Äquivalenzrelationen < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
|
Erstmal kurz die Aufgabe
Welche der folgenden Relationen auf [mm] \IZ [/mm] sind Äquivalenzrelationen.
(a) x [mm] \sim [/mm] y [mm] :\gdw x\le [/mm] y.
(b) x [mm] \sim [/mm] y [mm] :\gdw [/mm] x = y
(c) x [mm] \sim [/mm] y [mm] :\gdw [/mm] x = |y|
(d) x [mm] \sim [/mm] y [mm] :\gdw \existsk \in \IZ [/mm] mit x - y = 5k
(e) x [mm] \sim [/mm] y [mm] :\gdw [/mm] x|y, d.h. x teilt y
Bestimme in den positiven Fällen die Äquivalenzklassen.
Meine Lösungen/Ansätze
Man muss eigentlich nur schaun ob die Relationen oben Reflexivität, die Symmetrie und die Transitivität gegeben sind. Ist dies der Fall, handelt es sich um eine Äquivalenzrelation. Ist mind. eines der Kriterien nicht gegeben ist es keine Äquivalenzrelation.
zu (a) x [mm] \sim [/mm] y [mm] :\gdw [/mm] x [mm] \le [/mm] y
-Reflesivität: zu zeigen: [mm] \forall [/mm] x [mm] \sim [/mm] y gilt: x [mm] \sim [/mm] x [mm] :\gdw [/mm] x [mm] \le [/mm] x. Die Reflexivität ist soweit gegeben, da x [mm] \le [/mm] x.
- Symmetrie: zu zeigen: x [mm] \sim [/mm] y [mm] \gdw y\sim [/mm] x
x [mm] \sim [/mm] y heißt: x [mm] \le [/mm] y. Aber - x [mm] [s]\le[/s] [/mm] y. Daher liegt keine Symmetrie vor.
Folgerung: Die relation aus (a) ist keine Äquivalenzrelation.
zu (b) x [mm] \sim [/mm] y [mm] :\gdw [/mm] x = y
- Reflexivität: zu zeigen: [mm] \forall x\sim [/mm] y , [mm] x\sim [/mm] x heißt x = x. Dies ist erfüllt-
- Symmetrie: z.z. [mm] x\sim [/mm] y [mm] \rightarrow y\sim [/mm] x
[mm] x\sim [/mm] y heißt x = y. Dann gilt laut Kommutativgesetz auch
y = x
-Transitivität: z.z. x [mm] \simy \wedge y\sim [/mm] z [mm] \rightarrow x\sim [/mm] z
x [mm] \sim [/mm] y bedeutet x =y, y [mm] \sim [/mm] z bedeutet y = z. Also gilt x = z und x [mm] \sim [/mm] z
Folgerung: Die Relation in (b) ist eine Äquivalentzrelation.
Frage hier: Wie bestimm ich hier nun die Äquivalenzklasse?
zu (c) x [mm] \sim [/mm] y [mm] :\gdw [/mm] x = |y|
- Reflexivität: z.z. [mm] \forall x\simy [/mm] , x [mm] \sim [/mm] x heißt aber x = |x| .Nur x [mm] \ge [/mm] 0 würden diese Relation zur Äquivalenzrelation machen, da aber die Relationen auf [mm] \IZ [/mm] sind, den ganzen Zahlen ist dies nicht gegeben, und da nicht ausdrücklich gesagt wurde dass man sich im positiven Bereich von [mm] \IZ [/mm] aufhalten soll würd ich hier abbrechen und sagen.
Folgerung: (c) ist keine Äquivalenzrelation
zu (d) x [mm] \sim [/mm] y [mm] :\gdw \existsk \in \IZ [/mm] mit x - y = 5k
- Reflexivität: z.z. [mm] \existsk \in \IZ [/mm] mit [mm] x\sim [/mm] x
[mm] x\simx [/mm] heißt aber: 5 teilt x-x . Dies gilt, da x-x = 0 und 5 wegen 5 [mm] \dot [/mm] 0 = 0 ein Teiler von 0 ist.
- Symmetrie: z.z. x [mm] \sim [/mm] y [mm] \rightarrow [/mm] y [mm] \sim [/mm] x
x [mm] \sim [/mm] y heißt: 5 teit x - y. Dann teil 5 auch -(x-y) = y - x . Also gilt y [mm] \sim [/mm] x
- Transivität: z.z. x [mm] \sim [/mm] y \ wedge y [mm] \sim [/mm] z [mm] \Rightarrow x\sim [/mm] z
[mm] x\sim [/mm] y bedeutet 5 teilt x - y, [mm] y\sim [/mm] z bedeutet 5 teilt y-z. Es gilt also [mm] m,n\in \IZ [/mm] mit 5n =x -y und 5m =y-z. Addition der Gleichungen: 5m+5n = x-y+y-z
[mm] \rightarrow [/mm] 5(m+n) = x-z . d.h. es gilt [mm] k\in \IN [/mm] (k = n+m) mit 5k = x-z, d.h. 5 teilt x-z. Damit ist x [mm] \sim [/mm] z gezeigt.
Frage auch hier: Wie heißt die Äquivalenzklasse?
zu (e) x [mm] \sim [/mm] y [mm] :\gdw [/mm] x|y, d.h. x teilt y
- Reflexivität: z.z. [mm] \forallx\in\IZ [/mm] gilt x|x, d.h. x teilt x . Dies gilt.
- Symmetrie: z.z. x [mm] \sim [/mm] y [mm] \rightarrow y\sim [/mm] x
x [mm] \sim [/mm] y heißt x teilt y, dann teilt y auch x? Dies ist nicht gegeben.
Folgerung: Die relation aus (e) ist nicht Äquivalent.
Hoffe ihr könnt alles lesen, sprich das Formelsystem übersetzt alles und ihr könnt mir sagen obs stimmt und wie ich die fehlenden klassen bestimme.
grüße,
SystemLordAnubis
|
|
| |
|
Hallo!
Das stimmt alles so weit... allerdings ein kleiner Hinweis: wenn etwas (wie bei a) ) KEINE Äquivalenzrelation ist, dann genügt es, ein Gegenbeispiel anzugeben.
Z.B. $3 [mm] \leq [/mm] 5$ ist wahr, aber $5 [mm] \leq [/mm] 3$ ist falsch, damit ist das Ding icht symmetrisch, fertig. 
Zu den Klassen: Du suchst jetzt in den beiden Fällen die Menge der Äquivalenzklassen.
Bei b) gilt doch: wenn $x [mm] \in \IZ$ [/mm] beliebig ist, dann ist
$[x] = [mm] \{ y \in \IZ : x \sim y \} [/mm] = [mm] \{ y \in \IZ : x = y \} [/mm] = [mm] \{ x \}$
[/mm]
Das heißt, die Klassen sind die Punkte selbst. In dem Fall ist die Menge der Äquivalenzklassen wieder [mm] $\IZ$ [/mm] - in jeder Klasse liegt genau ein Element, weil nur ein Element zu sich selbst gleich ist. 
Und was ist bei d)?
Die Klasse von $x$ besteht aus allen Zahlen $y [mm] \in \IZ$ [/mm] für die gilt: $x - y = 5k$ bzw. $x$ und $y$ lassen bei Division durch 5 den gleichen Rest.
Diese Klassen nennt man auch "Restklassen" - es gibt ja nur 5 mögliche Reste bei Division durch 5. Genauer sehen die Klassen so aus:
$[0] = [mm] \{ \ldots, -15, -10, -5, 0, 5, 10, 15, 20, \ldots \} [/mm] = [mm] \{ 5k : k \in \IZ \}$
[/mm]
$[1] = [mm] \{ \ldots, -14, -9, -4, 1, 6, 11, 16, 21, \ldots \} [/mm] = [mm] \{ 5k + 1: k \in \IZ \}$
[/mm]
$[2] = [mm] \{ \ldots, -13, -8, -3, 2, 7, 12, 17, 22, \ldots \} [/mm] = [mm] \{ 5k + 2: k \in \IZ \}$
[/mm]
$[3] = [mm] \{ \ldots, -12, -7, -2, 3, 8, 13, 18, 23, \ldots \} [/mm] = [mm] \{ 5k + 3 : k \in \IZ \}$
[/mm]
$[4] = [mm] \{ \ldots, -11, -6, -1, 4, 9, 14, 19, 24, \ldots \} [/mm] = [mm] \{ 5k + 4: k \in \IZ \}$
[/mm]
Es ist also die "5er-Reihe" und auch die verschobenen Reihen.
Alles klar?
Lars
|
|
|
|
