Äquivalenzrelationen < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 10:32 So 01.05.2005 | | Autor: | tbo007 |
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
Hallo zusammen,
ich lese nun schon eine Weile in diesem Forum mit und konnte schon viele nützlich Informationen finden. Dafür schonmal herzlichen Dank.
Ich bin "Teilzeit-" Informatikstudent an einer VWA. Wir schreiben in einem Monat eine Mathematikklausur.
Ich habe eine dringende Frage zu Äquivalenzrelationen.
Das Grundprinzip habe ich verstanden. Ich weiß auch was reflexiv, transitiv oder symmetrisch bedeutet, nur wenn ich jetzt eine Aufgabe wie z.B.
"Sei X die Menge aller Geraden in der Ebene und R durch folgende Beziehung definiert: aRb ?a ist parallel zu b . (Bem.: Zwei Geraden heißen parallel, wenn Sie sich nicht schneiden.) Zeigen Sie (mittels guter Begründung), dass R eine Äquivalenzrelation ist. "
finde ich da keinen richtigen Einstieg ( Ich habe mir auch schon Beweise dazu hier im Forum angesehen)
Mein Ansatz (bitte nicht lachen, bin halt noch grün hinter den Ohren auf dem Gebiet!) dazu wäre:
Symmetrisch: Wenn a parallel zu b ist, dann muss b auch parallel zu a sein.
transitiv: Wenn a parallel zu b ist und b zu c dann muss auch a parallel zu c sein.
reflexiv: ?
Wie kann ich das jetzt vernünftig hinschreiben oder kennt einer ein gutes Buch zu der Materie'? Ich habe das Buch Mathematische Grundlagen der Informatik. Das ist echt gut, nur halt mein geschildertes Problem wird in dem Buch nicht ganz deutlich. Bin echt am verzweifeln an der Sache und ich will in der ersten Klausur nicht direkt eine fünf schreiben.
Vielen Dank im Voraus
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 10:46 So 01.05.2005 | | Autor: | Max |
Hallo tbo,
du hast ja nur die Eigenschaften "symmetrisch" und "transistiv" genau in die Sprache mit den paralleln Geraden übersetzt - du hast aber noch nicht gezeigt, dass es so sein muss! Außerdem solltest du dir überlegen, wie man "schneiden" festlegen muss, damit durch R eine Äquivalenzrealtion festgelegt werden kann.
Als Beispiel mal die Symmetrie:
$aRb [mm] \gdw [/mm] a [mm] \parallel [/mm] b [mm] \gdw a\cap [/mm] b [mm] =\{\} \gdw [/mm] b [mm] \cap [/mm] a = [mm] \{\} \gdw [/mm] b [mm] \parallel [/mm] a [mm] \gdw [/mm] bRa$
Zeigen musst du noch, dass $aRb [mm] \wedge [/mm] bRc [mm] \Rightarrow [/mm] aRc$ (Transitivität) und $aRa$ (Reflexivität) erfüllt sind. Dabei ist es wichtig, dass du "schneiden" noch präziser fasst .
Gruß Max
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(Frage) reagiert/warte auf Reaktion  | | Datum: | 13:33 So 01.05.2005 | | Autor: | tbo007 |
Vielen Dank erstmal
Funktioniert Transivität dann so?
Wenn (aRb [mm] \gdw [/mm] a [mm] \parallel [/mm] b [mm] \gdw [/mm] a [mm] \cap [/mm] b = {}) [mm] \wedge [/mm] (bRc [mm] \gdw [/mm] b [mm] \parallel [/mm] c [mm] \gdw [/mm] b [mm] \cap [/mm] c = {}) [mm] \Rightarrow [/mm] (aRc [mm] \gdw [/mm] a [mm] \parallel [/mm] c [mm] \gdw [/mm] a [mm] \cap [/mm] c = {})
Reflexivität
aRa [mm] \gdw [/mm] a [mm] \parallel [/mm] a [mm] \gdw [/mm] a [mm] \cap [/mm] a = {}
Was ich zusätzlich noch nicht verstehe:
Das von dir gegebene Beispiel zu Symmetrie war in meinen Augen doch auch nur ein aufschreiben des Sachverhalts, oder?
Ist nicht böse gemeint, ich versteh es halt nur nicht.
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(Antwort) fertig | | Datum: | 02:48 Mo 02.05.2005 | | Autor: | Marc |
Hallo tbo007,
> Funktioniert Transivität dann so?
>
> Wenn (aRb [mm]\gdw[/mm] a [mm]\parallel[/mm] b [mm]\gdw[/mm] a [mm]\cap[/mm] b = {}) [mm]\wedge[/mm]
> (bRc [mm]\gdw[/mm] b [mm]\parallel[/mm] c [mm]\gdw[/mm] b [mm]\cap[/mm] c = {}) [mm]\Rightarrow[/mm]
> (aRc [mm]\gdw[/mm] a [mm]\parallel[/mm] c [mm]\gdw[/mm] a [mm]\cap[/mm] c = {})
Hier verwendest du einen falschen Begriff von Parallität, denn laut deiner Definition können Geraden auch parallel sein und trotzdem gemeinsame Punkte haben (nämlich dann, wenn die Geraden identisch sind)
> Reflexivität
> aRa [mm]\gdw[/mm] a [mm]\parallel[/mm] a [mm]\gdw[/mm] a [mm]\cap[/mm] a = {}
Das geht dann erst recht schief, denn es ist immer (für Geraden): [mm] $a\cap a=\red{a\not=\{\}}$
[/mm]
Ich würde es vielleicht so machen, das hängt natürlich davon ab, ob ihr die Parameterdarstellung von Geraden überhaupt nutzen dürft.
Seien [mm] $g_1: [/mm] x=a+s*b$ und [mm] $g_2: [/mm] x=c+t*d$ mit [mm] $a,b,c,d\in\IR^2$ [/mm] und [mm] $s,t\in\IR$
[/mm]
Dann gilt doch: $a [mm] \rm{R} [/mm] b$ [mm] $\gdw$ $b\parallel [/mm] d$ [mm] $\gdw$ $\exists k\in\IR\ [/mm] :\ b=k*d$
Nun dürfte es kein Problem mehr sein, die drei Bedingungen zu überprüfen... oder?
Viele Grüße,
Marc
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