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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 19:00 Do 03.11.2011 | | Autor: | hubbel |
| Aufgabe | | Sei X={a,b,c,d,e,f}. Ergänzen Sie die Mengen {(e,e),(f,d),(c,a),(b,f)} durch Hinzufügen möglichst weniger Paare zu einer Äquivalenzrelation auf X und bestimmen Sie alle Äquivalenzklassen. |
Also erstmal, was eine Äquivalenzrelation ist, weiß ich, es muss Transitivität, Symmetrie und Reflexivität gelten. Nur, verstehe ich nicht, wie ich aus {(e,e),(f,d),(c,a),(b,f)} eine Äquivalenzrelation machen soll.
Äquivalenzklassen kenn ich formal auch, es gilt: [a]=[b]
Aber irgendwie hilft mir das nicht weiter, vielleicht denke ich auch zu kompliziert. Ich bräuchte mal einen Denkanstoß mit Beispiel.
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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moin hubbel,
Du brauchst eine Äquivalenzrelation, also brauchst du wie du richtig festgestellt hast Reflexivität, Transitivität und Symmetrie.
Damit die Relation transitiv wird müsstest du etwa (b,d) hinzufügen (wieso?).
Nun füge mal nach und nach Elemente hinzu, so lange bis deine Relation eine Äquivalenzrelation ist.
Da du möglichst wenig Elemente haben möchtest musst du bei jedem begründen wieso es unbedingt rein muss.
Du könntest etwa auch (c,f) hinzufügen, aber ich behaupte das kriegst du nicht ordentlich begründet.
Aber so lange du bei jedem Element begründen kannst warum man ohne nicht auf eine Äquivalenzrelation kommt kriegst du damit die kleinstmögliche.
Äquivalenzklassen sind dann Mengen von Elementen, die äquivalent zueinander sind.
Etwa würden c und a in der selben Äquivalenzklasse liegen, da sie ja eben äquivalent sind.
lg
Schadow
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 19:44 Do 03.11.2011 | | Autor: | hubbel |
Warum müsste ich (b,d) hinzufügen? Ich glaube ich verstehe die Klammer nicht so ganz, kannst du mir das nochmal erläutern? Verstehe das Prinzip nicht.
Woher weiß ich denn, dass c und a äquivalent sind? Ich brauche doch irgendeine Bedingung für a und c oder nicht? In den Aufgaben vorher, hatten wir z.B. a<c, daraus folgt dann, dass es nicht symmetrisch ist und somit nicht äquivalent, wo muss ich das hier machen?
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Hier ist die Relation als Menge von Paaren gegeben.
Also zum Beispiel $(c,a)$ bedeutet: c steht in Relation zu a (manchmal auch kurz als cRa).
Das heißt du hast hier keine Relation wie "<" oder "=" sondern es ist explizit angegeben welches Element mit welchem wie in Relation steht.
lg
Schadow
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 20:16 Do 03.11.2011 | | Autor: | hubbel |
Ok, ich versuche mal einen Ansatz.
Damit das ganze reflexiv wird, muss ich (a,a),(b,b),(c,c),(d,d) und (f,f) hinzufügen.
Für die Symmetrie muss ich (d,f),(a,c),(f,b) hinzufügen, sprich das Gegenstück zu (f,d),(c,a) und (b,f).
Und damit es transitiv wird, muss ich noch (b,d) und (d,f) hinzufügen wegen (b,f) und (f,d).
Stimmt das?
Und wie bestimme ich davon die Äquivalenzklassen?
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 20:25 Do 03.11.2011 | | Autor: | Levit |
Ja das sieht schon mal sehr gut aus. Aber vergiss nicht, es soll eine Äquivalenzrelation auf der Menge sein, also MUSS (e,e) auch noch mit rein.
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 20:27 Do 03.11.2011 | | Autor: | hubbel |
Wieso muss das nochmal rein? Ist doch durch die Aufgabenstellung schon drin oder?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 20:28 Do 03.11.2011 | | Autor: | Levit |
siehe Mitteilung =)
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 20:27 Do 03.11.2011 | | Autor: | Levit |
Entschuldigung, das ist ja schon mit dabei. Habe ich übersehen.
Äquivalenzklassen sind die Menge der Elemente (vorsicht, nicht der Paare), die selbst eine Äquivalenzrelation sein würden, mit den Paaren aus R.
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 20:40 Do 03.11.2011 | | Autor: | hubbel |
Hättest du vllt noch ein Beispiel dazu? ^^
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(Antwort) fertig | | Datum: | 20:43 Do 03.11.2011 | | Autor: | Levit |
Okay. Nehmen wir an b und d sind eine Äqivalenzklasse. Nun schau dir alle Paare an, wo b ODER d enthalten sind. Kannst du diese Paare alle mit b und d darstellen? Wenn ja, sind b und d eine Äquivalenzklasse. Wenn nicht, reichen b und d nich.
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 20:51 Do 03.11.2011 | | Autor: | hubbel |
Das leuchtet mir nicht so ganz ein, nehmen wie z.B. (b,f). Wie kann man (b,f) nur mit b und d darstellen? Das geht ja irgendwie nicht oder?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 21:06 Do 03.11.2011 | | Autor: | Levit |
Richtig, deshalb bilden die beiden auch keine Äquivalenzklasse.
Dann nimm halt das f dazu, was du gefunden hast und probiers noch mal. Klappt es diesmal, sind b,d und f ne Äquiv.kl.
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 21:33 Do 03.11.2011 | | Autor: | hubbel |
Mit b,d und f könnte ich z.B. (f,d) und (b,f) darstellen, deswegen ist es eine Äquivalenzklasse?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 21:37 Do 03.11.2011 | | Autor: | Levit |
Nein, mit b,d und f kannst du (b,b), (d,d), (f,f), (b,d), (b,f), (d,b), (d,f) (f,b) und (f,d) darstellen. Das sind alles Elemente, die auch in R vorkommen, und darüberhinaus selbst auch eine Äquivalenzrelation bilden. Deshalb sind b, d und f eine Äquivalenzklasse.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 21:56 Do 03.11.2011 | | Autor: | hubbel |
Ich weiß Bescheid, danke und gute Nacht ^^
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 19:52 Do 03.11.2011 | | Autor: | Levit |
Ich würde übrigens anfangen, Elemente einzfügen, damit die Reflexivität erfüllt ist. Dann Symmetrie, und dann Transitivität.
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