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| Aufgabe | a) Auf [mm] \IR^{2} [/mm] := [mm] \IH \times \IR [/mm] sei folgende Relation gegeben:
(x,y) ~ (x',y') [mm] \gdw x^{2} [/mm] + [mm] y^{2} [/mm] = x'^{2} + y'^{2}
Zeigen Sie, dass ~ eine Äquivalenzrelation ist und skizzieren Sie die Äquivalenzklassen der Elemente (0,0), (1,0) und (3,4) in einem Koordinatensystem.
Prüfen Sie nun nach, ob die nachfolgenden Relationen reflexiv, symmetrisch und/oder transitiv sind. Falls eine Äquivalenzrelation vorliegt, geben Sie bitte zusätzlich die Äquivalenzklassen an.
b) Auf [mm] \IR [/mm] \ {0} sei die Relation [mm] \circ [/mm] gegeben durch
c [mm] \circ [/mm] y [mm] \gdw [/mm] x [mm] \* [/mm] y > 0
c) Auf [mm] \IR [/mm] sei die Relation [mm] \circ [/mm] gegeben durch
x [mm] \circ [/mm] y [mm] \gdw [/mm] x [mm] \* [/mm] y [mm] \ge [/mm] 0 |
Hi zusammen!
Also, wenn eine Relation eine Äquivalenzrelation ist, dann bedeutet das da, dass sie reflexiv, symmetrisch UND transitiv ist, richtig? Aber wie genau kann ich das hier zeigen? Und wie skizziert man eine Äquivalenzklasse in einem Koordinatensystem? Davon hab ich noch nie was gehört und finde auch nichts im Skript. :(
Wenn vll jemanden einen Tipp hätte oder einen hilfreichen Link, dann wäre ich sehr dankbar.
Liebe Grüße,
HoagsObject
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Hallo,
> a) Auf [mm]\IR^{2}[/mm] := [mm]\IH \times \IR[/mm] sei folgende Relation
> gegeben:
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> (x,y) ~ (x',y') [mm]\gdw x^{2}[/mm] + [mm]y^{2}[/mm] = x'^{2} + y'^{2}
>
> Zeigen Sie, dass ~ eine Äquivalenzrelation ist und
> skizzieren Sie die Äquivalenzklassen der Elemente (0,0),
> (1,0) und (3,4) in einem Koordinatensystem.
>
> Prüfen Sie nun nach, ob die nachfolgenden Relationen
> reflexiv, symmetrisch und/oder transitiv sind. Falls eine
> Äquivalenzrelation vorliegt, geben Sie bitte zusätzlich
> die Äquivalenzklassen an.
>
> b) Auf [mm]\IR[/mm] \ {0} sei die Relation [mm]\circ[/mm] gegeben durch
> c [mm]\circ[/mm] y [mm]\gdw[/mm] x [mm]\*[/mm] y > 0
>
> c) Auf [mm]\IR[/mm] sei die Relation [mm]\circ[/mm] gegeben durch
> x [mm]\circ[/mm] y [mm]\gdw[/mm] x [mm]\*[/mm] y [mm]\ge[/mm] 0
> Hi zusammen!
>
> Also, wenn eine Relation eine Äquivalenzrelation ist, dann
> bedeutet das da, dass sie reflexiv, symmetrisch UND
> transitiv ist, richtig? Aber wie genau kann ich das hier
> zeigen?
Richtig. Beachte, dass das Paar (x,y) ein Element der zu Grunde liegenden Menge ist. Damit solltest du die Reflexivität und die Symmetrie leicht zeigen können. Für die Transitivität führe ein weiteres Element
(x'',y'')
ein.
> Und wie skizziert man eine Äquivalenzklasse in
> einem Koordinatensystem? Davon hab ich noch nie was gehört
> und finde auch nichts im Skript. :(
Jetzt geht es darum, die Zahlenpaare als Punkte in der x-y-Ebene aufzufassen.
Gruß, Diophant
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Ich hab das jetzt Mal so gemacht..
Seien (x,y); (x',y'); (x'',y'') [mm] \in \IR \times \IR. [/mm] Dann gilt (x,y) ~(x',y') und (x',y') ~ (x'',y'')
Für die Transitivität:
(x,y) ~(x',y') [mm] \wedge [/mm] (x',y') ~ (x'',y'')
[mm] \Rightarrow [/mm] (x + y' = x' + y) [mm] \wedge [/mm] (x' + y'' = x'' +y')
[mm] \Rightarrow [/mm] x + y' + y'' = x' + y'' + y = x'' + y' + y
[mm] \Rightarrow [/mm] x + y'' = x'' + y
[mm] \Rightarrow [/mm] (x,y) ~(x'',y'')
Geht das so oder ist das zu weit hergeholt? Und wie genau funktioniert das jetzt mit den Äquivalenzklassen der Elemente??
Grüße,
HoagsObject
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Hallo,
> Ich hab das jetzt Mal so gemacht..
>
> Seien (x,y); (x',y'); (x'',y'') [mm]\in \IR \times \IR.[/mm] Dann
> gilt (x,y) ~(x',y') und (x',y') ~ (x'',y'')
>
> Für die Transitivität:
>
> (x,y) ~(x',y') [mm]\wedge[/mm] (x',y') ~ (x'',y'')
>
> [mm]\Rightarrow[/mm] (x + y' = x' + y) [mm]\wedge[/mm] (x' + y'' = x'' +y')
> [mm]\Rightarrow[/mm] x + y' + y'' = x' + y'' + y = x'' + y' + y
> [mm]\Rightarrow[/mm] x + y'' = x'' + y
> [mm]\Rightarrow[/mm] (x,y) ~(x'',y'')
>
>
> Geht das so oder ist das zu weit hergeholt?
Das hat vor allem mit der ursprünglichen Aufgabe nichts mehr zu tun.
Für die Transitivität musst du
[mm]x^2+y^2=x'^2+y'^2 \wedge x'^2+y'^2=x''^2+y''^2 \Rightarrow x^2+y^2=x''^2+y''^2[/mm]
zeigen, bzw. begründen.
> Und wie genau
> funktioniert das jetzt mit den Äquivalenzklassen der
> Elemente??
Wie immer: alle Elemente finden, die zu einem vorgegebenen Element äquivalent sind. Tipp wäre
[mm] x^2=(-x)^2
[/mm]
Noch viel besserer Tipp: den nachfolgenden Beitrag von FRED beachten, insbesondere den Tipp mit den Kreislinien. 
Gruß, Diophant
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| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 11:17 Mo 05.11.2012 | | Autor: | fred97 |
> Und wie genau
> funktioniert das jetzt mit den Äquivalenzklassen der
> Elemente??
Für (x,y) [mm] \in \IR^2 [/mm] bezeichne ich die Äquivalenzklasse von (x,y) mit [(x,y)]
Setze [mm] r:=\wurzel{x^2+y^2}
[/mm]
Fall 1: r=0. Dann ist (x,y)=(0,0).
(a,b) [mm] \in [/mm] [(x,y)] [mm] \gdw a^2+b^2=x^2+y^2=0 \gdw [/mm] a= ? und b=?
Wie sieht dann [(x,y)] aus ?
Fall 2: r>0. Welche Punkte (a,b) gehören nun zu [(x,y)] ? Denke an Kreislinien !
FRED
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> Grüße,
> HoagsObject
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