Äquivalenzrelation < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 13:07 Fr 21.09.2007 | | Autor: | SusanneK |
| Aufgabe | Sei [mm] A [/mm] eine Menge und sei [mm] R \subseteq P(A) \times P(A) [/mm] definiert durch: [mm] (X,Y) \in R [/mm] genau dann, wenn [mm] X \subseteq Y [/mm]. Dabei sind X und Y Teilmengen von A.
1. Beweisen oder widerlegen Sie: R ist eine Äquivalenzrelation auf [mm] P(A) [/mm].
2. Beweisen oder widerlegen Sie: R ist eine Ordnungsrelation auf [mm] P(A) [/mm].
3. Geben Sie ein Beispiel für eine Menge M und eine Teilmenge [mm] R \subseteq M \times M [/mm] die sowohl Äq.-Relation als auch eine Ordnungsrelation auf M ist. |
Da ich noch keine Idee für einen Anfang habe, suche ich zuerst mal ein Beispiel, um dann vielleicht die Beweise hinzukriegen.
Aber dabei scheitere ich schon, weil ich denke, dass eine Relation die komplette Menge abdecken muss und X und Y sind doch Äquivalenzrelationen - oder sollen es Äq.Klassen sein ?
Oder ist der ganz Ansatz falsch ?
Danke, Susanne.
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Hallo SusanneK!
> Sei [mm]A[/mm] eine Menge und sei [mm]R \subseteq P(A) \times P(A)[/mm]
> definiert durch: [mm](X,Y) \in R[/mm] genau dann, wenn [mm]X \subseteq Y [/mm].
> Dabei sind X und Y Teilmengen von A.
>
> 1. Beweisen oder widerlegen Sie: R ist eine
> Äquivalenzrelation auf [mm]P(A) [/mm].
> 2. Beweisen oder widerlegen
> Sie: R ist eine Ordnungsrelation auf [mm]P(A) [/mm].
> 3. Geben Sie
> ein Beispiel für eine Menge M und eine Teilmenge [mm]R \subseteq M \times M[/mm]
> die sowohl Äq.-Relation als auch eine Ordnungsrelation auf
> M ist.
> Da ich noch keine Idee für einen Anfang habe, suche ich
> zuerst mal ein Beispiel, um dann vielleicht die Beweise
> hinzukriegen.
>
> Aber dabei scheitere ich schon, weil ich denke, dass eine
> Relation die komplette Menge abdecken muss und X und Y sind
> doch Äquivalenzrelationen - oder sollen es Äq.Klassen sein
> ?
Wie sollen denn X und Y Äquivalenzrelationen sein? Eine  Relation ist doch immer Teilmenge eines kartesischen Produkts. Und hier ist die Relation definiert durch (in Worten):
X und Y stehen in Relation genau dann, wenn X eine Teilmenge von Y ist.
Und für die 1. musst du jetzt eigentlich nur die Eigenschaften reflexiv, symmetrisch und transitiv nachweisen oder zeigen, dass eins von den dreien nicht gilt, und dann bist du fertig.
Viele Grüße
Bastiane
![[cap]](/images/smileys/cap.gif "[cap]")
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 14:09 Fr 21.09.2007 | | Autor: | koepper |
Hallo Susane,
falls A leer ist, gilt $R = ( [mm] \{\} [/mm] | [mm] \{\} [/mm] )$ dann haben wir in der Tat eine Äquivalenzrelation. Prüfe die 3 Kriterien einfach nach.
Falls A nicht leer ist, sei $a [mm] \in [/mm] A.$ Dann ist $( [mm] \{\} [/mm] | a ) [mm] \in [/mm] R,$ aber $( a | [mm] \{\} [/mm] ) [mm] \notin [/mm] R$. Damit ist R nicht symmetrisch und keine Äqu-Rel.
Für eine Ordnungsrelation fordert man Antisymmetrie. Schau noch einmal in deiner Definition nach, ob sie auch total sein muß (es gibt auch partielle Ordnungsrelationen und dies hier ist so eine)
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 15:14 Fr 21.09.2007 | | Autor: | SusanneK |
Hallo, vielen Dank für eure Hilfe !
Ok, 1. habe ich verstanden - hat allerdings lange gedauert 
Zur Antisymmetrie steht noch in der Aufgabe:
Wenn [mm] (x,y) \in R [/mm] und [mm] (y,x) \in R [/mm] so folgt x = y.
Das würde bedeuten, wenn [mm] X \subseteq Y [/mm] gilt und [mm] Y \subseteq X [/mm], dass X = Y und damit die Aussage wahr ist.
Und ein Beispiel wäre:
[mm] M = {1,2,3,4} [/mm] , x=y ist die Relation, dann wäre das eine Ordnungs- und Äquivalenzrelation - stimmt das ?
Was ich immer noch nicht so richtig verstehe ist, wie kann R eine Teilmenge sein ?
Danke, Susanne.
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(Antwort) fertig | | Datum: | 15:39 Fr 21.09.2007 | | Autor: | koepper |
Hallo Susanne,
was meinst du mit "x = y" ist die Relation?
Eine Relation zwischen 2 Mengen A und B ist immer eine Teilmenge des kartesischen Produktes $A [mm] \times [/mm] B$.
Eine Äquivalenzrelation oder Ordnungsrelation ist immer eine Relation einer Menge mit sich selbst. Die hier in Rede stehende Menge ist P(M), die Potenzmenge von M.
In dieser Aufgabe werden also verschiedene Teilmengen einer Grundmenge M miteinander in Beziehung gesetzt, und zwar genauer: A steht in Relation mit B, genau dann wenn A eine Teilmenge von B ist. Schon an dieser Bedeutung erkennt man, daß es sich allenfalls um eine Ordnungsrelation handeln kann. Da allerdings nicht für 2 beliebige Teilmengen A, B von M entweder gilt $A [mm] \subset [/mm] B$ oder $B [mm] \subset [/mm] A$, ist diese Ordnung nicht total.
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 16:05 Fr 21.09.2007 | | Autor: | SusanneK |
Erstmal vielen Dank für deine Hilfe !
> Eine
> Äquivalenzrelation oder Ordnungsrelation ist immer eine
> Relation einer Menge mit sich selbst. Die hier in Rede
> stehende Menge ist P(M), die Potenzmenge von M.
Dann versuche ich es jetzt mal mit dem Beispiel [mm] M=\{1,2,3\}.
[/mm]
P(M) wäre dann [mm] \{\emptyset,1,2,3,12,13,23,123\}[/mm] - (ich lasse mal die Klammern weg, sonst muss ich so viel tippen).
> In dieser Aufgabe werden also verschiedene Teilmengen einer
> Grundmenge M miteinander in Beziehung gesetzt, und zwar
> genauer: A steht in Relation mit B, genau dann wenn A eine
> Teilmenge von B ist. Schon an dieser Bedeutung erkennt man,
Wenn ich jetzt sage [mm] A=\{1\}, [/mm] dann steht A in Relation zu [mm] B=\{1,12,13,123\} [/mm] - stimmt das ?
Kann ich denn B auch = [mm] \{1\} [/mm] setzen ? Dann ist es doch eine Ordnungsrelation und eine Äquivalenzrelation - oder bin ich immer noch auf dem Holzweg?
LG, Susanne.
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(Antwort) fertig | | Datum: | 17:15 Fr 21.09.2007 | | Autor: | dormant |
Hi!
Die Antwort lautet - keine Äquivalenzrelation, weil die Relation in Frage nicht symmetrisch ist:
aus [mm] X\subset Y\not\Rightarrow Y\subset [/mm] X für alle X, [mm] Y\in\mathcal{P}(M).
[/mm]
Offensichtlich handelt es sich um eine Ordnungsrelation der Elemente einer Potenzmenge. Genauer ist das, wenn ich mich nicht irre, eine Halbordnung.
Gruß,
dormant
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 18:19 Fr 21.09.2007 | | Autor: | SusanneK |
Hallo dormant,
vielen Dank für deine Hilfe !
Das mit der Teilmenge habe ich jetzt verstanden.
Aber ist mein Beispiel für eine Menge [mm] M=\{1,2,3\} [/mm] und eine Teilmenge [mm] R \subseteq M \times M [/mm] als Äq.Relation und Ordnungsrelation richtig (siehe mein vorheriger Beitrag) ?
LG, Susanne.
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(Antwort) fertig | | Datum: | 18:33 Fr 21.09.2007 | | Autor: | koepper |
Hallo Susanne,
du hast in deinem vorherigen Beitrag als Beispiel nur ein M und P(M) angegeben, aber nicht die Relation [mm]R \subseteq M \times M[/mm]
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 18:51 Fr 21.09.2007 | | Autor: | SusanneK |
Puh, ich glaube ich verstehe das nicht *stöhn*
Ich dachte die Relation heisst: ist Teilmenge von
(X ist äquivalent zu Y wenn X eine Teilmenge von Y ist)
Danke für deine Geduld !
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(Antwort) fertig | | Datum: | 19:10 Fr 21.09.2007 | | Autor: | koepper |
Na dann entspann dich erstmal und vergiß, was du dachtest
Eine Relation ist immer eine Menge. Nehmen wir ein Beispiel
M = [mm] $\{a, b \}$. [/mm] Dann ist P(M) = [mm] $\{ \{\}, \{a\}, \{b\}, \{a,b\} \}.$
[/mm]
Nun konstruieren wir eine Relation wie in der Aufgabenstellung über $P(M).$
$R := [mm] \{ ( \{\} | \{a\}), (\{\} | \{b\}), (\{\} | \{a, b\}), (\{a\} | \{a, b\}), (\{b\} | \{a, b\}) , (\{\} | \{\}), (\{a\} | \{a\}), (\{b\} | \{b\}), (\{a, b\} | \{a, b\})\}$
[/mm]
An dieser Menge (Relation) R siehst du, daß es keine Äquivalenzrelation ist
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 19:28 Fr 21.09.2007 | | Autor: | SusanneK |
DANKE !
> Eine Relation ist immer eine Menge. Nehmen wir ein
> Beispiel
>
> M = [mm]\{a, b \}[/mm]. Dann ist P(M) = [mm]\{ \{\}, \{a\}, \{b\}, \{a,b\} \}.[/mm]
>
> Nun konstruieren wir eine Relation wie in der
> Aufgabenstellung über [mm]P(M).[/mm]
>
> [mm]R := \{ ( \{\} | \{a\}), (\{\} | \{b\}), (\{\} | \{a, b\}), (\{a\} | \{a, b\}), (\{b\} | \{a, b\}) , (\{\} | \{\}), (\{a\} | \{a\}), (\{b\} | \{b\}), (\{a, b\} | \{a, b\})\}[/mm]
>
> An dieser Menge (Relation) R siehst du, daß es keine
> Äquivalenzrelation ist
Warum nicht ?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 19:35 Fr 21.09.2007 | | Autor: | dormant |
Hi!
> > [mm]R := \{ ( \{\} | \{a\}), (\{\} | \{b\}), (\{\} | \{a, b\}), (\{a\} | \{a, b\}), (\{b\} | \{a, b\}) , (\{\} | \{\}), (\{a\} | \{a\}), (\{b\} | \{b\}), (\{a, b\} | \{a, b\})\}[/mm]
>
> >
> > An dieser Menge (Relation) R siehst du, daß es keine
> > Äquivalenzrelation ist
>
> Warum nicht ?
Eine Äquivalenzrelation R muss symmetrisch sein, dh. aus aRb folgt bRa. Deine Relation heißt hier [mm] \subset [/mm] und das für dein Beispiel nicht, da [mm] 1\subset [/mm] 12, aber [mm] 12\not\subset [/mm] 1.
Oben hast du alle Elementenpaare aus der Potenzmenge von [mm] M:=\{a, b\}, [/mm] die in Relation stehen. Gleich das erste Element erfüllt die Symmetrie-eigenschaft nicht:
[mm] (\{\} [/mm] | [mm] \{a\})\in [/mm] R, aber [mm] (\{a\} [/mm] | [mm] \{\})\not\in [/mm] R.
Gruß,
dormant
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 19:44 Fr 21.09.2007 | | Autor: | SusanneK |
Hallo dormant,
vielen Dank für deine Hilfe !
> Eine Äquivalenzrelation R muss symmetrisch sein, dh. aus
> aRb folgt bRa. Deine Relation heißt hier [mm]\subset[/mm] und das
> für dein Beispiel nicht, da [mm]1\subset[/mm] 12, aber [mm]12\not\subset[/mm]
> 1.
Das habe ich noch verstanden.
> Oben hast du alle Elementenpaare aus der Potenzmenge von
> [mm]M:=\{a, b\},[/mm] die in Relation stehen. Gleich das erste
> Element erfüllt die Symmetrie-eigenschaft nicht:
>
> [mm](\{\}[/mm] | [mm]\{a\})\in[/mm] R, aber [mm](\{a\}[/mm] | [mm]\{\})\not\in[/mm] R.
Aber das ist doch egal, wie herum ich das schreibe - und damit ist [mm](\{\}[/mm] | [mm]\{a\})\in[/mm] R doch das gleiche wie [mm](\{a\}[/mm] | [mm]\{\})\not\in[/mm] R - oder ?
LG, Susanne.
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(Antwort) fertig | | Datum: | 09:15 Sa 22.09.2007 | | Autor: | koepper |
Hallo Susanne,
in Mengen sind die Elemente ungeordnet. Das heißt
[mm] $\{3, 4 \} [/mm] = [mm] \{ 4, 3\}$
[/mm]
In sog. Tupeln sind die Elemente geordnet. Das heißt
$(3 | 4) [mm] \neq [/mm] (4 | 3)$
Noch etwas zur Sprechweise. Dormant spricht hier zB von der Relation =. Das ist zwar durchaus üblich, sollte aber nicht zur Verwirrung bei dir führen. Denk daran, daß die Relation tatsächlich nicht = ist, sondern eine Menge. Im Falle von dormants Beispiel ist es die Menge
$R := [mm] \{(a | a) \mid a \in \IR\},$
[/mm]
also alle Paare gleicher reeller Zahlen.
Das ist in der Tat ein Beispiel für eine Relation, die zugleich Äquivalenzrelation und Ordnungsrelation ist. Die beiden Bedingungen "symmetrisch" und "antisymmetrisch" können gleichzeitig auch nur bei Relationen dieser (trivialen) Bauart erfüllt werden, wobei du [mm] $\IR$ [/mm] durch jede beliebige andere nichtleere Menge ersetzen darfst.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 16:14 Sa 22.09.2007 | | Autor: | SusanneK |
VIELEN VIELEN DANK !
Jetzt endlich habe ich es verstanden. Der Knackpunkt bei mir war tatsächlich der Unterschied zwischen Mengen und Tupel !
LG, Susanne.
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(Antwort) fertig | | Datum: | 19:18 Fr 21.09.2007 | | Autor: | dormant |
Hi!
Ich schätze mal Teilaufgaben 1. und 2. haben sich erledigt.
Bei Teilaufgabe 3. sollst du eine Menge M und eine Relation R angeben, sd R auf M sowohl eine Äquivalenz, als auch eine Ordnungsrelation ist. Die Relation [mm] X\subset [/mm] Y ist nach Teilaufgabe 1. kein Kandidat dafür, da sie nur eine Ordnungsrelation ist.
Ein einfaches Beispiel ist die Menge [mm] \IR [/mm] und die Relation =.
Gruß,
dormant
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 16:15 Sa 22.09.2007 | | Autor: | SusanneK |
Vielen Dank für Deine Hilfe !!
LG, Susanne.
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