Äquivalenzrelation < Integration < Funktionen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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| Aufgabe | Gegeben sei eine auf ganz [mm] \IR [/mm] stetige Funktion f und die Realtion:
[mm] R=(a,b)\in\IR^2|\integral_{a}^{b}{f(x) dx}=0
[/mm]
Zeigen sie das R eine Äquivalenzrelation ist, |
Hallo.
Würde nur mal gerne wissen ob meine Vorgehensweise richtig und ausreichend ist:
Äquivalenzrelation sit ja gegeben wenn das ganze reflexsiv ,transitiv und symmetrisch ist.
Also geh ich alle Punkte ab.
Reflexsiv:
[mm] \integral_{a}^{a}{f(x) dx}=0 [/mm] Passt also is das ganze reflexsiv.
Symmetrisch:
[mm] \integral_{a}^{b}{f(x) dx}=\integral_{b}^{a}{f(x) dx}
[/mm]
Passt auch:
Transitiv:
[mm] \integral_{a}^{c}{f(x) dx}=\integral_{a}^{b}{f(x) dx}+\integral_{b}^{c}{f(x) dx}
[/mm]
passt auch also is das ganjze ne Äquivalenzrelation:
Ist das alles so einfach?:)
mfg mathefreak
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Hallo,
deine Argumentation ist richtig. Bei der Transitivität würde ich aber das ganze gefühlsmäßig eher andersherum aufschreiben. Bei der Symmetrie könnte u.U. eine klitzekleine Erläuterung des (trivialen) Sachverhaltes nicht schaden.
Das ist aber jetzt nur meine persönliche Meinung, mit den Anforderungen an die Schreibweise an der Uni kenne ich mich nicht so gut aus.
Gruß, Diophant
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WQas hatten das mit dem trivialen auf sich?^^
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Hallo mathefreak,
> WQas hatten das mit dem trivialen auf sich?^^
Na, du hast eigentlich nur hingeschrieben, was du zeigen sollst.
Das ist aber alles relativ trivial, es sind Eigenschaften des Integrals.
Bei der Symmetrie hast du "nur" hingeschrieben:
[mm]\int\limits_{a}^{b}{f(x) \ dx} \ = \ \int\limits_{b}^{a}{f(x) \ dx}[/mm], was hier zu zeigen ist und trivialerweise stimmt, da [mm]\int\limits_{a}^{b}{f(x) \ dx}=0[/mm] ist.
Sauber wäre: Sei [mm](a,b)\in\IR[/mm]
Dann gilt [mm]\int\limits_{a}^{b}{f(x) \ dx}=0[/mm]
Nun gilt aber (Eigenschaft des Integrals, die ihr sicher schon gezeigt habe (sonst begründe du es!!)):
[mm]\int\limits_{a}^{b}{f(x) \ dx}=\red{-}\int\limits_{b}^{a}{f(x) \ dx}=-0=0[/mm]
Also auch [mm] $\int\limits_{b}^{a}{f(x) \ dx}=0$, [/mm] dh. nach Def "R" auch [mm](b,a)\in R[/mm]
Damit ist gezeigt: [mm](a,b)\in R\Rightarrow (b,a)\in R[/mm]
Bei der Transitivität solltest du ähnlich etwas begründen, da hast du auch "nur" hingeschrieben, was zu zeigen ist ...
Gruß
schachuzipus
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 11:35 Do 07.07.2011 | | Autor: | fred97 |
> Hallo,
>
> deine Argumentation ist richtig.
Da bin ich aber anderer Meinung......
FRED
> Bei der Transitivität
> würde ich aber das ganze gefühlsmäßig eher andersherum
> aufschreiben. Bei der Symmetrie könnte u.U. eine
> klitzekleine Erläuterung des (trivialen) Sachverhaltes
> nicht schaden.
>
> Das ist aber jetzt nur meine persönliche Meinung, mit den
> Anforderungen an die Schreibweise an der Uni kenne ich mich
> nicht so gut aus.
>
> Gruß, Diophant
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| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 11:34 Do 07.07.2011 | | Autor: | fred97 |
> Gegeben sei eine auf ganz [mm]\IR[/mm] stetige Funktion f und die
> Realtion:
>
> [mm]R=(a,b)\in\IR^2|\integral_{a}^{b}{f(x) dx}=0[/mm]
>
> Zeigen sie das R eine Äquivalenzrelation ist,
> Hallo.
>
> Würde nur mal gerne wissen ob meine Vorgehensweise richtig
> und ausreichend ist:
>
> Äquivalenzrelation sit ja gegeben wenn das ganze reflexsiv
> ,transitiv und symmetrisch ist.
> Also geh ich alle Punkte ab.
>
> Reflexsiv:
> [mm]\integral_{a}^{a}{f(x) dx}=0[/mm] Passt also is das ganze
> reflexsiv.
>
> Symmetrisch:
>
> [mm]\integral_{a}^{b}{f(x) dx}=\integral_{b}^{a}{f(x) dx}[/mm]Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
>
> Passt auch:
Quatsch !! Was soll da passen ?
Du sollst zeigen: aus (a,b) \in R folgt (b,a) \in R.
Ist (a,b) \in R, so ist \integral_{a}^{b}{f(x) dx}=0. Wegen $\integral_{b}^{a}{f(x) dx}=-\integral_{a}^{b}{f(x) dx}$ hat man dann: $\integral_{b}^{a}{f(x) =0$, also (b,a) \in R.
>
> Transitiv:
>
> [mm]\integral_{a}^{c}{f(x) dx}=\integral_{a}^{b}{f(x) dx}+\integral_{b}^{c}{f(x) dx}[/mm]Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
Damit bist Du aber noch nicht fertig.
Seien (a,b), (b,c) \in R. D.h.: $\integral_{a}^{b}{f(x) = \integral_{b}^{c}{f(x) =0$
Mit
[mm]\integral_{a}^{c}{f(x) dx}=\integral_{a}^{b}{f(x) dx}+\integral_{b}^{c}{f(x) dx}[/mm] rhält man
[mm] \integral_{a}^{c}{f(x) dx}=0, [/mm] somit ist (a,c) [mm] \in [/mm] R
FRED
>
> passt auch also is das ganjze ne Äquivalenzrelation:
>
> Ist das alles so einfach?:)
>
> mfg mathefreak
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Ah ok danke für die vielen antworten:)
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