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Liebes Forum
Ich habe eine Frage zu Äquivalenzraltion. Ich habe eine Menge $M$ gegeben. Dann ist eine Äquivalenzrelation [mm] $R\subset M\times [/mm] M$ so dass gilt
1. Reflexivität: für alle [mm] $a\in [/mm] M$ gilt [mm] $(a,a)\in [/mm] R$
2. Symmetrie: Wenn [mm] $(a,b)\in [/mm] R$ dann gilt [mm] $(b,a)\in [/mm] R$
3. Transitivität: Wenn [mm] $(a,b),(b,c)\in [/mm] R$ dann gilt [mm] $(a,c)\in [/mm] R$.
Ich kann ja nun Äquivalenzklassen bilden durch [mm] $[a]_R:=\{x\in M:(a,x)\in R\}$. [/mm] Die Äquivalenzklassen bilden eine Partition von $M$. Nun stellt sich mir die Frage, was ist genau mit folgender Notation gemeint:
[mm] $M\backslash [/mm] N$ für eine Teilmenge [mm] $N\subset M\times [/mm] M$?
Liebe Grüsse
marianne
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> Liebes Forum
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> Ich habe eine Frage zu Äquivalenzraltion. Ich habe eine
> Menge [mm]M[/mm] gegeben. Dann ist eine Äquivalenzrelation [mm]R\subset M\times M[/mm]
> so dass gilt
>
> 1. Reflexivität: für alle [mm]a\in M[/mm] gilt [mm](a,a)\in R[/mm]
> 2.
> Symmetrie: Wenn [mm](a,b)\in R[/mm] dann gilt [mm](b,a)\in R[/mm]
> 3.
> Transitivität: Wenn [mm](a,b),(b,c)\in R[/mm] dann gilt [mm](a,c)\in R[/mm].
>
> Ich kann ja nun Äquivalenzklassen bilden durch
> [mm][a]_R:=\{x\in M:(a,x)\in R\}[/mm]. Die Äquivalenzklassen bilden
> eine Partition von [mm]M[/mm]. Nun stellt sich mir die Frage, was
> ist genau mit folgender Notation gemeint:
>
> [mm]M\backslash N[/mm] für eine Teilmenge [mm]N\subset M\times M[/mm]?
Hallo,
Du meinst sicher M/N.
Wenn N eine Äquivalenzrelation ist, bezeichnet M/N die Faktormenge von M nach N.
Es ist [mm] M/N:=\{[a]_N|a\in M\}, [/mm] also die Menge aller Äquivalenzklassen.
LG Angela
>
> Liebe Grüsse
>
> marianne
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Guten Tag Angela
Danke für deine Antwort. Es ist genau das, was du vermutet hast. Danke für die Klärung meiner Frage. Ich habe noch eine Anschlussfrage.
Wenn [mm] $M_1$ [/mm] eine Äquivalenzklasse ist und ich definiere [mm] $N:=L\backslash M_1$, [/mm] wobei [mm] $L\subset [/mm] M$ ist. Ich weiss, dass $N$ eine Äquivalenzklasse von $M/ [mm] M_1$ [/mm] ist. Wieso ist dann $N$ auch eine Äquivalenzklasse von $M$?
Danke und Liebe Grüsse
marianne
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 18:18 Fr 27.09.2013 | | Autor: | hippias |
Du bringst einige Notationen durcheinander: die Faktorstruktur wird nach der Relation gebildet, nicht nach einer Aequivalenzklasse. Wenn also [mm] $N\subseteq M\times [/mm] M$ eine Aequivalenzrelation ist und $X$ eine Aequivalenzklasse bezueglich $N$, dann ist $M/N$ die Menge aller Aequivalenzklasse - wie Angela es Dir bereits gesagt hat. Der Ausdruck $M/X$ macht hier keinen Sinn. [mm] $M\backslash [/mm] X$ ist allenfalls das Komplement der Aequivalenzklasse $X$ in $M$.
Daher kann ich nur vermuten, was genau Deine Frage beinhaltet. Ich vermute: Es ist [mm] $\sim$ [/mm] eine Aequivalenzrelation auf einer Menge $M$,ferner [mm] $L\subseteq [/mm] M$. Dann betrachtest Du die Einschraenkung von [mm] $\sim$ [/mm] auf $L$; sei dies [mm] $\sim_{L}:= \sim\cap L\times [/mm] L$. Jetzt fragst Du, weshalb eine Aequivalenzklasse $N$ bezueglich [mm] $\sim_{L}$ [/mm] auch eine Aequivalenzklasse von [mm] $\sim$ [/mm] ist?
Die Antwort waere dann, dass dies im allgemeinen nicht der Fall ist. Es gibt aber eine, und nur eine, Aequivalenzklasse bezueglich [mm] $\sim$, [/mm] die $N$ enthaelt.
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Guten Tag hippias
Ich habe ein konkretes Beispiel, dann ist es vielleicht einfach sich das vorzustellen. Es geht um Matroid, resp. orientierte Matroide. Gegeben sei eine endliche Menge $E$, die wir mit [mm] $\{1,2,\dots,n\}$ [/mm] identifizieren. [mm] $\mathcal{A}\subset 2^E$. [/mm] Dazu haben wir eine die Menge der Zeichenvektoren [mm] $\mathcal{F}\subset \{0,+,-\}^E$, [/mm] also z.B. für $n=4$, sei [mm] $X\in \mathcal{F}$ [/mm] gegeben durch $(0,+,0,-)$. Für ein [mm] $e\in [/mm] E$, bezeichnet [mm] $X_e$ [/mm] die $e-$te Komponente von $X$.
Nun definiere ich die folgende Äquivalenzrelation ein: Zwei Elemente [mm] $e,f\in [/mm] E$ heissen parallel, wenn entweder [mm] $X_e=X_f$ [/mm] für all [mm] $X\in\mathcal{F}$ [/mm] oder [mm] $X_e=-X_f$ [/mm] für alle [mm] $X\in\mathcal{F}$. [/mm] Wobei die Konvention gilt $-0=0,- - = +, -+=-$.
Die Äquivalenzklassen werden Parallelklassen genannt. Für [mm] $X\in\mathcal{F}$ [/mm] sei [mm] $X^0:=\{e\in E|X_e=0\}$ [/mm] und [mm] $E^0:=\{e\in E| e\in X^0\forall X\in\mathcal{F}\}$. [/mm] Wenn ich weiss, dass [mm] $S=Z^0\backslash X^0$ [/mm] eine Parallelklasse von [mm] $\mathcal{F} [/mm] / [mm] E^0$ [/mm] ist für [mm] $X,Z\in\mathcal{F}$ [/mm] und [mm] $X^0=E^0$, [/mm] wieso ist $S$ dann auch eine Parallelklasse von [mm] $\mathcal{F}$?
[/mm]
Danke für deine Hilfe und Geduld
Liebe Grüsse
marianne88
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 12:17 So 29.09.2013 | | Autor: | hippias |
Hallo, ich haette noch ein paar Unklarheiten:
> Guten Tag hippias
>
> Ich habe ein konkretes Beispiel, dann ist es vielleicht
> einfach sich das vorzustellen. Es geht um Matroid, resp.
> orientierte Matroide. Gegeben sei eine endliche Menge [mm]E[/mm],
> die wir mit [mm]\{1,2,\dots,n\}[/mm] identifizieren.
> [mm]\mathcal{A}\subset 2^E[/mm].
Wozo wird [mm] $\mathcal{A}$ [/mm] benoetigt?
> Dazu haben wir eine die Menge der
> Zeichenvektoren [mm]\mathcal{F}\subset \{0,+,-\}^E[/mm], also z.B.
> für [mm]n=4[/mm], sei [mm]X\in \mathcal{F}[/mm] gegeben durch [mm](0,+,0,-)[/mm].
> Für ein [mm]e\in E[/mm], bezeichnet [mm]X_e[/mm] die [mm]e-[/mm]te Komponente von [mm]X[/mm].
>
> Nun definiere ich die folgende Äquivalenzrelation ein:
> Zwei Elemente [mm]e,f\in E[/mm] heissen parallel, wenn entweder
> [mm]X_e=X_f[/mm] für all [mm]X\in\mathcal{F}[/mm] oder [mm]X_e=-X_f[/mm] für alle
> [mm]X\in\mathcal{F}[/mm]. Wobei die Konvention gilt [mm]-0=0,- - = +, -+=-[/mm].
>
> Die Äquivalenzklassen werden Parallelklassen genannt.
Du hast also eine Aequivalenzrelation auf $E$ definiert; damit sind die Aequivalenzklassen Teilmengen von $E$.
> Für
> [mm]X\in\mathcal{F}[/mm] sei [mm]X^0:=\{e\in E|X_e=0\}[/mm] und [mm]E^0:=\{e\in E| e\in X^0\forall X\in\mathcal{F}\}[/mm].
[mm] $E^{0}$ [/mm] ist also der Durchschnitt aller [mm] $X^{0}$?
[/mm]
> Wenn ich weiss, dass [mm]S=Z^0\backslash X^0[/mm] eine
> Parallelklasse von [mm]\mathcal{F} / E^0[/mm] ist für
> [mm]X,Z\in\mathcal{F}[/mm] und [mm]X^0=E^0[/mm], wieso ist [mm]S[/mm] dann auch eine
> Parallelklasse von [mm]\mathcal{F}[/mm]?
Ich verstehe nicht, was "Parallelklasse von [mm]\mathcal{F} / E^0[/mm]$ bedeutet; Parallelklassen waren doch Teilmengen von $E$. Da [mm] $\mathcal{F}$ [/mm] Zeichenvektor ist und [mm] $E^{0}\subseteq [/mm] E$ kann ich nicht sagen, was mit dieser Faktorstruktur(?) gemeint sein koennte. Ebenso unklar ist, was eine "Parallelklasse von [mm]\mathcal{F}[/mm]" ist, denn Du hattest doch Parallelitaet fuer die Elemente von $E$, aber (noch) nicht fuer die Zeichenvektoren definiert. Oder habe ich etwas uebersehen?
>
> Danke für deine Hilfe und Geduld
>
> Liebe Grüsse
>
> marianne88
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 12:45 So 29.09.2013 | | Autor: | marianne88 |
Guten Tag hippias
Danke für deine schnelle Rückmeldung.
> Hallo, ich haette noch ein paar Unklarheiten:
>
> Wozo wird [mm]\mathcal{A}[/mm] benoetigt?
Das sollte ein [mm] $\mathcal{F}$ [/mm] sein und natürlich [mm] $\subset \{0,+,-\}^E$. [/mm] Man kann also [mm] $\mathcal{A}$ [/mm] einfach vergessen.
> Du hast also eine Aequivalenzrelation auf [mm]E[/mm] definiert;
> damit sind die Aequivalenzklassen Teilmengen von [mm]E[/mm].
Genau!
>
> [mm]E^{0}[/mm] ist also der Durchschnitt aller [mm]X^{0}[/mm]?
>
Ja, d.h. dort sind haben alle Zeichenvektoren eine Null stehen.
> Ich verstehe nicht, was "Parallelklasse von [mm]\mathcal{F} / E^0[/mm]$
> bedeutet; Parallelklassen waren doch Teilmengen von $E$. Da
> [mm]$\mathcal{F}$[/mm] Zeichenvektor ist und [mm]$E^{0}\subseteq[/mm] E$ kann
> ich nicht sagen, was mit dieser Faktorstruktur(?) gemeint
> sein koennte. Ebenso unklar ist, was eine "Parallelklasse
> von [mm]\mathcal{F}[/mm]" ist, denn Du hattest doch Parallelitaet
> fuer die Elemente von [mm]E[/mm], aber (noch) nicht fuer die
> Zeichenvektoren definiert. Oder habe ich etwas uebersehen?
Das ist eben auch der Punkt der mich verwirrt. Ich kopiere einmal alles 1:1 von der Definition (auf englisch) : Two elements [mm] $e,f\in [/mm] E$ are called parallel elements of [mm] $\mathcal{F}$ [/mm] if either [mm] $X_e=X_f$ [/mm] for all [mm] $X\in\mathcal{F}$ [/mm] or [mm] $X_e=-X_f$ [/mm] for all [mm] $X\in\mathcal{F}$. [/mm] Parallelness is an equivalent relation and defines the parallel classes of [mm] $\mathcal{F}$. [/mm]
Wenn du interessiert bist, kannst du dies auch ![[]](/images/popup.gif) hier online anschauen, seite 42, definition 0.7.4.
Liebe Grüsse
marianne
> > Liebe Grüsse
> >
> > marianne88
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 12:58 So 29.09.2013 | | Autor: | hippias |
O.K. Die Definition habe ich nun im Original gelesen: ich finde diese Formulierung zwar bizar, aber es wird schon gute Gruende dafuer geben. Koenntest Du mir vielleicht noch sagen, wo ich nun Originalformulierung der Behauptung finde, die Du beweisen moechtest? Denn [mm] $\mathcal{F} [/mm] / [mm] E^0$ [/mm] ist mir noch immer nicht klar.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 13:03 So 29.09.2013 | | Autor: | hippias |
Hab's gefunden: ist das zweite nachfolgende Lemma. Das hilft mir zwar im Augenblick noch nichts, aber vielleicht faellt mir spaeter etwas ein.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 13:12 So 29.09.2013 | | Autor: | marianne88 |
Hallo hippias
Ich glaube ich habe etwas gefunden. Siehe Seite 29, Definition 0.4.1 (für oriented Matroids). Jetzt wissen wir, was die Notation bedeutet, wieso meine Frage stimmen sollte, sehe ich aber immer noch nicht.
Liebe grüsse
marianne
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 13:25 So 29.09.2013 | | Autor: | hippias |
Hab ich auch gerade gesehen: die Definitionen solltest Du eigentlich kennen! Naja, halb so schlimm, mal sehen was man damit anfangen kann...
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 13:34 So 29.09.2013 | | Autor: | marianne88 |
> Hab ich auch gerade gesehen: die Definitionen solltest Du
> eigentlich kennen! Naja, halb so schlimm, mal sehen was man
> damit anfangen kann...
Ich brauche nur Kapitel 0.7. Daher habe ich nicht alle Kapitel durchgelesen. Wenn ein Begriff auftauchte, den ich nicht kenne, schlug ich diesen nach. Da es hier aber um Äquivalenzrelationen ging, dachte ich nicht daran, dass dies eine vorangegangene Definition sein könnte. Entschuldige diese Unachtsamkeit.
Liebe Grüsse
marianne
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 03:45 Mo 30.09.2013 | | Autor: | tobit09 |
> > Ebenso unklar ist, was eine "Parallelklasse
> > von [mm]\mathcal{F}[/mm]" ist, denn Du hattest doch Parallelitaet
> > fuer die Elemente von [mm]E[/mm], aber (noch) nicht fuer die
> > Zeichenvektoren definiert. Oder habe ich etwas uebersehen?
> Das ist eben auch der Punkt der mich verwirrt.
Gegeben ein set of sign vectors [mm] $\mathcal{F}$ [/mm] erhalten wir durch Parallelität eine Äquivalenzrelation auf $E$. Also sind die Äquivalenzklassen (Parallelklassen) Teilmengen von $E$. Um deutlich zu machen, bezüglich welchem set of sign vectors [mm] $\mathcal{F}$ [/mm] wir die Äquivalenzrelation auf $E$ und deren Äquivalenzklassen bilden wollen, sollte man von Parallelität bzw. Parallelklassen "bezüglich [mm] $\mathcal{F}$" [/mm] oder "von [mm] $\mathcal{F}$" [/mm] sprechen.
Ist damit die Verwirrung beseitigt?
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 15:05 So 29.09.2013 | | Autor: | tobit09 |
Hallo marianne88,
> Ich habe ein konkretes Beispiel, dann ist es vielleicht
> einfach sich das vorzustellen. Es geht um Matroid, resp.
> orientierte Matroide. Gegeben sei eine endliche Menge [mm]E[/mm],
> die wir mit [mm]\{1,2,\dots,n\}[/mm] identifizieren.
> [mm]\mathcal{A}\subset 2^E[/mm]. Dazu haben wir eine die Menge der
> Zeichenvektoren [mm]\mathcal{F}\subset \{0,+,-\}^E[/mm], also z.B.
> für [mm]n=4[/mm], sei [mm]X\in \mathcal{F}[/mm] gegeben durch [mm](0,+,0,-)[/mm].
> Für ein [mm]e\in E[/mm], bezeichnet [mm]X_e[/mm] die [mm]e-[/mm]te Komponente von [mm]X[/mm].
>
> Nun definiere ich die folgende Äquivalenzrelation ein:
> Zwei Elemente [mm]e,f\in E[/mm] heissen parallel, wenn entweder
> [mm]X_e=X_f[/mm] für all [mm]X\in\mathcal{F}[/mm] oder [mm]X_e=-X_f[/mm] für alle
> [mm]X\in\mathcal{F}[/mm]. Wobei die Konvention gilt [mm]-0=0,- - = +, -+=-[/mm].
Gemeint ist in der Definition von "parallel" offenbar ein gewöhnliches nicht ausschließendes "oder" anstelle des "entweder oder". (Sonst wären die Elemente [mm] $e\in E\setminus E^0$ [/mm] nicht parallel zu sich selbst, was im Falle [mm] $E^0\not=E$ [/mm] der Reflexivität der Relation widerspräche.)
> Die Äquivalenzklassen werden Parallelklassen genannt. Für
> [mm]X\in\mathcal{F}[/mm] sei [mm]X^0:=\{e\in E|X_e=0\}[/mm] und [mm]E^0:=\{e\in E| e\in X^0\forall X\in\mathcal{F}\}[/mm].
Also [mm] $E^0=\{e\in E\;|\;X_e=0\;\forall X\in\mathcal{F}\}$.
[/mm]
Nun zu [mm] $\mathcal{F}/E^0$. [/mm] Das ist gemäß Definition 0.4.1 eigentlich nur dann definiert, wenn [mm] $(E,\mathcal{F})$ [/mm] ein oriented matroid ist. Aber man könnte die Definition natürlich auch ohne diese Voraussetzung genauso treffen und es würde nichts an deiner Aussage ändern.
[mm] $\mathcal{F}/E^0$ [/mm] ist ein set of sign vectors auf [mm] $E\setminus E^0$. [/mm] Er ist definiert durch
[mm] $\mathcal{F}/E^0=\{X\setminus E^0\;|\;X\in\mathcal{F},E^0\subseteq X^0\}$,
[/mm]
wobei [mm] $X\setminus E^0$ [/mm] die Einschränkung von $X$ auf [mm] $E\setminus E_0$ [/mm] bezeichnet.
Da für alle [mm] $X\in\mathcal{F}$ [/mm] sowieso [mm] $E^0\subseteq X^0$ [/mm] gilt, können wir auch schreiben
[mm] $\mathcal{F}/E^0=\{X\setminus E^0\;|\;X\in\mathcal{F}\}$.
[/mm]
Während Parallelität bezüglich [mm] $\mathcal{F}$ [/mm] eine Äquivalenzrelation auf $E$ ist, ist Parallelität bezüglich [mm] $\mathcal{F}/E^0$ [/mm] eine Äquivalenzrelation auf [mm] $E\setminus E_0$.
[/mm]
> Wenn ich weiss, dass [mm]S=Z^0\backslash X^0[/mm] eine
> Parallelklasse von [mm]\mathcal{F} / E^0[/mm] ist für
> [mm]X,Z\in\mathcal{F}[/mm] und [mm]X^0=E^0[/mm], wieso ist [mm]S[/mm] dann auch eine
> Parallelklasse von [mm]\mathcal{F}[/mm]?
Dass [mm] $S=Z^0\backslash X^0$ [/mm] gilt, spielt für die Aussage keine Rolle.
Um die Beziehung der Parallelklassen von [mm] $\mathcal{F}$ [/mm] und [mm] $\mathcal{F}/E^0$ [/mm] zu verstehen, vergleiche zunächst die beiden Äquivalenzrelationen. Zeige:
1. Für [mm] $e,f\in E\setminus E^0$ [/mm] ist $e$ genau dann parallel zu $f$ bezüglich [mm] $\mathcal{F}/E^0$, [/mm] wenn $e$ zu $f$ parallel bezüglich [mm] $\mathcal{F}$ [/mm] ist.
2. Für alle [mm] $e\in E^0$, $f\in E\setminus E^0$ [/mm] ist $e$ nicht parallel zu $f$ bezüglich [mm] $\mathcal{F}$.
[/mm]
3. Gut fürs Verständnis der Parallelklassen von [mm] $\mathcal{F}$, [/mm] aber nicht nötig für deine Aussage:
Für alle [mm] $e,f\in E^0$ [/mm] sind $e$ und $f$ parallel bezüglich [mm] $\mathcal{F}$.
[/mm]
Aus 1., 2. und 3. kannst du dann eine sehr schöne Beziehung zwischen den Parallelklassen von [mm] $\mathcal{F}$ [/mm] und [mm] $\mathcal{F}\setminus E_0$ [/mm] herleiten, die über deine Aussage hinausgeht.
Viele Grüße
Tobias
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Guten Tag tobi
Kennst du dich mit Matroiden / Orientierten Matroiden aus? Ich konnte das Problem lösen mittels deiner Hilfe. Vielleicht kannst du mir auch noch bei einem anderen Problem helfen. Es geht um den Beweis von Theorem 0.7.13. für den Fall dass [mm] $Y\not= [/mm] 1$. Ab [mm] $X\preceq \tilde{Z}\preceq [/mm] Y$ verstehe ich nicht mehr wirklich viel. Ich sehe, dass $ [mm] \tilde{Z}\preceq [/mm] Y$ gilt und [mm] $Z\not= \tilde{Z}$. [/mm] Wieso gilt aber [mm] $X\preceq \tilde{Z}$?.
[/mm]
Wieso genau ist $S$ eine Parallelklasse von [mm] $\mathcal{F}/Y^0$ [/mm] und wieso folgt daraus (mittels Lemma 0.7.5) dass [mm] $\tilde{Z}_S=0$. [/mm]
Die letzte Frage wäre, wieso ist [mm] $Z^0\backslash Y^0$ [/mm] und [mm] $\tilde{Z}^0\backslash Y^0$ [/mm] Parallelklassen von [mm] $\mathcal{F}/Y^0$ [/mm] und [mm] $Y^0$? [/mm] Wieso soll nun wiederum Lemma 0.7.5 implizieren, dass [mm] $Z^0\subset [/mm] W$ oder [mm] $\tilde{Z}^0\subset [/mm] W$ gilt?
Dank für deine Hilfe.
Liebe Grüsse
Marianne
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 01:06 Di 01.10.2013 | | Autor: | tobit09 |
Hallo Marianne!
> Kennst du dich mit Matroiden / Orientierten Matroiden aus?
> Ich konnte das Problem lösen mittels deiner Hilfe.
> Vielleicht kannst du mir auch noch bei einem anderen
> Problem helfen.
Schön, dass du erfolgreich beim ursprünglichen Problem warst!
Leider habe ich absolut keine Ahnung von (orientierten) Matroiden und würde auch zu lange brauchen, mich da einzuarbeiten.
Falls du hier keine Antwort erhältst und du das Kapitel 0.7 für einen Seminarvortrag benötigen solltest, sind sicherlich die Veranstalter(innen) des Seminars gute Ansprechpartner (auch wenn man da verständlicherweise größere Hemmungen haben könnte als hier im Matheraum zu fragen).
Viele Grüße
Tobias
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 15:17 Mo 14.10.2013 | | Autor: | marianne88 |
Hallo tobi
Ich werde jemanden an meiner Uni fragen. Ich brauche Kapitel 0.7 für zwei spätere Kapitel in der Dissertation. Aber danke für deine Hilfe!
Liebe Grüsse
marianne
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 15:20 Do 31.10.2013 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
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