Äquivalenzrelationen < Moduln/Vektorraum < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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| Aufgabe 1 | Sei G eine Gruppe und U eine Untergruppe von G. Wir definieren zwei Relationen [mm] \sim_{i} [/mm] (i=1,2) auf G durch [mm] g\sim_{1}h:\gdw gh^{-1} [/mm] bzw [mm] g\sim_{2}h:\gdw g^{-1}h (g,h\in [/mm] G)
Zeigen Sie: beise sind Äquilvalenzrelationen auf G. |
| Aufgabe 2 | | Finden Sie geeignete Untergruppen A,B der symmetrischen Gruppe [mm] S_{3} [/mm] derart, dass [mm] \sim_{1}=\sim_{2} [/mm] (bzgl A definiert) und [mm] \sim_{1}\not=\sim_{2} [/mm] (bzgl B definiert). |
zu Aufgabe 1:
Ich muss zeigen: Reflexivität, Symmetrie und Transitivität
R) [mm] gg^{-1}=1_{u} \in [/mm] U
,weil g und somit auch [mm] g^{-1} \in [/mm] U und Untergruppen bzgl ihrer Verknüpfung abgeschlossen sind.
S) [mm] gh^{-1} \in U\gdw hg^{-1} \in [/mm] U
,weil mit g [mm] \in [/mm] U ist auch [mm] g^{-1} \in [/mm] U und umgekehrt.
T) [mm] gh^{-1} \in U\Rightarrow g\in [/mm] U
[mm] hw^{-1} \in U\Rightarrow w^{-1} \in [/mm] U
[mm] \Rightarrow gw^{-1} \in [/mm] U
für [mm] \sim_{2} [/mm] hab ich das alles im Prinzip genauso gemacht.
Ist das so richtig? Weil eigentlich hab ich ja einfach behauptet, dass g und h aus U sind, ohne das zu zeigen.
Bei Aufgabe 2 weiß ich so ganz wie ich da rangehen soll, sollen g und h aus [mm] S_{3} [/mm] sein oder wie???
Vielen Dank
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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Hallo hannahmaontana,
> Sei G eine Gruppe und U eine Untergruppe von G. Wir
> definieren zwei Relationen [mm]\sim_{i}[/mm] (i=1,2) auf G durch
> [mm]g\sim_{1}h:\gdw gh^{-1}[/mm]
Hier fehlt ne Eigenschaft, du meinst [mm] $g\sim_1 h\gdw gh^{-1}\in [/mm] U$, oder?
> bzw [mm]g\sim_{2}h:\gdw g^{-1}h (g,h\in[/mm]
> G)
> Zeigen Sie: beise sind Äquilvalenzrelationen auf G.
> Finden Sie geeignete Untergruppen A,B der symmetrischen
> Gruppe [mm]S_{3}[/mm] derart, dass [mm]\sim_{1}=\sim_{2}[/mm] (bzgl A
> definiert) und [mm]\sim_{1}\not=\sim_{2}[/mm] (bzgl B definiert).
> zu Aufgabe 1:
> Ich muss zeigen: Reflexivität, Symmetrie und
> Transitivität
>
> R) [mm]gg^{-1}=1_{u} \in[/mm] U
> ,weil g und somit auch [mm]g^{-1} \in[/mm] U und Untergruppen bzgl
> ihrer Verknüpfung abgeschlossen sind. ![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]")
>
> S) [mm]gh^{-1} \in U\gdw hg^{-1} \in[/mm] U
> ,weil mit g [mm]\in[/mm] U ist auch [mm]g^{-1} \in[/mm] U und umgekehrt.
Nein, weil mit [mm] $g,h\in [/mm] U$ (Gruppe) auch [mm] $gh^{-1}$ [/mm] drin ist und ebenfalls dessen Inverses [mm] $\left(gh^{-1}\right)^{-1}=\left(h^{-1}\right)^{-1}g^{-1}=hg^{-1}$ [/mm] (wieder die Abgeschlossenheit)
>
> T) [mm]gh^{-1} \in U\Rightarrow g\in[/mm] U
> [mm]hw^{-1} \in U\Rightarrow w^{-1} \in[/mm] U
> [mm]\Rightarrow gw^{-1} \in[/mm] U
Hmm, eher [mm] $gh^{-1}\in [/mm] U$ und [mm] $hw^{-1}\in [/mm] U [mm] \Rightarrow gh^{-1}hw^{-1}=gw^{-1}\in [/mm] U$, da U abgeschlossen ist ..
>
> für [mm]\sim_{2}[/mm] hab ich das alles im Prinzip genauso gemacht.
> Ist das so richtig?
Bis auf die Begründung in (S) (und (T)) ja!
> Weil eigentlich hab ich ja einfach
> behauptet, dass g und h aus U sind, ohne das zu zeigen.
> Bei Aufgabe 2 weiß ich so ganz wie ich da rangehen soll,
> sollen g und h aus [mm]S_{3}[/mm] sein oder wie???
Schreibe dir die [mm] $S_3$ [/mm] mal hin, dann sollst du 2 Untergruppen daraus suchen, die dir zeigen sollen, dass nicht zwangsläufig (bzw. im Allg. nicht) Linksnebenklassen=Rechtsnebenklassen gilt
> Vielen Dank
>
> Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen
> Internetseiten gestellt.
>
LG
schachuzipus
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erstmal danke,aber hab noch ein paar fragen
> Linksnebenklassen=Rechtsnebenklassen
was sind das für Klassen? Hab ich noch nie gehört.
> Schreibe dir die [mm]S_3[/mm] mal hin, dann sollst du 2 Untergruppen
> daraus suchen,
[mm]S_3[/mm] ist doch die Gruppe wo die Permutationen drinstehen, also bei [mm]S_3[/mm] mit 6 elementen:
[mm] \sigma_{1}=\pmat{ 1 & 2 & 3\\ 1 & 2 & 3 } \sigma_{2}=\pmat{ 1 & 2 & 3\\ 2 & 3 & 1 } \sigma_{3}=\pmat{ 1 & 2 & 3\\ 3 & 1 & 2 } [/mm]
[mm] \sigma_{4}=\pmat{ 1 & 2 & 3\\ 1 & 3 & 2 } \sigma_{5}=\pmat{ 1 & 2 & 3\\ 2 & 1 & 3 } \sigma_{6}=\pmat{ 1 & 2 & 3\\ 3 & 2 & 1 }
[/mm]
aber was hat das jetzt mit meinen Äquivalenzrelationen zu tun?
Muss ich jetzt für g zB [mm] \sigma_{1} [/mm] einsetzten? Wie soll das denn gehen?
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 11:20 Di 30.06.2009 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
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