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(Frage) reagiert/warte auf Reaktion  | | Datum: | 12:01 Sa 27.10.2007 | | Autor: | heinrich01 |
| Aufgabe | A,B sind ÄR auf einer Menge M. Welche der folgenden Relationen [mm] C_{i} [/mm] sind ebenfalls ÄR? (wenn ja dann Beweis, für nein reicht ein Gegenbeispiel)
[mm] C_{1} [/mm] := A [mm] \cap [/mm] B, [mm] C_{2} [/mm] := A [mm] \cup [/mm] B, [mm] C_{3} [/mm] := A [mm] \backslash [/mm] B, [mm] C_{4} [/mm] := A [mm] \Delta [/mm] B, [mm] C_{5} [/mm] := A [mm] \circ [/mm] B, [mm] C_{6} [/mm] := [mm] \overline{B} [/mm] |
An sich ist die Aufgabe ja nicht schwer. Nur wundert es mich, dass nach meinen Lösungen keine Relation [mm] C_{i} [/mm] ÄR ist.
Hab mir dafür mal einfach folgendes Beispiel rausgesucht.
M = {a,b,c,d,e}, A = {(a,a) , (a,b) , (b,a) , (b,b)}, [mm] B_{1} [/mm] = {(b,b) , (b,c) , (c,b) , (c,c)}, [mm] B_{2} [/mm] = {(d,d) , (d,e) , (e,d) , (e,e)}
M, A, [mm] B_{1} [/mm] und [mm] B_{2} [/mm] sind ÄR, da sie reflexiv, symmetrisch und transitiv sind. So weit müsste es ja stimmen, oder?
Jetzt betrachtet man die verschiedenen Relationen [mm] C_{i}.
[/mm]
[mm] C_{1} [/mm] = A [mm] \cap B_{1} [/mm] = {(1,1)}, aber A [mm] \cap B_{2} [/mm] = [mm] \emptyset
[/mm]
d.h. [mm] C_{1} [/mm] ist keine ÄR, da [mm] \emptyset [/mm] keine ÄR ist
[mm] C_{2} [/mm] := A [mm] \cup B_{1} [/mm] = {(aa) , (a,b) , (b,a) , (b,b) , (b,c) , (c,b) , (c,c)}
d.h. [mm] C_{2} [/mm] ist keine ÄR, da sie nicht transitiv ist (z.B. fehlt das Paar (a,c))
[mm] C_{3} [/mm] := A [mm] \backslash B_{1} [/mm] = {(a,a) , (a,b) , (b,a)}
d.h. [mm] C_{3} [/mm] ist keine ÄR, da sie nicht reflexiv ist (es fehlt das Paar (b,b))
[mm] C_{4} [/mm] := A [mm] \Delta B_{1} [/mm] = (A [mm] \backslash B_{1}) \cup (B_{1} \backslash [/mm] A) = {(a,a) , (a,b) , (b,a)} [mm] \cup [/mm] {(b,c) , (c,b,) , (c,c)} = {(a,a) , (a,b) , (b,a) , (b,c) , (c,b,) , (c,c)}
d.h. [mm] C_{4} [/mm] ist keine ÄR, da sie z.B. nicht reflexiv ist (es fehlt das Paar (b,b))
[mm] C_{5} [/mm] := A [mm] \circ B_{1} [/mm] = {(a,c) , (b,c)}
d.h. [mm] C_{5} [/mm] ist keine ÄR, da sie z.B. nicht reflexiv ist (es fehlt z.B. das Paar (a,a))
[mm] C_{6} [/mm] := [mm] \overline{B_{1}} [/mm] = {(a,c) , (a,d) , (a,e) , (b,c) ... }
Elemente der Relation müssen nicht weiter aufgeführt werden, da die Relation u.a. nicht reflexiv ist (es fehlt z.B. das Paar (a,a), da es in [mm] B_{1} [/mm] enthalten ist, kann es nicht in [mm] \overline{B_{1}} [/mm] enthalten sein)
Bin ich mit dieser Lösung auf dem Holzweg? Weil wir u.a. im Skript zu stehen haben:
"Seien R, S [mm] \subseteq [/mm] A [mm] \times [/mm] A zwei Relationen auf A. Sind R und S reflexiv (bzw. symmetrisch bzw. transitiv), dann gilt dies auch für die Relation R [mm] \cap [/mm] S."
Aber bei meinem Beispiel [mm] C_{1} [/mm] trifft dies doch nicht zu. Ist meine Lösung also nicht korrekt? Meine aufgestellten Teilmengen müssten doch aber der Aufgabenstellung entsprechen, oder nicht?
Vielen Dank für die Hilfe schon mal im voraus.
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 13:41 So 28.10.2007 | | Autor: | heinrich01 |
Hat niemand einen Rat für mich?
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Grüße!
Deine Beispielrelationen sind auch keine Äquivalenzrelationen, da Reflexivität ja bedeutet, dass $xRx$ für ALLE x gilt. Und dann ist der Schnitt auch niemals leer, sondern enthält mindestens die Diagonale, also alle Paare der Form $(x,x)$.
Etwas klarer? 
Lars
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 18:02 Mo 29.10.2007 | | Autor: | heinrich01 |
Achso, war mir so nicht bewusst. Danke.
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