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(Frage) reagiert/warte auf Reaktion  | | Datum: | 11:58 Mi 29.10.2008 | | Autor: | Wastelander |
| Aufgabe 1 | Sei [mm] n\in\IN, n\ge1, [/mm] und M = [mm] \{1,2,...,n\}.
[/mm]
Auf der Potenzmenge [mm] \mathcal{P}(M) [/mm] wird eine Relation "∼" durch
[mm]A \sim B &:\gdw& es\ existiert\ eine\ bijektive\ Abbildung[/mm]
[mm]f: A &\mapsto& B[/mm]
für A,B [mm] \in \mathcal{P}(M) [/mm] definiert.
Zeigen Sie, dass die Relation "∼" eine Äquivalenzrelation auf [mm] \mathcal{P}(M) [/mm] ist. |
| Aufgabe 2 | Beweisen Sie, dass durch
[mm]x \sim y :\gdw\ es\ gibt\ ein\ n \in \IZ ,\ so\ dass\ x = 2n \* y[/mm]
eine Äquivalenzrelation auf der Menge [mm] \IZ [/mm] definiert ist. Geben Sie für jede Äquivalenzklasse eine genaue Beschreibung an. |
Ich habe mich jetzt ein wenig in das Thema Relationen eingelesen, jedoch wäre es mir absolut unmöglich zu zeigen, dass eine Äquivalentrelation vorliegt oder gar die Äquivalenzklassen zu beschreiben. Der Gedanke liegt nahe, dass dieser Stoff absolut Grundvoraussetzung an meiner Uni ist, denn in einer Vorlesung habe ich davon noch nie etwas gehört.
Daher zwei Bitten:
1. Kann mir jemand erklären, wie ich diese beiden Aufgaben löse?
2. Gibt es empfehlenswerte Bücher oder Webseiten in der Manier "Relationen für Dummies", durch die ich sicherer in diesem Gebiet werden könnte?
Im Voraus vielen Dank.
LG
~W
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> Sei [mm]n\in\IN, n\ge1,[/mm] und M = [mm]\{1,2,...,n\}.[/mm]
> Auf der Potenzmenge [mm]\mathcal{P}(M)[/mm] wird eine Relation
> "∼" durch
>
> [mm]A \sim B &:\gdw& es\ existiert\ eine\ bijektive\ Abbildung[/mm]
>
> [mm]f: A &\mapsto& B[/mm]
>
> für A,B [mm]\in \mathcal{P}(M)[/mm] definiert.
>
> Zeigen Sie, dass die Relation "∼" eine
> Äquivalenzrelation auf [mm]\mathcal{P}(M)[/mm] ist.
> Beweisen Sie, dass durch
> [mm]x \sim y :\gdw\ es\ gibt\ ein\ n \in \IZ ,\ so\ dass\ x = 2n \* y[/mm]
>
> eine Äquivalenzrelation auf der Menge [mm]\IZ[/mm] definiert ist.
> Geben Sie für jede Äquivalenzklasse eine genaue
> Beschreibung an.
> Ich habe mich jetzt ein wenig in das Thema Relationen
> eingelesen, jedoch wäre es mir absolut unmöglich zu zeigen,
> dass eine Äquivalentrelation vorliegt oder gar die
> Äquivalenzklassen zu beschreiben. Der Gedanke liegt nahe,
> dass dieser Stoff absolut Grundvoraussetzung an meiner Uni
> ist, denn in einer Vorlesung habe ich davon noch nie etwas
> gehört.
Hallo,
daß "Aquivalenzrelation und -klasse" in der Vorlesung nicht dran waren, erscheint mir sehr unwahrscheinlich.
Durchaus denkbar allerdings ist mir, daß es so schnell behandelt wurde, daß Du es nicht gemerkt hast.
Stell Aquivalenzklasse erstmal hintenan.
Lies Dir erstmal durch, was eine  Äquivalenzrelation ist.
Danach stell zusammen, was Du zeigen mußt, wenn Du zeigen willst, daß Dein [mm] \sim [/mm] aus Aufgabe 1 eine Äquivalenzrelation ist.
Dann kann man weitersehen.
>
> Daher zwei Bitten:
Auch eine Bitte:
poste die 2. Frage in einer eigenen Diskussion, sonst wird das unübersichtlich.
Bitte poste dabei Lösungsansätze mit, nach dem Studium des obigen Links sollte Dir das möglich sein.
Gruß v. Angela
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> Hallo,
>
> daß "Aquivalenzrelation und -klasse" in der Vorlesung nicht
> dran waren, erscheint mir sehr unwahrscheinlich.
>
> Durchaus denkbar allerdings ist mir, daß es so schnell
> behandelt wurde, daß Du es nicht gemerkt hast.
>
> Stell Aquivalenzklasse erstmal hintenan.
>
> Lies Dir erstmal durch, was eine Äquivalenzrelation
> ist.
>
> Danach stell zusammen, was Du zeigen mußt, wenn Du zeigen
> willst, daß Dein [mm]\sim[/mm] aus Aufgabe 1 eine Äquivalenzrelation
> ist.
>
> Dann kann man weitersehen.
Ich versuche in meinen eigenen Worten wiederzugeben, was die Aufgabe vorgibt und was sie verlangt.
1. Wir haben die Menge [mm] \mathcal{P}(M), [/mm] eine Menge aller Teilmengen der natürlichen Zahlen.
2. Wir haben die Relation "~" auf [mm] \mathcal{P}(M) [/mm] mit der Definition "es gibt eine bijektive Abbildung zwischen A, B [mm] \in \mathcal{P}(M)"
[/mm]
3. Laut des Texts sind die Anforderungen an eine Ä.-Rel.
$ [mm] (A_1) [/mm] $ $ (A, A) [mm] \in \mathcal{P}(M) [/mm] $ für alle $ A [mm] \in \mathcal{P}(M) [/mm] $,
$ [mm] (A_2) [/mm] $ aus $ (A, B) [mm] \in \mathcal{P}(M) [/mm] $ folgt $ (B, A) [mm] \in \mathcal{P}(M) [/mm] $,
$ [mm] (A_3) [/mm] $ aus $ (A, B) [mm] \in \mathcal{P}(M) [/mm] $ und $ (B, C) [mm] \in \mathcal{P}(M) [/mm] $ folgt $ (A, C) [mm] \in [/mm] R $.
4. Wäre also folgendes zu zeigen?
(1) Es gibt eine Bijektion A [mm] \mapsto [/mm] A.
(2) Aus der Bijektion A [mm] \mapsto [/mm] B folgt B [mm] \mapsto [/mm] A
(3) Aus der Komposition von A [mm] \mapsto [/mm] B und B [mm] \mapsto [/mm] C folgt A [mm] \mapsto [/mm] C
> Auch eine Bitte:
>
> poste die 2. Frage in einer eigenen Diskussion, sonst wird
> das unübersichtlich.
> Bitte poste dabei Lösungsansätze mit, nach dem Studium des
> obigen Links sollte Dir das möglich sein.
Ich werde das so machen. Aus der Existenz eines Features, das es erlaubt mehrere ähnliche Aufgaben in einer Diskussion zu posten folgerte ich, dass man das so lieber sähe. ^^
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> Ich versuche in meinen eigenen Worten wiederzugeben, was
> die Aufgabe vorgibt und was sie verlangt.
>
> 1. Wir haben die Menge [mm]\mathcal{P}(M),[/mm] eine Menge aller
> Teilmengen der natürlichen Zahlen.
Hallo,
fast. Es stand in der Aufgabe [mm] M:=\{1,2,...,n\}.
[/mm]
M ist also die Menge, die alle natürlichen Zahlen von 1 bis n (für festes, vorgegebenes n) enthält.
[mm] \mathcal{P}(M) [/mm] ist, wie Du schreibst, deren Potenzmenge. (die Potenzmenge, nicht "eine".)
Da sind sämtliche Teilmengen von M drin.
Diese Teilmengen sind natürlich alle endlich mit einer Mächtigkeit [mm] \le [/mm] n.
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> 2. Wir haben die Relation "~" auf [mm]\mathcal{P}(M)[/mm] mit der
> Definition "es gibt eine bijektive Abbildung zwischen A, B
> [mm]\in \mathcal{P}(M)"[/mm]
Genau.
>
> 3. Laut des Texts sind die Anforderungen an eine Ä.-Rel.
> [mm](A_1)[/mm] [mm](A, A) \in \mathcal{P}(M)[/mm] für alle [mm]A \in \mathcal{P}(M) [/mm],
anders: [mm] A\sim [/mm] A für alle [mm]A [mm] \in \mathcal{P}(M) [/mm]
(oder auch [mm] (A,A)\in R:=\{ (X,Y)\in \mathcal{P}(M) x \mathcal{P}(M) | X \sim Y\}. [/mm] )
>
> [mm](A_2)[/mm] aus [mm](A, B) \in \mathcal{P}(M)[/mm] folgt [mm](B, A) \in \mathcal{P}(M) [/mm],
aus [mm] A\sim [/mm] B folgt [mm] B\sim [/mm] A
>
> [mm](A_3)[/mm] aus [mm](A, B) \in \mathcal{P}(M)[/mm] und [mm](B, C) \in \mathcal{P}(M)[/mm]
> folgt [mm](A, C) \in R [/mm].
analog.
>
> 4. Wäre also folgendes zu zeigen?
>
> (1) Es gibt eine Bijektion A [mm]\mapsto[/mm] A.
Genau. Zeig eine Bijektion auf A ganz konkret vor.
> (2) Aus der
Existenz einer
> Bijektion A [mm]\mapsto[/mm] B folgt
die Existenz einer Bijektion
> B [mm]\mapsto[/mm] A
> (3) Aus der
Existenz von Bijektionen
> von A [mm]\mapsto[/mm] B und B [mm]\mapsto[/mm] C
> folgt
die Existenz einer Bijektion
> A [mm]\mapsto[/mm] C
Na siehste!
Das hat doch gar nicht schlecht geklappt. Sondern gut!
Gruß v. Angela
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Ähm, mal 'ne GANZ blöde Frage: Waren (2) und (3) schon Antworten, die ich garnicht mehr zeigen muss?
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Hallo,
nee, leider nicht.
Da steht, was Du zeigen mußt.
Gruß v. Angela
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