Äquivalenzrelation < Zahlentheorie < Algebra+Zahlentheo. < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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| Aufgabe | Verifizieren Sie, dass
(a,b) [mm] \sim [/mm] (c,d) [mm] \gdw [/mm] a+d=b+c
eine Äquivalenzrelation auf [mm] \IN \times \IN [/mm] definiert. Wie sehen die Äquivalenzklassen aus?
Mit [mm] [(a,b)]\sim [/mm] werde die [mm] \sim [/mm] -Äquivalenzklasse von (a,b) bezeichnet. Zeigen Sie, dass die Operation [mm] [(a,b)]\sim [/mm] + [mm] [(c,d)]\sim :=[(a+c,b+d)]\sim [/mm] wohldefiniert und assoziativ ist. Wie bezeichnet man [mm] (\IN \times \IN)/ \sim [/mm] üblicherweise?
Definieren Sie auch eine geeignete Multiplikation auf den Restklassen (ohne Beweis der Wohldefiniertheit).
Setzen Sie zur Lösung dieser Aufgabe lediglich die Addition natürlicher Zahlen (und deren elementaren Eigenschaften, speziell a+b=c+b [mm] \rightarrow [/mm] a=c) als bekannt voraus. |
Hallo 
Beschäftige mich gerade mit dieser Aufgabe und habe leider so einige Problemchen...
Ich habe erstmal geschrieben:
Damit (a,b) [mm] \sim [/mm] (c,d) [mm] \gdw [/mm] a+d=b+c eine Äquivalenzrelation definiert, muss die Reflexivität, Transitivität und die Symmetrie gelten:
Reflexivität:
z.z. A [mm] \in [/mm] R [mm] \rightarrow [/mm] A [mm] \sim [/mm] A [mm] \in [/mm] R
(a,b) [mm] \sim [/mm] (a,b) ist äquivalent zu a+b=b+a. Dies ist eine wahre Aussage, also reflexiv
Symmetrie:
z.z. A [mm] \sim [/mm] B [mm] \in [/mm] R [mm] \rightarrow [/mm] B [mm] \sim [/mm] A [mm] \in [/mm] R
(c,d) [mm] \sim [/mm] (a,b) ist äquivalent zu c+b=d+a, dies ist eine wahre Aussage, also symmetrisch
Transitivität:
z.z. A [mm] \sim [/mm] B [mm] \in [/mm] R [mm] \wedge [/mm] B [mm] \sim [/mm] C [mm] \in [/mm] R [mm] \rightarrow [/mm] A [mm] \sim [/mm] C [mm] \in [/mm] R
also (a,b) [mm] \sim [/mm] (c,d) und (c,d) [mm] \sim [/mm] (e,f) [mm] \rightarrow [/mm] (a,b) [mm] \sim [/mm] (e,f)
Diese Aussagen sind äquivalent zu
a+d=b+c und
c+f=d+e
z.z. a+f=b+e
a=b+c-d und f=d+e-c [mm] \rightarrow [/mm] a+f=b+c-d+d+e-c=b+e, wahre Aussage, also transitiv
Wie die Äquivalenzklassen aussehen und wie man dann damit arbeitet, kann ich auf Anhieb nicht wirklich sagen, da wir das in der Vorlesung noch gar nicht hatten und ich da doch ein wenig auf den Schlauch stehe..
Würde mich freuen, wenn jemand ein Tipp hat
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt
Viele Grüße,
derriemann
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 22:11 Mo 21.10.2013 | | Autor: | Marcel |
Hallo,
> Verifizieren Sie, dass
> (a,b) [mm]\sim[/mm] (c,d) [mm]\gdw[/mm] a+d=b+c
> eine Äquivalenzrelation auf [mm]\IN \times \IN[/mm] definiert. Wie
> sehen die Äquivalenzklassen aus?
>
> Mit [mm][(a,b)]\sim[/mm] werde die [mm]\sim[/mm] -Äquivalenzklasse von (a,b)
> bezeichnet. Zeigen Sie, dass die Operation [mm][(a,b)]\sim[/mm] +
> [mm][(c,d)]\sim :=[(a+c,b+d)]\sim[/mm] wohldefiniert und assoziativ
> ist. Wie bezeichnet man [mm](\IN \times \IN)/ \sim[/mm]
> üblicherweise?
>
> Definieren Sie auch eine geeignete Multiplikation auf den
> Restklassen (ohne Beweis der Wohldefiniertheit).
>
> Setzen Sie zur Lösung dieser Aufgabe lediglich die
> Addition natürlicher Zahlen (und deren elementaren
> Eigenschaften, speziell a+b=c+b [mm]\rightarrow[/mm] a=c) als
> bekannt voraus.
> Hallo
> Beschäftige mich gerade mit dieser Aufgabe und habe
> leider so einige Problemchen...
>
> Ich habe erstmal geschrieben:
>
> Damit (a,b) [mm]\sim[/mm] (c,d) [mm]\gdw[/mm] a+d=b+c eine
> Äquivalenzrelation definiert, muss die Reflexivität,
> Transitivität und die Symmetrie gelten:
>
> Reflexivität:
> z.z. A [mm]\in[/mm] R [mm]\rightarrow[/mm] A [mm]\sim[/mm] A [mm]\in[/mm] R
uuuh, Notation: Denke mal drüber nach, was $A [mm] \in [/mm] R$ bedeuten würde:
$A [mm] \in [/mm] R$ bedeutet, dass es Paare [mm] $P_1,P_2 \in \IN \times \IN$ [/mm] so gibt, dass [mm] $A=(P_1,P_2) \in [/mm] R.$
Dann gibt es $r,s,u,v [mm] \in \IN$ [/mm] mit [mm] $P_1=(r,s)$ [/mm] (d.h. [mm] $P_1$ [/mm] ist ein Paar mit Einträgen
aus [mm] $\IN$) [/mm] und [mm] $P_2=(u,v)$ [/mm] (analog) mit
[mm] $(P_1,P_2) \in [/mm] R$ [mm] $\gdw$ [/mm] $((r,s),(u,v)) [mm] \in [/mm] R$ [mm] $\gdw$ [/mm] $(r,s) [mm] \sim [/mm] (u,v)$ [mm] $\gdw$ [/mm] $r+v=s+u.$
Alleine das würde $A [mm] \in [/mm] R$ aussagen (genauer: charakterisieren). (Es ist doch
$R [mm] \subseteq (\IN \times \IN) \times (\IN \times \IN)$.) [/mm] Damit würde dann aber $A [mm] \sim [/mm] A$ sinnlos werden, denn [mm] $R\,$ [/mm] ist
eine Äquivalenzrelation auf [mm] $\IN \times \IN\,,$ [/mm] nicht eine auf [mm] $(\IN \times \IN) \times (\IN \times \IN)$...
[/mm]
(Beachte: Dass [mm] $\tilde{R}$ [/mm] eine ÄR auf [mm] $X\,$ [/mm] ist, bedeutet insbesondere, dass [mm] $\tilde{R} \subseteq [/mm] (X [mm] \times [/mm] X)$
gilt. Hättest Du oben eine ÄR auf [mm] $(\IN \times \IN) \times (\IN \times \IN),$ [/mm] so wäre also
$R [mm] \subseteq \red{(}(\IN \times \IN) \times (\IN \times \IN)\red{)} \times \red{(}(\IN \times \IN) \times (\IN \times \IN)\red{)}$... [/mm]
Anders gesagt: Bei Dir ist [mm] $X=\IN \times \IN$ [/mm] und nicht [mm] $X=\red{(}(\IN \times \IN) \times (\IN \times \IN)\red{)}$)
[/mm]
> (a,b) [mm]\sim[/mm] (a,b) ist äquivalent zu a+b=b+a. Dies ist eine
> wahre Aussage, also reflexiv
Ja, da solltest Du aber nicht vergessen, dass $a,b [mm] \in \IN$ [/mm] sind und erwähnenswert
ist dann insbesondere, dass [mm] $a+b=b+a\,$ [/mm] nichts anderes als die Kommutativität
der Addition [mm] $+\,$ [/mm] auf [mm] $\IN$ [/mm] ist, also: $+ [mm] \colon \IN \times \IN \to \IN$ [/mm] ist kommutativ.
Außerdem sollte da irgendwo stehen "Für alle $(a,b) [mm] \in \IN \times \IN$ [/mm] gilt..."
(Bekommst Du Dein Notationswirrwarr nun bereinigt und kannst das nochmal
selbst sauber aufschreiben?)
>
> Symmetrie:
> z.z. A [mm]\sim[/mm] B [mm]\in[/mm] R [mm]\rightarrow[/mm] B [mm]\sim[/mm] A [mm]\in[/mm] R
> (c,d) [mm]\sim[/mm] (a,b) ist äquivalent zu c+b=d+a, dies ist eine
> wahre Aussage, also symmetrisch
Auch i.W. okay (mit $A [mm] \sim [/mm] B [mm] \in [/mm] R$ kann ich hier auch wieder nicht viel anfangen,
das ist einfach ... unpassend!). Schreiben wir das nochmal sauber auf:
Wir setzen nun voraus, dass wir Paare $A,B [mm] \in \IN \times \IN$ [/mm] haben, die $A [mm] \sim [/mm] B$
erfüllen.
Wegen $A [mm] \in \IN \times \IN$ [/mm] gibt es [mm] $a_1,a_2 \in \IN$ [/mm] mit
[mm] $A=(a_1,a_2).$
[/mm]
Wegen $B [mm] \in \IN \times \IN$ [/mm] gibt es [mm] $b_1,b_2 \in \IN$ [/mm] mit
[mm] $B=(b_1,b_2).$
[/mm]
Dann gilt
$A [mm] \sim [/mm] B$ [mm] $\gdw$ $(a_1,a_2) \sim (b_1,b_2)$ $\Rightarrow$ $a_1+b_2=a_2+b_1.$
[/mm]
(Das letzte [mm] $\Rightarrow$ [/mm] kann man auch durch ein [mm] $\gdw$ [/mm] ersetzen, aber an dieser Stelle
reicht es eigentlich, wenn wir uns nur der Folgerungsrichtung [mm] $\Rightarrow$ [/mm] bedienen!)
Dann folgt wegen der Kommutativität der Addition und weil [mm] $=\,$ [/mm] symmetrisch
ist
[mm] $a_1+b_2=a_2+b_1$ $\Rightarrow$ $a_2+b_1=a_1+b_2$ $\Rightarrow$ $b_1+a_2=b_2+a_1$
[/mm]
so dass, nach Definition von [mm] $\sim$, [/mm] letzteres nichts anderes als
[mm] $(b_1,b_2) \sim (a_1,a_2)$
[/mm]
(was dann also [mm] $((b_1,b_2),(a_1,a_2)) \in [/mm] R,$ es folgt)
also $B [mm] \sim [/mm] A$ impliziert. Also:
Für alle $A,B [mm] \in \IN \times \IN,$ [/mm] die [mm] $\blue{A \sim B}$ [/mm] erfüllen (beachte den blauen Zusatz hier - bei
der Reflexivität gibt es keine solche Zusatzvoraussetzung!), folgt also, dass
auch $B [mm] \sim [/mm] A$ gilt.
> Transitivität:
> z.z. A [mm]\sim[/mm] B [mm]\in[/mm] R [mm]\wedge[/mm] B [mm]\sim[/mm] C [mm]\in[/mm] R [mm]\rightarrow[/mm] A
> [mm]\sim[/mm] C [mm]\in[/mm] R
Auch hier wieder zur Notation: Analog zu oben.
> also (a,b) [mm]\sim[/mm] (c,d) und (c,d) [mm]\sim[/mm] (e,f) [mm]\rightarrow[/mm]
> (a,b) [mm]\sim[/mm] (e,f)
> Diese Aussagen sind äquivalent zu
> a+d=b+c und
> c+f=d+e
> z.z. a+f=b+e
> a=b+c-d und f=d+e-c [mm]\rightarrow[/mm] a+f=b+c-d+d+e-c=b+e, wahre
> Aussage, also transitiv
Wie gesagt: Anfangs ist die Notation falsch (siehe oben). Ansonsten ist
das inhaltlich i.W. korrekt.
Vielleicht einmal, dass es ganz sauber da steht:
Es gilt ja für $(r,s), (u,v) [mm] \in \IN \times \IN$
[/mm]
$(r,s) [mm] \sim [/mm] (u,v)$ [mm] $\gdw$ [/mm] $r+v=s+u,$
also
1.) $(r,s) [mm] \sim [/mm] (u,v)$ [mm] $\Rightarrow$ [/mm] $r+v=s+u$
und
2.) $r+v=s+u$ [mm] $\Rightarrow$ [/mm] $(r,s) [mm] \sim [/mm] (u,v).$
Seien nun also $A,B,C [mm] \in \IN \times \IN$ [/mm] mit $A [mm] \sim [/mm] B$ und $B [mm] \sim [/mm] C$ vorgegeben.
Dann können wir mit (geeigneten) $a,b,c,d,e,f [mm] \in \IN$ [/mm] schreiben
[mm] $A=(a,b)\,,$ $B=(c,d)\,$ [/mm] und [mm] $C=(e,f)\,$
[/mm]
und wegen 1.) gilt
$A [mm] \sim [/mm] B$ [mm] $\gdw$ [/mm] $(a,b) [mm] \sim [/mm] (c,d)$ [mm] $\stackrel{\text{1.)}}{\Rightarrow}$ $a+d=b+c\,.$
[/mm]
Weiter (analog)
$B [mm] \sim [/mm] C$ [mm] $\stackrel{\text{1.)}}{\Rightarrow}$ $c+f=d+e\,.$
[/mm]
Dann rechnest Du, genau, wie Du es getan hast:
[mm] $a+f=b+e\,$
[/mm]
nach und folgerst dann mit 2.), dass daher auch $(a,b) [mm] \sim [/mm] (e,f)$ bzw., gleichbedeutend,
dann $A [mm] \sim [/mm] C$ gilt.
> Wie die Äquivalenzklassen aussehen und wie man dann damit
> arbeitet, kann ich auf Anhieb nicht wirklich sagen, da wir
> das in der Vorlesung noch gar nicht hatten und ich da doch
> ein wenig auf den Schlauch stehe..
>
> Würde mich freuen, wenn jemand ein Tipp hat
Du hast schon die Wohldefinierheit vergessen, zeige noch:
Für $(a,b),(c,d) [mm] \in \IN \times \IN$ [/mm] gilt: Für $(w,x), (y,z) [mm] \in \IN \times \IN$ [/mm] mit $(w,x) [mm] \sim [/mm] (a,b)$
(das bedeutet nichts anderes als $(w,x) [mm] \in [(a,b)]_\sim$)
[/mm]
und $(y,z) [mm] \sim [/mm] (c,d)$ (das bedeutet nichts anderes als $(y,z) [mm] \in [(c,d)]_\sim$)
[/mm]
folgt
$(w+y,x+z) [mm] \in [(a+c,b+d)]_{\sim}.$
[/mm]
(Das heißt dann nur: Die Addition ist unabhängig von der Wahl der
Repräsentanten - anders gesagt:
[mm] $[(w+y,x+z)]_{\sim}=[(a+c,b+d)]_{\sim}.$)
[/mm]
Zu den Äquivalenzklassen: Sei $(a,b) [mm] \in \IN \times \IN$ [/mm] beliebig, aber fest.
Wie kann man
[mm] $[(a,b)]_\sim$
[/mm]
beschreiben?
Nun: Für $x,y [mm] \in \IN$ [/mm] gilt
$(x,y) [mm] \in [(a,b)]_\sim$ $\gdw$ [/mm] $(x,y) [mm] \sim [/mm] (a,b)$ [mm] $\gdw$ $x+b=y+a\,.$
[/mm]
Also
[mm] $y=x+(b-a)\,.$
[/mm]
Würdest Du also
$f(x):=x+(b-a)$ $(x [mm] \in \IR)$
[/mm]
betrachten, so weißt Du sicher, wie der Graph von [mm] $f\,,$ [/mm] also die Menge
[mm] $G_f:=\{(x,y):\;\;y=x+(b-a),\;\;x \in \IR\}$
[/mm]
aussieht. Es ist nun nicht schwer, sich zu überlegen, wie
[mm] $G_f \cap (\IN \times \IN)$
[/mm]
aussieht...
Gruß,
Marcel
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 22:23 Mo 21.10.2013 | | Autor: | Marcel |
P.S.
So als Tipp:
Bspw. wäre
[mm] $[(5,1)]_\sim=\{(x,y) \in \IN^2:\;\;y=x+(1-5)\}$
[/mm]
quasi folgendes:
Der Graph von $f(x):=x+(1-5)=x-4$ ($x [mm] \in \IR$) [/mm] ist einfach eine Gerade mit
$y-$Achsenabschnitt [mm] $-4\,$ [/mm] und Steigung [mm] $1\,.$ [/mm] Betrachte den Graphen der
Funktion, die entsteht, wenn Du für [mm] $f\,$ [/mm] den Definitionsbereich einschränkst:
Nur noch $x [mm] \in [4,\infty) \cap \IN$ [/mm] wären dann bei diesem Definitionsbereich
der eingeschränkten Funktion zugelassen...
Bei [mm] $[(1,5)]_\sim$ [/mm] kann man wiederum (einfach) $x [mm] \in \IN$ [/mm] zulassen...
Tipp zur Beschreibung mit Worten: Man kann "1. Quadrant" mit verwenden...
Gruß,
Marcel
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Hi, erstmal danke für die ausführliche Antwort
Hab dann mal versucht, meine Notizen zu verbessern:
Eine Äquivalenzrelation auf der Menge [mm] \IN [/mm] ist eine Teilmenge R [mm] \subseteq \IN \times \IN, [/mm] welche die folgenden Bedingungen erfüllt: Reflexivität, Symmetrie und Transitivität:
Reflexivität:
Es muss gelten: [mm] \forall [/mm] A [mm] \in \IN [/mm] mit (a,b), a,b [mm] \in \IN, [/mm] gilt: (A,A) [mm] \in [/mm] R:
(A,A) [mm] \in [/mm] R ist äquivalent zu a+b=b+a. Da die Kommutativität auf [mm] \IN [/mm] definiert ist, ist dies eine wahre Aussage. Also reflexiv.
Symmetrie:
Es muss gelten: [mm] \forall [/mm] A,B [mm] \in \IN [/mm] für die (A,B) [mm] \in [/mm] R gilt, ist auch (B,A) [mm] \in [/mm] R:
Wegen A [mm] \in \IN \times \IN [/mm] gibt es [mm] a_{1},a_{2} \in \IN [/mm] mit [mm] A=(a_{1},a_{2}). [/mm] Wegen B [mm] \in \IN \times \IN [/mm] gibt es [mm] b_{1},b_{2} \in \IN [/mm] mit [mm] B=(b_{1},b_{2}). [/mm]
Dann gilt A [mm] \sim [/mm] B [mm] \gdw (a_{1},a_{2}) \sim (b_{1},b_{2}) \Rightarrow a_{1}+b_{2}=a_{2}+b_{1}. [/mm]
Dann folgt wegen der Kommutativität der Addition und weil = symmetrisch ist [mm] a_{1}+b_{2}=a_{2}+b_{1} \Rightarrow a_{2}+b_{1}=a_{1}+b_{2} \Rightarrow b_{1}+a_{2}=b_{2}+a_{1} [/mm] und dies ist äquivalent zu [mm] (b_{1},b_{2}) \sim (a_{1},a_{2}) \Rightarrow [/mm] B [mm] \sim [/mm] A [mm] \in [/mm] R.
Also für alle A,B [mm] \in \IN \times \IN, [/mm] die A [mm] \sim [/mm] B erfüllen, folgt also, dass auch B [mm] \sim [/mm] A gilt.
Transitivität:
Es gilt für (r,s), (u,v) [mm] \in \IN \times \IN
[/mm]
(r,s) [mm] \sim [/mm] (u,v) [mm] \gdw [/mm] r+v= s+u
also
1.) (r,s) [mm] \sim [/mm] (u,v) [mm] \Rightarrow [/mm] r+v=s+u und
2.) r+v=s+u [mm] \Rightarrow [/mm] (r,s) [mm] \sim [/mm] (u,v)
Seien nun A,B,C [mm] \in \IN \times \IN [/mm] mit A [mm] \sim [/mm] B und B [mm] \sim [/mm] C vorgegeben. Dann können wir mit (geeigneten) a,b,c,d,e,f [mm] \in \IN [/mm] schreiben
A=(a,b),B=(c,d) und C=(e,f) und wegen 1.) gilt
A [mm] \sim [/mm] B [mm] \gdw [/mm] (a,b) [mm] \sim [/mm] (c,d) [mm] \Rightarrow [/mm] a+d=b+c
weiter
B [mm] \sim [/mm] C [mm] \Rightarrow [/mm] c+f=d+e
a=b+c-d und f=d+e-c [mm] \Rightarrow [/mm] a+f=b+c-d+d+e-c=b+e [mm] \Rightarrow [/mm] wg. 2 folgt (a,b) [mm] \sim [/mm] (e,f) und dies ist äquivalent zu A [mm] \sim [/mm] C, also transitiv.
Also definiert (a,b) [mm] \sim [/mm] (c,d) [mm] \gdw [/mm] a+d=b+c eine Äquivalenzrelation auf [mm] \IN \times \IN.
[/mm]
Für die Äquivalenzklasse gilt:
Seien (x,y) [mm] \in [(a,b)]_{\sim } \gdw [/mm] (x,y) [mm] \sim [/mm] (a,b) [mm] \gdw [/mm] x+b=y+a.
Also y=x+(b-a).
Wir betrachten also f(x)=x+(b-a), x [mm] \in \IR.
[/mm]
Dies ist eine Gerade mit Steigung 1 und Schnittpunkt mit y-Achse bei (b-a).
(hier weiss ich leider nicht so richtig weiter, wie ich die Funktion weiter beschreiben soll.. :-(
Für (a,b),(c,d) [mm] \in \IN \times \IN [/mm] gilt: Für (w,x),(y,z) [mm] \in \IN \times \IN [/mm] mit (w,x) [mm] \sim [/mm] (a,b) und (y,z) [mm] \sim [/mm] (c,d) gilt:
(w,x) [mm] \sim [/mm] (a,b) [mm] \gdw [/mm] w+b=x+a (I)
(y,z) [mm] \sim [/mm] (c,d) [mm] \gdw [/mm] y+d=z+c (II)
Nun (I)+(II):
w+y+b+d=x+z+a+c
[mm] \Rightarrow [/mm] (w+y,x+z) [mm] \sim [/mm] (a+c,b+d) [mm] \Rightarrow [/mm] (w+y,x+z) [mm] \in [(a+c,b+d)]_{\sim }, [/mm] also [mm] [(w+y,x+z)]_{\sim } [/mm] = [mm] [(a+c,b+d)]_{\sim }
[/mm]
Wäre das so erst einmal in etwa i.O.?
LG,
derriemann
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 00:36 Mi 23.10.2013 | | Autor: | Marcel |
Hallo,
> Hi, erstmal danke für die ausführliche Antwort
>
> Hab dann mal versucht, meine Notizen zu verbessern:
>
> Eine Äquivalenzrelation auf der Menge [mm]\IN[/mm]
ja, aber "das Ding" ist halt, dass Du nicht eine ÄR auf [mm] $\IN$ [/mm] (nachzuprüfen)
hast, sondern eine auf [mm] $(\IN \times \IN).$ [/mm]
(Der "Test" $3 [mm] \sim [/mm] 7$ ist doch oben unsinnig, während der Test $(3,5) [mm] \sim [/mm] (7,9)$ "sinnvoll"
ist. Solch' ein Fehler ist aber typisch bei ÄR, viele hören "...ob [mm] $R\,$ [/mm] ÄR auf [mm] $X\,$ [/mm]
ist...", und denken dann, es wäre $R [mm] \subseteq X\,.$ [/mm] Es ist aber $R [mm] \subseteq [/mm] (X [mm] \times [/mm] X)$!)
> ist eine
> Teilmenge R [mm]\subseteq \IN \times \IN,[/mm] welche die folgenden
> Bedingungen erfüllt: Reflexivität, Symmetrie und
> Transitivität:
>
> Reflexivität:
> Es muss gelten: [mm]\forall[/mm] A [mm]\in \IN[/mm]
Nein, hier muss [mm] $\forall$ [/mm] $A [mm] \in \blue{\IN \times \IN}$ [/mm] stehen; s.o.!
> mit
Ergänze: [mm] $\red{A=}$
[/mm]
> (a,b), a,b [mm]\in \IN,[/mm]
> gilt: (A,A) [mm]\in[/mm] R:
> (A,A) [mm]\in[/mm] R ist äquivalent zu a+b=b+a. Da die
> Kommutativität auf [mm]\IN[/mm] definiert ist,
Dass "die Kommutativität auf [mm] $\IN$ [/mm] definiert ist", ist sprachlicher Unsinn.
Die ist nicht definiert, sondern die Addition [mm] $+\,$ [/mm] auf [mm] $\IN$ [/mm] (die Sprechweise
täuscht übrigens: der Definitionsbereich von [mm] $+\,$ [/mm] ist hier auch [mm] $\IN \times \IN$ [/mm] - das
ist aber analog zur obigen Sprechweise bei den ÄR) erfüllt halt die Eigenschaft,
kommutativ zu sein. (Man sagt auch [mm] "$+\,$ [/mm] kommutiert".)
> ist dies eine wahre
> Aussage. Also reflexiv.
>
> Symmetrie:
> Es muss gelten: [mm]\forall[/mm] A,B [mm]\in \IN[/mm] für die (A,B) [mm]\in[/mm] R
> gilt, ist auch (B,A) [mm]\in[/mm] R:
> Wegen A [mm]\in \IN \times \IN[/mm] gibt es [mm]a_{1},a_{2} \in \IN[/mm] mit
> [mm]A=(a_{1},a_{2}).[/mm] Wegen B [mm]\in \IN \times \IN[/mm] gibt es
> [mm]b_{1},b_{2} \in \IN[/mm] mit [mm]B=(b_{1},b_{2}).[/mm]
> Dann gilt A [mm]\sim[/mm] B [mm]\gdw (a_{1},a_{2}) \sim (b_{1},b_{2}) \Rightarrow a_{1}+b_{2}=a_{2}+b_{1}.[/mm]
> Dann folgt wegen der Kommutativität der Addition und weil
> = symmetrisch ist [mm]a_{1}+b_{2}=a_{2}+b_{1} \Rightarrow a_{2}+b_{1}=a_{1}+b_{2} \Rightarrow b_{1}+a_{2}=b_{2}+a_{1}[/mm]
> und dies ist
per Definitionem von [mm] $\sim$
[/mm]
> äquivalent zu [mm](b_{1},b_{2}) \sim (a_{1},a_{2}) \Rightarrow[/mm]
> B [mm]\sim[/mm] A [mm]\in[/mm] R.
> Also für alle A,B [mm]\in \IN \times \IN,[/mm] die A [mm]\sim[/mm] B
> erfüllen, folgt also, dass auch B [mm]\sim[/mm] A gilt.
Jepp - ich guck jetzt nicht mehr nach, aber das sieht doch eigentlich genauso
aus, wie das, was ich geschrieben hatte.
> Transitivität:
> Es gilt für (r,s), (u,v) [mm]\in \IN \times \IN[/mm]
> (r,s) [mm]\sim[/mm]
> (u,v) [mm]\gdw[/mm] r+v= s+u
> also
> 1.) (r,s) [mm]\sim[/mm] (u,v) [mm]\Rightarrow[/mm] r+v=s+u und
> 2.) r+v=s+u [mm]\Rightarrow[/mm] (r,s) [mm]\sim[/mm] (u,v)
> Seien nun A,B,C [mm]\in \IN \times \IN[/mm] mit A [mm]\sim[/mm] B und B [mm]\sim[/mm]
> C vorgegeben. Dann können wir mit (geeigneten) a,b,c,d,e,f
> [mm]\in \IN[/mm] schreiben
> A=(a,b),B=(c,d) und C=(e,f) und wegen 1.) gilt
> A [mm]\sim[/mm] B [mm]\gdw[/mm] (a,b) [mm]\sim[/mm] (c,d) [mm]\Rightarrow[/mm] a+d=b+c
> weiter
> B [mm]\sim[/mm] C [mm]\Rightarrow[/mm] c+f=d+e
Daraus ergibt sich
> a=b+c-d und f=d+e-c [mm]\Rightarrow[/mm] a+f=b+c-d+d+e-c=b+e
> [mm]\Rightarrow[/mm] wg. 2 folgt (a,b) [mm]\sim[/mm] (e,f) und dies ist
> äquivalent zu A [mm]\sim[/mm] C, also transitiv.
Genau, hier hast Du Deine Rechnung ergänzt! ![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]")
> Also definiert (a,b) [mm]\sim[/mm] (c,d) [mm]\gdw[/mm] a+d=b+c eine
> Äquivalenzrelation auf [mm]\IN \times \IN.[/mm]
Ich würde das anders formulieren, aber das kann man eigentlich auch so
stehen lassen.
> Für die Äquivalenzklasse gilt:
> Seien (x,y) [mm]\in [(a,b)]_{\sim } \gdw[/mm] (x,y) [mm]\sim[/mm] (a,b) [mm]\gdw[/mm]
> x+b=y+a.
> Also y=x+(b-a).
> Wir betrachten also f(x)=x+(b-a), x [mm]\in \IR.[/mm]
Das "also" würde ich weglassen - tatsächlich würde ich sogar eher sowas
schreiben, wie: "Wenn wir nun mal [mm] $f(x)=x+(b-a)\,$ [/mm] ($x [mm] \in \IR$) [/mm] betrachten, so wissen
wir aus der Schulmathematik folgendes über den Graphen [mm] $G_f$ [/mm] von [mm] $f\,$..."
[/mm]
Im Endeffekt muss man das ja nicht so machen, nur "kennt" man sowas
halt aus der Schule...
> Dies ist eine
> Gerade mit Steigung 1 und Schnittpunkt mit y-Achse bei
> (b-a).
> (hier weiss ich leider nicht so richtig weiter, wie ich
> die Funktion weiter beschreiben soll.. :-(
Eigentlich beschreibst Du (erstmal) den (kompletten) Funktionsgraphen [mm] $G_f \subseteq \IR^2.$ [/mm]
Bedenke nun halt, dass bei $(x,y) [mm] \in [(a,b)]_\sim$ [/mm] natürlich sowohl $x [mm] \in \IN$ [/mm] als auch insbesondere
$y [mm] \in \IN$ [/mm] sein muss. Daher kam ja mein Hinweis mit "1. Quadranten (und
dort nur "Schnitt der Geraden mit ganzzahligem Gitter")".
Skizziere Dir doch mal die Menge [mm] $[(1,5)]_\sim,$ [/mm] und dann auch die Menge [mm] $[(5,1)]_\sim$ [/mm] und vielleicht,
wenn Du Lust hast, auch die Menge [mm] $[(3,3)]_\sim.$ [/mm] Ich glaube, das hilft hier viel beim Verständnis!
Zum Beispiel: Wir zeichnen den [mm] $\IR^2\,.$ [/mm] Nun markieren wir erstmal alle
Punkte $(a,b)$ mit $(a,b) [mm] \in \IZ \times \IZ\,.$ [/mm] ("Ganzzahliges Gitter!")
Jetzt schränke das ganzzahlige Gitter auf den ersten Quadranten ein (ob
dabei Punkte der x-Achse bzw. y-Achse zugelassen sind oder nicht, hängt
davon ab, ob bei Euch $0 [mm] \in \IN$ [/mm] oder $0 [mm] \notin \IN$ [/mm] gilt - ich gehe von $0 [mm] \notin \IN$
[/mm]
im Folgenden aus, so dass keine Punkte der [mm] $x\,$-Achse [/mm] und auch keine der [mm] $y\,$-Achse [/mm] zur
Äquivalenzklasse gehören können!).
Zeichne halt die Gerade und schaue, wo sie die (markierten) Punkte (also die
des "ganzzahligen Gitters") im ersten Quadranten durchläuft/trifft. Diese
sind dann halt die Elemente der Äquivalenzklasse.
Beispiel: Ich gehe mal davon aus, dass $0 [mm] \notin \IN$ [/mm] gelte (s.o.). Betrachten wir [mm] $[(7,2)]_{\sim}\,.$
[/mm]
Zeichne Dir die Gerade [mm] $f(x)=x+(-5)\,.$ [/mm] Überlege Dir, dass der erste interessante
Punkt hier für $x=6$ entsteht (wie gesagt: $0 [mm] \notin \IN$ [/mm] nehme ich an). Das bedeutet,
dass der Punkt [mm] $(6,1)\,$ [/mm] in [mm] $[(7,2)]_\sim$ [/mm] liegt. Rein "vom Geometriewissen über
Geraden" bedeutet das nun, weil wir uns ja in [mm] $\IN \times \IN$ [/mm] bewegen wollen,
dass man sagen kann: Starten wir bei [mm] $(6,1)\,,$ [/mm] so erhalten wir alle Punkte der
Menge [mm] $[(7,2)]_\sim,$ [/mm] indem wir (sukzessive) 1 nach rechts und 1 nach oben
gehen. Formal kann man das etwa so hinschreiben:
[mm] $[(7,2)]_\sim=\{(x,y):\;\;x=6+m \wedge y=1+m \text{ mit einem }m \in \IN\}.$
[/mm]
Aber ich denke, Du solltest das erstmal "geometrisch" verstehen. Dann wird
Dir das "Formale" nämlich wie Schuppen von den Augen fallen!
> Für (a,b),(c,d) [mm]\in \IN \times \IN[/mm] gilt: Für (w,x),(y,z)
> [mm]\in \IN \times \IN[/mm] mit (w,x) [mm]\sim[/mm] (a,b) und (y,z) [mm]\sim[/mm]
> (c,d) gilt:
> (w,x) [mm]\sim[/mm] (a,b) [mm]\gdw[/mm] w+b=x+a (I)
> (y,z) [mm]\sim[/mm] (c,d) [mm]\gdw[/mm] y+d=z+c (II)
> Nun (I)+(II):
> w+y+b+d=x+z+a+c
Hier kann man noch [mm] $\iff [/mm] (w+y)+(b+d)=(x+z)+(a+c)$ ergänzen! (Ist Dir der
Unterschied klar? $a+b+c+d$ bedeutet normalerweise $((a+b)+c)+d,$ da passiert
bei [mm] $\iff$ [/mm] also etwas: Assoziativität!)
> [mm]\Rightarrow[/mm] (w+y,x+z) [mm]\sim[/mm] (a+c,b+d) [mm]\Rightarrow[/mm] (w+y,x+z)
> [mm]\in [(a+c,b+d)]_{\sim },[/mm] also [mm][(w+y,x+z)]_{\sim }[/mm] = [mm][(a+c,b+d)]_{\sim }[/mm]
> Wäre das so erst einmal in etwa i.O.?
Bis auf den Anfangsfehler bei der Reflexivität sieht das, denke ich, gut aus
(aber ich kann, gerade zu so später Stunde, natürlich auch mal etwas
übersehen).
P.S. [mm] $f(x)=mx+n\,$ [/mm] mit $x [mm] \in \IR$ [/mm] ist eigentlich "eine Funktionsbeschreibende
Gleichung" einer Geraden des [mm] $\IR^2$ [/mm] (welche nicht parallel zur [mm] $y\,$-Achse
[/mm]
verlaufe).
Die eigentliche Gerade des [mm] $\IR^2,$ [/mm] "die man beim Skizzieren sieht", ist
[mm] $G_f=\{(x,y) \in \IR^2:\;\;y=m*x+n;\;\;x \in \IR\}=\{(x,m*x+n):\;\; x \in \IR\}\,.$
[/mm]
Insbesondere ist also [mm] $G_f \subseteq \IR^2,$ [/mm] was auch unserer Anschauung entspricht,
wenn wir eine "Gerade auf einem Blatt Papier sehen"... (das Papier ist irgendwie
was zweidimensionales...)
Beim Punkt $(x,y) [mm] \in G_f$ [/mm] mit [mm] $x=0\,$ [/mm] nennt man halt, passend, den zugehörigen
Wert [mm] $y=m*0+n=n\,$ [/mm] einfach [mm] "$y\,$-Achsenabschnitt". [/mm] Was bei Deiner Aufgabe auch
benutzt werden kann, wenn Du ÄR beschreiben willst, ist natürlich "die Nullstelle"
einer solchen Geraden - zumal bei Dir eh immer [mm] $m=1\,$ [/mm] ist. (Sowas wird
aber nur interessant, wenn der [mm] $y\,$-Achsenabschnitt [/mm] nicht echt positiv ist!)
Eine Nulllstelle von [mm] $f\,$ [/mm] ist halt, wenn man im Graphen denkt, einfach eine
Stelle [mm] $x_0$ [/mm] derart, dass [mm] $(x_0,y_0) \in G_f$ [/mm] mit [mm] $y_0=0\,$ [/mm] gilt. (Hinweis: Bei Deinen
Geraden sind Nullstellen immer ganzzahlig, ebenso [mm] $y\,$-Achsenabschnitte!)
[/mm]
Das Ganze ist übrigens gar nicht wirklich schwer, nur wirkt es anfangs
vielleicht verwirrend, weil man sich erst an gewisse Denkweisen gewöhnen
muss und es vielleicht nicht ganz so gewohnt ist, die Dinge penibelst genau
zu bezeichnen.
Gruß,
Marcel
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 06:28 Mi 23.10.2013 | | Autor: | tobit09 |
Hallo derriemann und herzlich ![[willkommenmr]](/images/smileys/willkommenmr.png "[willkommenmr]") !
Zwei Ergänzungen zu Marcels Antwort:
> Transitivität:
> Es gilt für (r,s), (u,v) [mm]\in \IN \times \IN[/mm]
> (r,s) [mm]\sim[/mm]
> (u,v) [mm]\gdw[/mm] r+v= s+u
> also
> 1.) (r,s) [mm]\sim[/mm] (u,v) [mm]\Rightarrow[/mm] r+v=s+u und
> 2.) r+v=s+u [mm]\Rightarrow[/mm] (r,s) [mm]\sim[/mm] (u,v)
> Seien nun A,B,C [mm]\in \IN \times \IN[/mm] mit A [mm]\sim[/mm] B und B [mm]\sim[/mm]
> C vorgegeben. Dann können wir mit (geeigneten) a,b,c,d,e,f
> [mm]\in \IN[/mm] schreiben
> A=(a,b),B=(c,d) und C=(e,f) und wegen 1.) gilt
> A [mm]\sim[/mm] B [mm]\gdw[/mm] (a,b) [mm]\sim[/mm] (c,d) [mm]\Rightarrow[/mm] a+d=b+c
> weiter
> B [mm]\sim[/mm] C [mm]\Rightarrow[/mm] c+f=d+e
> a=b+c-d und f=d+e-c [mm]\Rightarrow[/mm] a+f=b+c-d+d+e-c=b+e
> [mm]\Rightarrow[/mm] wg. 2 folgt (a,b) [mm]\sim[/mm] (e,f) und dies ist
> äquivalent zu A [mm]\sim[/mm] C, also transitiv.
Ich verstehe die Aufgabenstellung so, dass man nur die Addition und nicht die Subtraktion natürlicher Zahlen als bekannt voraussetzen soll.
Es gilt
$(a+f)+(c+d)=(a+d)+(c+f)=(b+c)+(d+e)=(b+e)+(c+d)$
und damit wie gewünscht
$a+f=b+e$.
Die Äquivalenzklassen würde ich auch im Hinblick auf die Frage nach der üblichen Bezeichnung von [mm] $(\IN\times\IN)/\sim$ [/mm] wie folgt beschreiben:
Sei [mm] $(a,b)\in\IN\times\IN$. [/mm] Wir wollen die Äquivalenzklasse [mm] $[(a,b)]_\sim$ [/mm] von $(a,b)$ beschreiben.
1. Fall: a=b
Dann gilt
[mm] $[(a,b)]_\sim=[(a,a)]_\sim=\{(x,y)\in\IN\times\IN\;|\;a+y=a+x\}=\{(x,y)\in\IN\times\IN\;|\;y=x\}=\{(x,x)\;|\;x\in\IN\}=:D$.
[/mm]
2. Fall: Es existiert eine natürliche Zahl [mm] $n\not=0$ [/mm] mit $a=b+n$.
(Eigentlich ist dies einfach der Fall $a>b$. Aber da ja nur die Addition als bekannt vorausgesetzt werden soll, umschreibe ich diesen Fall mithilfe der Addition.)
Dann gilt
[mm] $[(a,b)]_\sim=[(b+n,b)]_\sim=\{(x,y)\in\IN\times\IN\;|\;b+n+y=b+x\}=\{(x,y)\in\IN\times\IN\;|\;n+y=x\}=\{(y+n,y)\;|\;y\in\IN\}=:\tilde{n}$.
[/mm]
3. Fall: Es existiert eine natürliche Zahl [mm] $m\not=0$ [/mm] mit $a+m=b$.
(Eigentlich: $b>a$.)
Dann gilt
[mm] $[(a,b)]_\sim=[(a,a+m)]_\sim=\{(x,y)\in\IN\times\IN\;|\;a+y=a+m+x\}=\{(x,y)\in\IN\times\IN\;|\;y=m+x\}=\{(x,x+m)\;|\;x\in\IN\}=:\overline{m}$.
[/mm]
Es gilt
[mm] $(\IN\times\IN)/\sim=\{D\}\cup\{\tilde{n}\;|\;n\in\IN,n\not=0\}\cup\{\overline{m}\;|\;m\in\IN,m\not=0\}=\{D\}\cup\{\tilde{1},\tilde{2},\tilde{3},\ldots\}\cup\{\overline{1},\overline{2},\overline{3},\ldots\}$.
[/mm]
Man kann sich darüber hinaus überlegen, dass jede Äquivalenzklasse [mm] $K\in(\IN\times\IN)/\sim$ [/mm] GENAU eine der drei Formen $K=D$, [mm] $K=\tilde{n}$ [/mm] für ein [mm] $n\in\IN$ [/mm] mit [mm] $n\not=0$ [/mm] oder [mm] $K=\overline{m}$ [/mm] für ein [mm] $m\in\IN$ [/mm] mit [mm] $m\not=0$ [/mm] hat.
In den beiden letzteren Fällen ist $n$ bzw. $m$ außerdem eindeutig bestimmt.
Damit haben wir die Gesamtheit der Äquivalenzklassen gut verstanden.
Nach Einführung der Addition auf [mm] $(\IN\times\IN)/\sim$ [/mm] kann man sich überlegen, dass $D$ ein neutrales Element bezüglich der Addition ist.
Daher können wir $D=0$ schreiben.
Für jedes [mm] $n\in\IN$ [/mm] mit [mm] $n\not=0$ [/mm] besitzt [mm] $\tilde{n}$ [/mm] ein Inverses bezüglich der Addition, nämlich [mm] $\overline{n}$.
[/mm]
Daher können wir [mm] $\overline{n}=-\tilde{n}$ [/mm] schreiben.
Somit gilt
[mm] $(\IN\times\IN)/\sim=\{0\}\cup\{\tilde{n}\;|\;n\in\IN,n\not=0\}\cup\{-\tilde{n}\;|\;n\in\IN,n\not=0\}=\{0\}\cup\{\tilde{1},\tilde{2},\tilde{3},\ldots\}\cup\{-\tilde{1},-\tilde{2},-\tilde{3},\ldots\}$
[/mm]
und jedes [mm] $K\in(\IN\times\IN)/\sim$ [/mm] hat genau eine der Formen $K=0$, [mm] $K=\tilde{n}$ [/mm] für ein [mm] $n\in\IN$ [/mm] mit [mm] $n\not=0$ [/mm] oder [mm] $K=-\tilde{n}$ [/mm] für ein [mm] $n\in\IN$ [/mm] mit [mm] $n\not=0$.
[/mm]
In den beiden letztgenannten Fällen ist $n$ eindeutig bestimmt.
Jetzt haben wir [mm] $(\IN\times\IN)/\sim$ [/mm] unter Nutzung der Addition darauf noch etwas besser verstanden.
Hast du jetzt eine Idee, wie man (wenn man den Unterschied zwischen $n$ und [mm] $\tilde{n}$ [/mm] vernachlässigt) [mm] $(\IN\times\IN)/\sim$ [/mm] üblicherweise bezeichnet?
(Die Vernachlässigung des Unterschiedes zwischen $n$ und [mm] $\tilde{n}$ [/mm] wird auch durch
[mm] $\tilde{n}+\tilde{m}=\widetilde{n+m}$
[/mm]
für alle [mm] $n,m\in\IN$ [/mm] mit [mm] $n\not=0$ [/mm] gerechtfertigt.
Dabei steht das $+$ auf der linken Seite für die Addition von [mm] $(\IN\times\IN)/\sim$ [/mm] und das $+$ auf der rechten Seite für die Addition von [mm] $\IN$.)
[/mm]
Viele Grüße
Tobias
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 16:44 Mi 23.10.2013 | | Autor: | Marcel |
Hallo Tobi,
> Hallo derriemann und herzlich !
>
>
> Zwei Ergänzungen zu Marcels Antwort:
>
>
> > Transitivität:
> > Es gilt für (r,s), (u,v) [mm]\in \IN \times \IN[/mm]
> > (r,s)
> [mm]\sim[/mm]
> > (u,v) [mm]\gdw[/mm] r+v= s+u
> > also
> > 1.) (r,s) [mm]\sim[/mm] (u,v) [mm]\Rightarrow[/mm] r+v=s+u und
> > 2.) r+v=s+u [mm]\Rightarrow[/mm] (r,s) [mm]\sim[/mm] (u,v)
> > Seien nun A,B,C [mm]\in \IN \times \IN[/mm] mit A [mm]\sim[/mm] B und B
> [mm]\sim[/mm]
> > C vorgegeben. Dann können wir mit (geeigneten) a,b,c,d,e,f
> > [mm]\in \IN[/mm] schreiben
> > A=(a,b),B=(c,d) und C=(e,f) und wegen 1.) gilt
> > A [mm]\sim[/mm] B [mm]\gdw[/mm] (a,b) [mm]\sim[/mm] (c,d) [mm]\Rightarrow[/mm] a+d=b+c
> > weiter
> > B [mm]\sim[/mm] C [mm]\Rightarrow[/mm] c+f=d+e
> > a=b+c-d und f=d+e-c [mm]\Rightarrow[/mm] a+f=b+c-d+d+e-c=b+e
> > [mm]\Rightarrow[/mm] wg. 2 folgt (a,b) [mm]\sim[/mm] (e,f) und dies ist
> > äquivalent zu A [mm]\sim[/mm] C, also transitiv.
> Ich verstehe die Aufgabenstellung so, dass man nur die
> Addition und nicht die Subtraktion natürlicher Zahlen als
> bekannt voraussetzen soll.
das stimmt, es steht ja auch in der Aufgabenstellung explizit so drin. Ich
hab' das - etwas betriebsblind - einfach überlesen bzw. vergessen gehabt. 
Gruß,
Marcel
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