Äquivalenzrelationen < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 14:59 Mo 22.11.2004 | | Autor: | JayJay |
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Hey Leute,
hab ne Aufgabe die mir zwar logisch erscheint, bei der ich aber auf keinen grünen Zweig komm:
Auf einer Menge M seien zwei Äquivalenzrelationen [mm] \sim [/mm] und [mm] \approx [/mm] gegeben. Dann heißt [mm] \sim [/mm] eine Vergröberung von [mm] \approx, [/mm] falls für alle a,b [mm] \in [/mm] M gilt:
a [mm] \approx [/mm] b [mm] \Rightarrow [/mm] a [mm] \sim [/mm] b
Es seien M/ [mm] \sim [/mm] bzw. M/ [mm] \approx [/mm] die Mengen der Äquivalenzklassen von M bezüglich [mm] \sim [/mm] bzw. [mm] \approx. [/mm] Zeigen Sie: Ist [mm] \sim [/mm] eine Vergröberung von [mm] \approx, [/mm] so gibt es eine surjektive Abbildung
f:(M/ [mm] \approx) \to [/mm] (M/ [mm] \sim)
[/mm]
Eigentlich müsste doch die Menge M/ [mm] \sim [/mm] schon in der Menge M/ [mm] \approx [/mm] liegen, oder?
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 18:42 Mo 22.11.2004 | | Autor: | Clemens |
Hallo Johann!
Sei [m]* die Äquivalenzklasse von m unter [mm] \approx [/mm] und [m] die Äquivalenzklasse von m unter ~.
Nach der Definition der Äquivalenzklasse ist jedes Element vom (M/ [mm] \approx) [/mm] nicht-leer und damit existiert eine Funktion g: (M/ [mm] \approx) [/mm] --> M, die jeder Äquivalenzklasse ein Element in ihr zuordnet (g([m]*) [mm] \in[/mm] [m]*).
Nun definieren wir f durch
f: (M/ [mm] \approx) [/mm] --> (M/ ~), [m]* --> f([m]*) := [g([m]*)]
eine surjektive Abbildung, denn wenn wir ein Element [m1] aus (M/ ~) betrachten, so wählen wir ein beliebiges Element m2 [mm] \in [/mm] [m1] und sehen sofort, dass [m2]* [mm] \subseteq [/mm] [m1] (denn aus m3 [mm] \in[/mm] [m2]* folgt m3 [mm] \approx [/mm] m2 und daraus m3 ~ m2. Da m2 [mm] \in [/mm] [m1], gilt m2 ~ m1 und dann auch m3 ~ m1, woraus m3 [mm] \in [/mm] [m1] folgt) . Daher gilt auf jeden Fall g([m2]*) [mm] \in [/mm] [m1] und damit f([m2]*) = [m1].
> Eigentlich müsste doch die Menge M/ [mm]\sim[/mm] schon in der Menge
> M/ [mm]\approx[/mm] liegen, oder?
Warum?
Gruß Clemens
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