Äquivalenzrelation < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 21:33 Sa 30.10.2004 | | Autor: | maria |
Hallo! Weiß jemand die Lösung für die folgende Frage:
Sei R eine reflexive Relation auf M. Sei (R^-1):= [mm] \{ (x,y) \in M \times M | (x,y) \in R \} [/mm] und sei S:=R [mm] \cap [/mm] (R^-1). Zeigen Sie, dass S eine Äquivalenzrelation auf M ist.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 21:43 Sa 30.10.2004 | | Autor: | andreas |
hi maria
hast du dir schon selber etwas überlegt? probiert haben wirst du ja wohl schon etwas.
du könntest hier ja mal ein paar ansätze posten. dann können wir damit vielleicht weiterarbeiten.
grüße
andreas
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 21:56 Sa 30.10.2004 | | Autor: | maria |
Der Ansatz ist ja gerade das Problem. Ich habe nämlich keinen :-( Wenn mir jemand sagen könnte worum es geht bzw. was ich machen soll, dann kann ich die Aufgaben bestimmt auch selbst weiter lösen!!!
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 22:08 Sa 30.10.2004 | | Autor: | andreas |
hi
vielleicht ist das ja auch nur ein ganz blöder irrtum, aber kann es sein, dass die aussage nicth stimmt:
sei [m] M = \{1\} [/m], dann ist [m] R = \emptyset [/m] eine transitive relation auf $M$, aber
[m] \emptyset = S = R \cap R^{-1} [/m] bestimmt keine äquivalenzrelation auf $M$, da diese nicht reflexiv ist, also [m] (1, 1) \not\in S [/m]?
wo liegt mein denkfehler?
grüße
andreas
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 23:55 Sa 30.10.2004 | | Autor: | Stefan |
Lieber Andreas!
> sei [m]M = \{1\} [/m], dann ist [m]R = \emptyset[/m] eine transitive
> relation auf [mm]M[/mm], aber
> [m]\emptyset = S = R \cup R^{-1} [/m] bestimmt keine
> äquivalenzrelation auf [mm]M[/mm], da diese nicht reflexiv ist, also
> [m](1, 1) \not\in S [/m]?
>
> wo liegt mein denkfehler?
Vielleicht darin, dass $R$ als reflexiv und nicht als transitiv vorausgesetzt wurde? 
Liebe Grüße
Stefan
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 01:23 So 31.10.2004 | | Autor: | andreas |
> Lieber Andreas!
>
> > sei [m]M = \{1\} [/m], dann ist [m]R = \emptyset[/m] eine transitive
>
> > relation auf [mm]M[/mm], aber
> > [m]\emptyset = S = R \cap R^{-1}[/m] bestimmt keine
> > äquivalenzrelation auf [mm]M[/mm], da diese nicht reflexiv ist,
> also
> > [m](1, 1) \not\in S [/m]?
> >
> > wo liegt mein denkfehler?
>
> Vielleicht darin, dass [mm]R[/mm] als reflexiv und nicht als
> transitiv vorausgesetzt wurde?
ok. ich sollte woh zuerst die aufgabe richtig durchlesen, bevor ich mit denken anfange.
sorry
andreas
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 00:13 So 31.10.2004 | | Autor: | Stefan |
Liebe Maria!
Gerade eben habe ich Andreas noch geschrieben, dass er sich vertan hat, aber mittlerweile glaube ich selber, dass die Aufgabenstellung so nicht richtig ist.
Kann es sein, dass sich die folgenden zwei Fehler eingeschlichen haben:
> Sei R eine reflexive Relation auf M.
Muss es hier nicht heißen:
Sei $R$ eine reflexive und transitive Relation auf $M$ ?
> Sei (R^-1):= [mm]\{ (x,y) \in M \times M | (x,y) \in R \}[/mm]
Muss es hier nicht heißen:
[mm] $R^{-1}:=\{(x,y) \in M \times M\, \vert \, \red{(y,x) \in R}\}$ [/mm] ?
Ich bitte um Aufklärung. 
Vielleicht bin ich auch nur zu müde und sehe den Wald vor lauter Bäumen nicht...
Liebe Grüße
Stefan
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 08:59 So 31.10.2004 | | Autor: | maria |
Oh man, ich glaube ICH habe gestern den Wald vor lauter Bäumen nicht mehr gesehen. Da bekomm ich es noch nicht einmal hin die Aufgabe richtig abzuschreiben. Diese Mathematik treibt mich irgendwann noch einmal in den Wahnsinn. Danke für deinen Hinweis!!Also, die Aufgabe heißt richtig:
Sei R eine reflexive UND TRANSITIVE Relation auf M. Sei [mm] (R^-1):=\{\{y,x \}\in M\times M |(x,y)\inR\} [/mm] und sei [mm] S:=R\cap(R^-1). [/mm] Zeigen Sie, dass S eine Äquivalenzrelation auf M ist.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 15:01 So 31.10.2004 | | Autor: | Stefan |
Liebe Maria!
Zur Reflexivität von $S$:
Ist $x [mm] \in [/mm] $M, dann folgt aus der Reflexivität von $R$ gerade
$(x,x) [mm] \in [/mm] R$.
Nach Definition von [mm] $R^{-1}$ [/mm] ist dann auch
$(x,x) [mm] \in R^{-1}$,
[/mm]
also:
$(x,x) [mm] \in [/mm] R [mm] \cap R^{-1} [/mm] = S$.
Daher ist $S$ reflexiv.
Zur Symmetrie von $S$:
Ist $(x,y) [mm] \in [/mm] S=R [mm] \cap R^{-1}$, [/mm] dann gilt nach Definition von [mm] $R^{-1}$:
[/mm]
$(x,y) [mm] \in [/mm] R$ und $(y,x) [mm] \in [/mm] R$,
also -wiederum nach Definition von [mm] $R^{-1}$:
[/mm]
$(y,x) [mm] \in R^{-1}$ [/mm] und $(x,y) [mm] \in [/mm] R$,
also insgesamt:
$(y,x) [mm] \in [/mm] R [mm] \cap R^{-1} [/mm] = S$.
Daher ist $S$ symmetrisch.
Zur Transitivität von $S$:
Sind $(x,y) [mm] \in [/mm] S=R [mm] \cap R^{-1}$ [/mm] und $(y,z) [mm] \in [/mm] S=R [mm] \cap R^{-1}$, [/mm] so gilt nach Definition von [mm] $R^{-1}$:
[/mm]
$(x,y) [mm] \in [/mm] R$ und $(y,x) [mm] \in [/mm] R$ und $(y,z) [mm] \in [/mm] R$ und $(z,y) [mm] \in [/mm] R$.
Zu zeigen ist:
$(x,z) [mm] \in [/mm] S=R [mm] \cap R^{-1}$,
[/mm]
also:
$(x,z) [mm] \in [/mm] R$ und $(z,x) [mm] \in [/mm] R$.
Wie könnte man das zeigen, wenn man die Transitivität von $R$ ausnutzt? Hast du eine Idee?
Liebe Grüße
Stefan
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Hallo,
kann man die transitivität so zeigen:
sind (x,y) [mm] ,(y,z)\in [/mm] R [mm] \cap R^{-1}, [/mm] dann [mm] (x,y),(y,z)\in [/mm] R [mm] ,R^{-1}
[/mm]
daraus folgt [mm] (x,z)\in [/mm] R [mm] ,R^{-1} [/mm] und somit ist R [mm] \cap R^{-1} [/mm] transitiv
???
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(Antwort) fertig | | Datum: | 18:32 Fr 03.12.2004 | | Autor: | Stefan |
Hallo!
Nein, so schnell geht es (ohne nähere Begründungen) nicht.
Bis zu der Zeile
$(x,z) [mm] \in [/mm] R$ und $(z,x) [mm] \in [/mm] R$
hatte ich es ja schon vorgemacht. Daraus folgt dann:
$(x,z) [mm] \in [/mm] R$ und $(x,z) [mm] \in R^{-1}$,
[/mm]
also:
$(x,z) [mm] \in [/mm] R [mm] \cap R^{-1}$,
[/mm]
fertig.
Liebe Grüße
Stefan
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ja das er scheint mir sehr logisch
dankeschön!
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 20:41 Sa 18.12.2004 | | Autor: | maria |
Kann jemand die Definition von [mm] R^{-1} [/mm] mal in Worten fassen? Vielleicht wird mir die ganze Geschichte dann etwas klarer.
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(Antwort) fertig | | Datum: | 22:18 Sa 18.12.2004 | | Autor: | Stefan |
Liebe Maria!
[mm] $R^{-1}$ [/mm] besteht aus all denjenigen $(a,b) [mm] \in [/mm] M [mm] \times [/mm] M$, so dass $(b,a) [mm] \in [/mm] R$ liegt.
Beispiel:
Ist [mm] $R=\{(1,1), (1,2)\}$, [/mm] dann ist [mm] $R^{-1}=\{(1,1),(2,1)\}$.
[/mm]
Klar?
Liebe Grüße
Stefan
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