
Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
| Aufgabe | Wir erklären auf der Menge \IR^2 eine Relation durch $\left(a,b\right) \sim \left(c,d\right) :\gdw \exists t \in \IR^{\*}: c = ta$ und \mathit{td = b.}
Zeige, dass diese Relation eine Äquivalenzrelation ist. |
Hallo,
eine Relation ist Äquivalenzrelation, wenn sie reflexiv, symmetrisch und transitiv ist. Also:
Zur Reflexivität ist es zu zeigen, dass $\left(a,b\right) \sim \left(a,b\right) \gdw \exists t \in \IR^{\*}: a =ta$ und $tb = b \Rightarrow t = 1$
Zur Symmetrie ist es zu zeigen,dass $\left(a,b\right) \sim \left(c,d\right) \Rightarrow \left(c,d\right) \sim \left(a,b\right)$
$\left(a,b\right) \sim \left(c,d\right) :\gdw \exists t \in \IR^{\*}: c = ta$ und \mathit{td = b}
$\left(c,d\right) \sim \left(a,b\right) :\gdw \exists t \in \IR^{\*}: a = tc$ und \mathit{tb = d}
Aus der ersten Relation folgt aber, dass $t = \bruch{c}{a}$ und $t = \bruch{b}{d}$ aus der zweiten Relation aber $t = \bruch{a}{c}$ und $t = \bruch{d}{b}$, also wie zeige ich Symmetrie??
Zur Transitivität ist es zu zeigen, dass $\left(a,b\right) \sim \left(c,d\right)$ und $\left(c,d\right) \sim \left(e,f\right) \Rightarrow \left(a,b\right) \sim \left(e,f\right)$
Sei $\left(a,b\right) \sim \left(c,d\right)$ und $\left(c,d\right) \sim \left(e,f\right)$
D.h. $ \exists t \in \IR^{\*}: c = ta$ und $td = b}$ und $\exists t \in \IR^{\*}: e = tc$ und \mathit{tf = d}
$\Rightarrow \exists t \in \IR^{\*}:e = t*\left(ta\right)$ und \mathit{tf = \bruch{b}{t}}
$\Rightarrow \exists t \in \IR^{\*}: e = t^{2}a$ und $t^{2}f = b$
$\gdw \left(a,b\right) \sim \left(e,f\right)$
Stimmt es??!
Wäre nett, wenn sich jemand das anschauen konnte.
Gruß
Gosch
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 20:50 Di 07.02.2006 | | Autor: | Yuma |
Hallo Gosch,
also der Beweis der Reflexivität ist weitgehend in Ordnung, allerdings müsstest du etwas anders argumentieren:
Du willst zeigen, dass [mm] $\left(a,b\right) \sim \left(a,b\right)$ [/mm] für alle [mm] $(a,b)\in\IR^{2}$ [/mm] gilt. Dazu musst du ein [mm] $t\in\IR^{\*}$ [/mm] angeben, mit dem es "funktioniert", also mit dem gilt: $a = ta$ und $tb=b$.
Bei dir sieht es aber so aus, als würde $t=1$ gefolgert.
OK, ist vielleicht etwas spitzfindig von mir... 
> Zur Symmetrie ist es zu zeigen,dass [mm]\left(a,b\right) \sim \left(c,d\right) \Rightarrow \left(c,d\right) \sim \left(a,b\right)[/mm]
> [mm]\left(a,b\right) \sim \left(c,d\right) :\gdw \exists t \in \IR^{\*}: c = ta[/mm] und [mm]\mathit{td = b}[/mm]
> [mm]\left(c,d\right) \sim \left(a,b\right) :\gdw \exists t \in \IR^{\*}: a = tc[/mm] und [mm]\mathit{tb = d}[/mm]
Hier nimmst du irrtümlich an, dass es sich in beiden Fällen um das gleiche $t$ handelt. Die Relation sagt nur, dass ein solches $t$ gibt, nicht aber, dass es für alle Paare aus dem [mm] $\IR^{2}$ [/mm] gleich ist.
Du musst also nur zeigen, dass es ein [mm] $t_{2}$ [/mm] gibt mit [mm] $a=t_{2}c$ [/mm] und [mm] $t_{2}b=d$.
[/mm]
Du setzt dabei voraus, dass es ein [mm] $t_{1}$ [/mm] gibt mit [mm] $c=t_{1}a$ [/mm] und [mm] $t_{1}d=b$.
[/mm]
Wie könnte so ein [mm] $t_{2}$ [/mm] (in Abhängigkeit von [mm] $t_{1}$) [/mm] wohl aussehen?
Beim Beweis der Transitivität hast du den gleichen Fehler gemacht!
Du kannst hier nur annehmen, dass es ein [mm] $t_{1}$ [/mm] mit [mm] $c=t_{1}a$ [/mm] und [mm] $b=t_{1}d$ [/mm] und ein [mm] $t_{2}$ [/mm] mit [mm] $e=t_{2}c$ [/mm] und [mm] $d=t_{2}f$ [/mm] gibt.
Deine Aufgabe ist es nun, ein [mm] $t_{3}$ [/mm] zu finden, mit dem [mm] $e=t_{3}a$ [/mm] und [mm] $b=t_{3}f$ [/mm] gilt.
Ich hoffe, dir ein bisschen weitergeholfen zu haben?!
MFG,
Yuma
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 22:07 Di 07.02.2006 | | Autor: | gosch |
Hallo Yuma,
dann muss [mm] \mathit{t_2 = \bruch{1}{t_1}} [/mm] sein, und bei der Transitivität: [mm] \mathit{t_3 = t_2t_1}.
[/mm]
Vielen Dank!!
Gruß,
Gosch
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 22:19 Di 07.02.2006 | | Autor: | Yuma |
Hallo Gosch,
> dann muss [mm]\mathit{t_2 = \bruch{1}{t_1}}[/mm] sein, und bei der Transitivität: [mm]\mathit{t_3 = t_2t_1}.[/mm]
Richtig! Jetzt ist dir alles klar, oder?
> Vielen Dank!!
Gern geschehen! 
MFG,
Yuma
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